Eugenio Calabi (11 de mayo de 1923 - 25 de septiembre de 2023) fue un matemático estadounidense nacido en Italia y profesor de Matemáticas Thomas A. Scott en la Universidad de Pensilvania , especializado en geometría diferencial , ecuaciones diferenciales parciales y sus aplicaciones.
Calabi nació en Milán, Italia, el 11 de mayo de 1923, en una familia judía . [1] Su hermana era la periodista Tullia Zevi Calabi . En 1938, la familia abandonó Italia a causa de las leyes raciales y en 1939 llegó a Estados Unidos. [2] [3]
En el otoño de 1939, con sólo 16 años, Calabi se matriculó en el Instituto Tecnológico de Massachusetts , donde estudió ingeniería química . Sus estudios fueron interrumpidos cuando fue reclutado en el ejército estadounidense en 1943 y sirvió durante la Segunda Guerra Mundial . Tras su baja en 1946, Calabi pudo terminar su licenciatura bajo el GI Bill y fue Putnam Fellow . [3] [4] Recibió una maestría en matemáticas de la Universidad de Illinois Urbana-Champaign en 1947 y su doctorado en matemáticas de la Universidad de Princeton en 1950. Su tesis doctoral, titulada "Incrustación analítica compleja isométrica de variedades de Kähler ", fue realizado bajo la supervisión de Salomon Bochner . [5]
De 1951 a 1955 fue profesor asistente en la Universidad Estatal de Luisiana y se trasladó a la Universidad de Minnesota en 1955, donde se convirtió en profesor titular en 1960. En 1964, Calabi se incorporó a la facultad de matemáticas de la Universidad de Pensilvania . Tras la jubilación de Hans Rademacher , fue nombrado profesor de Matemáticas Thomas A. Scott en la Universidad de Pensilvania en 1968. En 1994, Calabi asumió el estatus de emérito y en 2014 la universidad le otorgó un doctorado honoris causa en ciencias . [6] [7] [8]
En 1982, Calabi fue elegido miembro de la Academia Nacional de Ciencias . [9] Ganó el Premio Leroy P. Steele de la Sociedad Matemática Estadounidense en 1991, donde se citó su "trabajo fundamental sobre geometría diferencial global, especialmente geometría diferencial compleja" por haber "cambiado profundamente el panorama del campo". [8] En 2012, se convirtió en miembro de la Sociedad Estadounidense de Matemáticas. [10] En 2021, fue galardonado con la Orden del Mérito de la República Italiana . [11] [7]
Calabi se casó con Giuliana Segre en 1952, con quien tuvo un hijo y una hija. Cumplió 100 años el 11 de mayo de 2023 y murió el 25 de septiembre. [7] [12]
Calabi hizo una serie de contribuciones al campo de la geometría diferencial . Otras contribuciones, no discutidas aquí, incluyen la construcción de una versión holomorfa de la línea larga con Maxwell Rosenlicht , un estudio del espacio de módulos de las formas espaciales , una caracterización de cuándo se puede encontrar una métrica para que una forma diferencial dada sea armónica, y diversos trabajos sobre geometría afín . En los comentarios sobre sus obras completas en 2021, Calabi citó su artículo "Hiperesferas afines impropias de tipo convexo y generalización de un teorema de K. Jörgens" como aquello de lo que estaba "más orgulloso". [13]
En el Congreso Internacional de Matemáticos de 1954 , Calabi anunció un teorema sobre cómo se podría prescribir la curvatura de Ricci de una métrica de Kähler . [C54] Más tarde descubrió que su prueba, a través del método de continuidad , era defectuosa, y el resultado se conoció como la conjetura de Calabi . En 1957, Calabi publicó un artículo en el que la conjetura se planteaba como una proposición, pero con una demostración abiertamente incompleta. [C57] Dio una prueba completa de que cualquier solución del problema debe definirse de manera única, pero solo pudo reducir el problema de la existencia al problema de establecer estimaciones a priori para ciertas ecuaciones diferenciales parciales . En la década de 1970, Shing-Tung Yau comenzó a trabajar en la conjetura de Calabi, intentando inicialmente refutarla. Después de varios años de trabajo, encontró una prueba de la conjetura y pudo establecer varias consecuencias algebro-geométricas sorprendentes de su validez. Como caso particular de la conjetura, las métricas de Kähler con curvatura de Ricci cero se establecen sobre varias variedades complejas ; ahora se conocen como métricas de Calabi-Yau . Se han vuelto importantes en la investigación de la teoría de cuerdas desde la década de 1980. [14] [15] [16]
En 1982, Calabi introdujo un flujo geométrico , ahora conocido como flujo de Calabi , como una propuesta para encontrar métricas de Kähler de curvatura escalar constante . [C82a] Más ampliamente, Calabi introdujo la noción de una métrica de Kähler extrema y estableció (entre otros resultados) que proporcionan mínimos globales estrictos del funcional de Calabi y que cualquier métrica de curvatura escalar constante es también un mínimo global. [C85] Más tarde, Calabi y Xiuxiong Chen hicieron un estudio extenso de la métrica introducida por Toshiki Mabuchi , y demostraron que el flujo de Calabi contrae la distancia de Mabuchi entre dos métricas de Kähler cualesquiera. [CC02] Además, demostraron que la métrica de Mabuchi dota al espacio de las métricas de Kähler con la estructura de un espacio de Alexandrov de curvatura no positiva. La dificultad técnica de su trabajo es que las geodésicas en su contexto de dimensión infinita pueden tener una baja diferenciabilidad. [14]
