En el campo matemático de la geometría diferencial , la conjetura de Calabi fue una conjetura sobre la existencia de ciertos tipos de métricas de Riemann en ciertas variedades complejas , hecha por Eugenio Calabi (1954, 1957). Fue demostrada por Shing-Tung Yau (1977, 1978), quien recibió la Medalla Fields y el Premio Oswald Veblen en parte por su demostración. Su trabajo, principalmente un análisis de una ecuación diferencial parcial elíptica conocida como la ecuación compleja de Monge-Ampère , fue un resultado temprano influyente en el campo del análisis geométrico .
Más precisamente, la conjetura de Calabi afirma la resolución del problema de curvatura de Ricci prescrito dentro del contexto de las métricas de Kähler en variedades complejas cerradas . Según la teoría de Chern-Weil , la forma de Ricci de cualquier métrica de este tipo es una 2-forma diferencial cerrada que representa la primera clase de Chern . Calabi conjeturó que para cualquier forma diferencial de este tipo R , hay exactamente una métrica de Kähler en cada clase de Kähler cuya forma de Ricci es R. (Algunas variedades complejas compactas no admiten clases de Kähler, en cuyo caso la conjetura es nula).
En el caso especial de que la primera clase de Chern desaparezca, esto implica que cada clase de Kähler contiene exactamente una métrica Ricci-plana . Estas suelen denominarse variedades de Calabi-Yau . Sin embargo, el término suele utilizarse de formas ligeramente diferentes por distintos autores: por ejemplo, algunos usos pueden referirse a la variedad compleja mientras que otros pueden referirse a una variedad compleja junto con una métrica Kähler Ricci-plana particular.
Este caso especial puede considerarse equivalentemente como la teoría completa de existencia y unicidad para las métricas de Kähler-Einstein de curvatura escalar cero en variedades complejas compactas. El caso de curvatura escalar distinta de cero no se deduce como un caso especial de la conjetura de Calabi, ya que el "lado derecho" del problema de Kähler-Einstein depende de la métrica "desconocida", lo que coloca al problema de Kähler-Einstein fuera del dominio de la prescripción de la curvatura de Ricci. Sin embargo, el análisis de Yau de la ecuación compleja de Monge-Ampère para resolver la conjetura de Calabi fue lo suficientemente general como para resolver también la existencia de métricas de Kähler-Einstein de curvatura escalar negativa. El tercer y último caso de curvatura escalar positiva se resolvió en la década de 2010, en parte haciendo uso de la conjetura de Calabi.
Calabi transformó la conjetura de Calabi en una ecuación diferencial parcial no lineal de tipo Monge-Ampère complejo , y demostró que esta ecuación tiene como máximo una solución, estableciendo así la unicidad de la métrica de Kähler requerida.
Yau demostró la conjetura de Calabi construyendo una solución de esta ecuación utilizando el método de continuidad . Esto implica primero resolver una ecuación más fácil y luego demostrar que una solución a la ecuación fácil puede deformarse continuamente hasta una solución a la ecuación difícil. La parte más difícil de la solución de Yau es demostrar ciertas estimaciones a priori para las derivadas de las soluciones.
Supóngase que es una variedad compacta compleja con una forma de Kähler . Por el -lema , cualquier otra forma de Kähler en la misma clase de cohomología de De Rham es de la forma
Para alguna función uniforme en , única hasta la adición de una constante. La conjetura de Calabi es, por tanto, equivalente al siguiente problema:
Esta es una ecuación de tipo Monge–Ampère compleja para una sola función . Es una ecuación diferencial parcial particularmente difícil de resolver, ya que no es lineal en términos de orden más alto. Es fácil resolverla cuando , ya que es una solución. La idea del método de continuidad es mostrar que se puede resolver para todos mostrando que el conjunto de para el que se puede resolver es tanto abierto como cerrado. Dado que el conjunto de para el que se puede resolver no es vacío, y el conjunto de todos es conexo, esto muestra que se puede resolver para todos .
El mapa de funciones suaves a funciones suaves que toma como definido por
no es inyectiva ni sobreyectiva. No es inyectiva porque añadir una constante a no cambia , y no es sobreyectiva porque debe ser positiva y tener un valor medio de 1. Por lo tanto, consideramos la función restringida a funciones que están normalizadas para tener un valor medio de 0, y preguntamos si esta función es un isomorfismo sobre el conjunto de positivas con valor medio 1. Calabi y Yau demostraron que es de hecho un isomorfismo. Esto se hace en varios pasos, que se describen a continuación.
Para demostrar que la solución es única es necesario demostrar que si
entonces φ 1 y φ 2 difieren en una constante (por lo que deben ser iguales si ambos están normalizados para tener un valor promedio de 0). Calabi demostró esto al mostrar que el valor promedio de
se da por una expresión que es como máximo 0. Como claramente es al menos 0, debe ser 0, por lo que
lo que a su vez obliga a que φ 1 y φ 2 difieran en una constante.
Para demostrar que el conjunto de posibles F es abierto (en el conjunto de funciones suaves con valor medio 1) es necesario demostrar que si es posible resolver la ecuación para alguna F , entonces es posible resolverla para todas las F suficientemente cercanas . Calabi demostró esto utilizando el teorema de la función implícita para espacios de Banach : para aplicarlo, el paso principal es demostrar que la linealización del operador diferencial anterior es invertible.
Esta es la parte más difícil de la prueba, y fue la parte realizada por Yau. Supongamos que F está en el cierre de la imagen de funciones posibles φ. Esto significa que hay una secuencia de funciones φ 1 , φ 2 , ... tales que las funciones correspondientes F 1 , F 2 , ... convergen a F , y el problema es mostrar que alguna subsucesión de las φ converge a una solución φ. Para hacer esto, Yau encuentra algunos límites a priori para las funciones φ i y sus derivadas superiores en términos de las derivadas superiores de log( f i ). Encontrar estos límites requiere una larga secuencia de estimaciones duras, cada una mejorando ligeramente la estimación anterior. Los límites que Yau obtiene son suficientes para mostrar que las funciones φ i se encuentran todas en un subconjunto compacto de un espacio de Banach adecuado de funciones, por lo que es posible encontrar una subsucesión convergente. Esta subsecuencia converge a una función φ con imagen F , lo que muestra que el conjunto de imágenes posibles F es cerrado.
