Huai-Dong Cao (nacido el 8 de noviembre de 1959 en Jiangsu ) es un matemático chino-estadounidense. Es profesor de Matemáticas A. Everett Pitcher en la Universidad de Lehigh . Es conocido por sus contribuciones de investigación al flujo de Ricci , un tema en el campo del análisis geométrico .
Cao recibió su licenciatura en la Universidad de Tsinghua en 1981 y su doctorado. de la Universidad de Princeton en 1986 bajo la supervisión de Shing-Tung Yau . [ cita necesaria ]
Cao es exdirector asociado del Instituto de Matemáticas Puras y Aplicadas (IPAM) de UCLA. Ha sido profesor invitado en el MIT, la Universidad de Harvard, el Instituto Isaac Newton, el Instituto Max-Planck, el IHES, la ETH Zurich y la Universidad de Pisa. Ha sido editor en jefe del Journal of Differential Geometry desde 2003. Sus premios y honores incluyen:
En 1982, Richard S. Hamilton introdujo el flujo de Ricci , demostrando un nuevo y espectacular teorema sobre la geometría de variedades tridimensionales . [1] Cao, que acababa de comenzar su doctorado. Estudios bajo la dirección de Shing-Tung Yau , comenzaron a estudiar el flujo de Ricci en el entorno de colectores de Kähler . En su doctorado. En su tesis, publicada en 1985, demostró que las estimaciones de Yau en la resolución de la conjetura de Calabi podrían modificarse al contexto de flujo de Kähler-Ricci, para demostrar un teorema de convergencia similar al resultado original de Hamilton. [2] Esto también proporcionó una alternativa parabólica al método de continuidad de Yau en la prueba de la conjetura de Calabi, aunque gran parte del trabajo técnico en las pruebas es similar.
Siguiendo una sugerencia de Yau de que el flujo de Ricci podría usarse para probar la conjetura de geometrización de William Thurston , Hamilton desarrolló la teoría durante las dos décadas siguientes. En 2002 y 2003, Grisha Perelman publicó dos artículos en arXiv en los que afirmaba presentar una prueba, a través del flujo de Ricci, de la conjetura de geometrización. [3] [4] Además, publicó un tercer artículo en el que daba un atajo a la prueba de la famosa conjetura de Poincaré , para la cual los resultados de la segunda mitad del segundo artículo eran innecesarios. [5] Se reconoció inmediatamente que los artículos de Perelman daban nuevos resultados notables en la teoría del flujo de Ricci, aunque muchos matemáticos no pudieron comprender completamente los detalles técnicos de algunas secciones inusualmente complejas o concisas de su trabajo.
Bruce Kleiner de la Universidad de Yale y John Lott de la Universidad de Michigan comenzaron a publicar anotaciones de los dos primeros artículos de Perelman en la web en 2003, agregándolas y modificándolas durante los siguientes años. Los resultados de este trabajo fueron publicados en una revista académica en 2008. [6] Cao colaboró con Xi-Ping Zhu de la Universidad Zhongshan , publicando una exposición en 2006 del trabajo de Hamilton y de los dos primeros artículos de Perelman, explicándolos en el contexto de la Literatura matemática sobre análisis geométrico . John Morgan de la Universidad de Columbia y Gang Tian de la Universidad de Princeton publicaron un libro en 2007 sobre el primer y tercer artículo de Perelman, y la primera mitad del segundo artículo; Posteriormente publicaron un segundo libro sobre la segunda mitad del segundo artículo de Perelman. [7] [8]
El resumen del artículo de Cao y Zhu dice
En este artículo, damos una prueba completa de las conjeturas de Poincaré y de geometrización. Este trabajo depende de los trabajos acumulados de muchos analistas geométricos en los últimos treinta años. Esta prueba debe considerarse como el logro supremo de la teoría del flujo de Ricci de Hamilton-Perelman.
con introducción comenzando
En este artículo presentaremos la teoría del flujo de Ricci de Hamilton-Perelman. Basándonos en ello, daremos el primer relato escrito de una prueba completa de la conjetura de Poincaré y la conjetura de geometrización de Thurston. Si bien el trabajo completo es el resultado de los esfuerzos acumulados de muchos analistas geométricos, los principales contribuyentes son, sin duda, Hamilton y Perelman.
Algunos observadores sintieron que Cao y Zhu estaban exagerando el valor de su artículo. Además, se descubrió que algunas páginas del artículo de Cao y Zhu eran similares a las del artículo de Kleiner y Lott, lo que generó acusaciones de plagio. Cao y Zhu dijeron que, en 2003, habían tomado notas sobre esa sección del trabajo de Perelman de las primeras publicaciones de Kleiner y Lott, y que, como descuido accidental, no se habían dado cuenta de la fuente de las notas cuando escribieron su artículo en 2005 . 9] Publicaron una versión revisada de su artículo en arXiv en diciembre de 2006. [10]
Un solitón de Ricci gradiente consta de una variedad de Riemann ( M , g ) y una función f en M tal que Ric g + Hess g f es un múltiplo constante de g . En el caso especial de que M tenga una estructura compleja, g sea una métrica de Kähler y el gradiente de f sea un campo vectorial holomórfico, se tiene un gradiente de solitón de Kähler-Ricci . Los solitones de Ricci se consideran a veces como generalizaciones de las métricas de Einstein , que corresponden al caso f = 0 . La importancia de los solitones de Ricci en gradiente para la teoría del flujo de Ricci fue reconocida por primera vez por Hamilton en un influyente artículo de 1995. [11] En el análisis de Perelman, los solitones de Ricci de gradiente donde el múltiplo constante es positivo son especialmente importantes; estos se denominan solitones de Ricci que se contraen por gradiente . Se ha citado ampliamente un estudio de 2010 de Cao en los solitones de Ricci.
En 1996, Cao estudió los solitones de gradiente de Kähler-Ricci bajo el ansatz de la simetría rotacional, de modo que la ecuación del solitón de Ricci se reduce al análisis ODE . Demostró que para cada n positivo hay un solitón de Kähler-Ricci con gradiente estable que es rotacionalmente simétrico, completo y curvado positivamente. En el caso de que n sea igual a 1, se recupera el solitón del cigarro de Hamilton. Cao también demostró la existencia de solitones de Kähler-Ricci de gradiente estable en el espacio total del haz canónico sobre un espacio proyectivo complejo que es completo, rotacionalmente simétrico y no negativamente curvado. Construyó ejemplos cerrados de solitones de Kähler-Ricci que se contraen mediante gradiente sobre la proyectivización de ciertos haces de líneas sobre un espacio proyectivo complejo; Estos ejemplos fueron considerados de forma independiente por Norihito Koiso. [12] El ansatz de Cao y Koiso fue llevado más allá en un influyente artículo de Mikhail Feldman, Tom Ilmanen y Dan Knopf, y los ejemplos de Cao, Koiso y Feldman-Ilmanen-Knopf han sido unificados y ampliados en 2011 por Andrew Dancer y McKenzie Wang. [13] [14]
Utilizando un argumento de Perelman, Cao y Detang Zhou demostraron que los solitones de Ricci que se contraen por gradiente completo tienen un carácter gaussiano , en el sentido de que para cualquier punto dado p de M , la función f debe crecer cuadráticamente con la función de distancia a p . Además, el volumen de bolas geodésicas alrededor de p puede crecer como máximo de forma polinomial con su radio. Estas estimaciones hacen posible que gran parte del análisis integral tenga que ver con solitones de Ricci que reducen el gradiente completo, en particular permitiendo que e - f se utilice como función de ponderación.