Una construcción bien conocida de Calabi coloca métricas completas de Kähler en los espacios totales de haces de vectores hermitianos cuya curvatura está acotada por debajo. [C79] En el caso de que la base sea una variedad de Kähler-Einstein completa y el paquete de vectores tenga rango uno y curvatura constante, se obtiene una métrica de Kähler-Einstein completa en el espacio total. En el caso del paquete cotangente de una forma espacial compleja, se obtiene una métrica de hiperkähler . El espacio Eguchi-Hanson es un caso especial de la construcción de Calabi. [14]
Calabi encontró el teorema de comparación laplaciano en geometría de Riemann , que relaciona el operador de Laplace-Beltrami , aplicado a la función de distancia de Riemann , con la curvatura de Ricci. [C58a] La función de distancia de Riemann generalmente no es diferenciable en todas partes, lo que plantea una dificultad para formular una versión global del teorema. Calabi hizo uso de una noción generalizada de desigualdades diferenciales, anterior a las soluciones de viscosidad posteriores introducidas por Michael Crandall y Pierre-Louis Lions . Al extender el principio de máximo fuerte de Eberhard Hopf a su noción de soluciones de viscosidad, Calabi pudo utilizar su teorema de comparación laplaciano para extender los resultados recientes de Joseph Keller y Robert Osserman a contextos riemannianos. Posteriormente , Shiu-Yuen Cheng y Yau, entre otros, encontraron más extensiones, basadas en diferentes usos del principio máximo . [14] [17] [18]
Paralelamente al clásico problema de Bernstein para superficies mínimas , Calabi consideró el problema análogo para superficies máximas , resolviendo la cuestión en dimensiones bajas. [C70] Más tarde, Cheng y Yau encontraron una respuesta incondicional, haciendo uso del truco de Calabi en el que Calabi había sido pionero para eludir la no diferenciabilidad de la función de distancia de Riemann. En un trabajo análogo, Calabi había considerado anteriormente las soluciones convexas de la ecuación de Monge-Ampère que se definen en todo el espacio euclidiano y con el "lado derecho" igual a uno. Konrad Jörgens había estudiado anteriormente este problema para funciones de dos variables, demostrando que cualquier solución es un polinomio cuadrático. Al interpretar el problema como uno de geometría afín , Calabi pudo aplicar su trabajo anterior sobre el teorema de comparación laplaciano para extender el trabajo de Jörgens a algunas dimensiones superiores. [C58b] El problema fue resuelto completamente más tarde por Aleksei Pogorelov , y el resultado se conoce comúnmente como teorema de Jörgens-Calabi-Pogorelov . [19]
Más tarde, Calabi consideró el problema de las hiperesferas afines , caracterizando primero superficies como aquellas para las cuales la transformada de Legendre resuelve una determinada ecuación de Monge-Ampère. Al adaptar sus métodos anteriores para extender el teorema de Jörgens, Calabi pudo clasificar las hiperesferas elípticas afines completas. [C72] Más tarde, Cheng y Yau obtuvieron más resultados. [19] [20]
Calabi y Beno Eckmann descubrieron la variedad Calabi-Eckmann en 1953. [CE53] Destaca por ser una variedad compleja simplemente conexa que no admite ninguna métrica de Kähler . [21] [22]
Inspirándose en el trabajo reciente de Kunihiko Kodaira , Calabi y Edoardo Vesentini consideraron la rigidez infinitesimal de los cocientes holomorfos compactos de los dominios de Cartan . [CV60] Haciendo uso de la técnica de Bochner y los desarrollos de cohomología de gavillas de Kodaira , demostraron la rigidez de casos de dimensiones superiores. Su trabajo influyó en el trabajo posterior de George Mostow y Grigori Margulis , quienes establecieron sus resultados de rigidez global a partir de intentos de comprender resultados de rigidez infinitesimales como los de Calabi y Vesentini, junto con trabajos relacionados de Atle Selberg y André Weil . [23]
Calabi y Lawrence Markus consideraron el problema de las formas espaciales de curvatura positiva en la geometría lorentziana . [CM62] Sus resultados, que Joseph A. Wolf consideró "muy sorprendentes", [24] afirman que el grupo fundamental debe ser finito, y que el grupo correspondiente de isometrías del espacio-tiempo de De Sitter (bajo una condición de orientabilidad) actuará fielmente por Isometrías en una esfera ecuatorial. Como tal, su problema de forma espacial se reduce al problema de las formas espaciales riemannianas de curvatura positiva. [25] [26]
El trabajo de John Nash en la década de 1950 consideró el problema de las incrustaciones isométricas . Su trabajo demostró que tales incrustaciones son muy flexibles y deformables. En su tesis doctoral, Calabi había considerado previamente el caso especial de las incrustaciones isométricas holomorfas en formas espaciales geométricas complejas . [C53] Un sorprendente resultado suyo muestra que tales incrustaciones están completamente determinadas por la geometría intrínseca y la curvatura de la forma espacial en cuestión. Además, pudo estudiar el problema de la existencia mediante la introducción de la función diastásica , que es una función definida localmente construida a partir de potenciales de Kähler y que imita la función de distancia de Riemann. Calabi demostró que una incrustación isométrica holomorfa debe preservar la función diastásica. Como consecuencia, pudo obtener un criterio para la existencia local de incrustaciones isométricas holomorfas. [22]
Posteriormente, Calabi estudió las superficies mínimas bidimensionales (de alta codimensión) en esferas redondas. [C67] Demostró que el área de superficies mínimas topológicamente esféricas sólo puede tomar un conjunto discreto de valores, y que las superficies mismas se clasifican mediante curvas racionales en un cierto espacio simétrico hermitiano . [27] [28] [29]
Las obras completas de Calabi se publicaron en 2021: