En matemáticas , la fórmula de Bochner es una afirmación que relaciona funciones armónicas en una variedad de Riemann con la curvatura de Ricci . La fórmula lleva el nombre del matemático estadounidense Salomon Bochner .
Declaración formal
Si es una función suave, entonces
- ,
donde es el gradiente de con respecto a , es el hessiano de con respecto a y es el tensor de curvatura de Ricci . [1] Si es armónico (es decir, , donde está el laplaciano con respecto a la métrica ), la fórmula de Bochner se convierte en
- .
Bochner utilizó esta fórmula para demostrar el teorema de desaparición de Bochner.
Como corolario, si es una variedad de Riemann sin límite y es una función suave y con soporte compacto, entonces
- .
Esto se sigue inmediatamente de la primera identidad, observando que la integral del lado izquierdo se anula (por el teorema de la divergencia ) e integrando por partes el primer término del lado derecho.
Variaciones y generalizaciones.
Referencias
- ^ Chow, Bennett; Lu, Peng; Ni, Lei (2006), Flujo de Ricci de Hamilton, Estudios de Posgrado en Matemáticas , vol. 77, Providence, RI: Science Press, Nueva York, pág. 19, ISBN 978-0-8218-4231-7, señor 2274812.