Identidad Weitzenböck

Relaciona 2 operadores elípticos de segundo orden en una variedad con el mismo símbolo principal

En matemáticas , en particular en geometría diferencial , física matemática y teoría de la representación , una identidad de Weitzenböck , que lleva el nombre de Roland Weitzenböck , expresa una relación entre dos operadores elípticos de segundo orden en una variedad con el mismo símbolo principal. Por lo general, las fórmulas de Weitzenböck se implementan para G -operadores autoadjuntos invariantes entre paquetes de vectores asociados a algún paquete G principal , aunque las condiciones precisas bajo las cuales existe tal fórmula son difíciles de formular. Este artículo se centra en tres ejemplos de identidades de Weitzenböck: de la geometría de Riemann, la geometría de espín y el análisis complejo.

geometría riemanniana

En geometría de Riemann hay dos nociones del laplaciano sobre formas diferenciales sobre una variedad de Riemann compacta orientada M. La primera definición utiliza el operador de divergencia δ definido como el adjunto formal del operador de De Rham d :

$${\displaystyle \int _{M}\langle \alpha ,\delta \beta \rangle :=\int _{M}\langle d\alpha ,\beta \rangle }$$

αpβp + 1p + 1forma habitual laplaciana ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$

$${\displaystyle \Delta =d\delta +\delta d.}$$

Por otro lado, la conexión Levi-Civita aporta un operador diferencial

$${\displaystyle \nabla :\Omega ^{p}M\rightarrow \Omega ^{1}M\otimes \Omega ^{p}M,}$$

^p Mplaplaciano de Bochner

$${\displaystyle \Delta '=\nabla ^{*}\nabla }$$

${\displaystyle \nabla ^{*}}$ ${\displaystyle \nabla }$

La fórmula de Weitzenböck afirma entonces que

$${\displaystyle \Delta '-\Delta =A}$$

A

La forma precisa de A viene dada, hasta un signo general que depende de las convenciones de curvatura, por

$${\displaystyle A={\frac {1}{2}}\langle R(\theta ,\theta )\#,\#\rangle +\operatorname {Ric} (\theta ,\#),}$$

• R es el tensor de curvatura de Riemann,
• Ric es el tensor de Ricci,
• ${\displaystyle \theta :T^{*}M\otimes \Omega ^{p}M\rightarrow \Omega ^{p+1}M}$es el mapa que toma el producto de cuña de una forma 1 y una forma p y da una forma ( p +1),
• ${\displaystyle \#:\Omega ^{p+1}M\rightarrow T^{*}M\otimes \Omega ^{p}M}$es la derivación universal inversa a θ en 1-formas.

Geometría de giro

Si M es una variedad de espines orientada con el operador de Dirac ð, entonces se puede formar el espín laplaciano Δ = ð ² en el haz de espines. Por otro lado, la conexión Levi-Civita se extiende al haz de espines para producir un operador diferencial.

$${\displaystyle \nabla :SM\rightarrow T^{*}M\otimes SM.}$$

${\displaystyle \Delta '=\nabla ^{*}\nabla }$

$${\displaystyle \Delta '-\Delta =-{\frac {1}{4}}Sc}$$

Scfórmula de Lichnerowicz

Geometría diferencial compleja

Si M es una variedad compacta de Kähler , existe una fórmula de Weitzenböck que relaciona el -laplaciano (ver complejo de Dolbeault ) y el euclidiano laplaciano en las formas ( p , q ) . Específicamente, dejemos ${\displaystyle {\bar {\partial }}}$

$${\displaystyle \Delta ={\bar {\partial }}^{*}{\bar {\partial }}+{\bar {\partial }}{\bar {\partial }}^{*},}$$

$${\displaystyle \Delta '=-\sum _{k}\nabla _{k}\nabla _{\bar {k}}}$$

Según la fórmula de Weitzenböck, si , entonces ${\displaystyle \alpha \in \Omega ^{(p,q)}M}$

$${\displaystyle \Delta ^{\prime }\alpha -\Delta \alpha =A(\alpha )}$$

${\displaystyle A}$

$${\displaystyle \alpha =\alpha _{i_{1}i_{2}\dots i_{p}{\bar {j}}_{1}{\bar {j}}_{2}\dots {\bar {j}}_{q}}}$$

$${\displaystyle A(\alpha )=-\sum _{k,j_{s}}\operatorname {Ric} _{{\bar {j}}_{\alpha }}^{\bar {k}}\alpha _{i_{1}i_{2}\dots i_{p}{\bar {j}}_{1}{\bar {j}}_{2}\dots {\bar {k}}\dots {\bar {j}}_{q}}}$$

ks

Otras identidades de Weitzenböck

• En geometría conforme existe una fórmula de Weitzenböck que relaciona un par particular de operadores diferenciales definidos en el conjunto del tractor . Véase Branson, T. y Gover, AR, "Operadores conformemente invariantes, formas diferenciales, cohomología y generalización de la curvatura Q", Comunicaciones en ecuaciones diferenciales parciales , 30 (2005) 1611–1669.

Ver también

• identidad bochner
• Identidad Bochner-Kodaira-Nakano
• Operadores laplacianos en geometría diferencial

Referencias

• Griffiths, Felipe ; Harris, Joe (1978), Principios de geometría algebraica , Wiley-Interscience (publicado en 1994), ISBN 978-0-471-05059-9