En geometría , los espacios de Alexandrov con curvatura ≥ k forman una generalización de variedades de Riemann con curvatura seccional ≥ k , donde k es algún número real. Por definición, estos espacios son espacios de longitud completa localmente compactos donde el límite de curvatura inferior se define mediante la comparación de triángulos geodésicos en el espacio con triángulos geodésicos en superficies Riemannianas de curvatura constante estándar. [1] [2]
Se puede demostrar que la dimensión de Hausdorff de un espacio de Alexandrov con curvatura ≥ k es un número entero no negativo o infinito. [1] Se puede definir una noción de "ángulo" y "cono tangente" en estos espacios.
Los espacios de Alexandrov con curvatura ≥ k son importantes ya que forman los límites (en la métrica de Gromov-Hausdorff ) de secuencias de variedades de Riemann con curvatura seccional ≥ k , [3] como lo describe el teorema de compacidad de Gromov .
Los espacios de Alexandrov con curvatura ≥ k fueron introducidos por el matemático ruso Aleksandr Danilovich Aleksandrov en 1948 [3] y no deben confundirse con los espacios discretos de Alexandrov que llevan el nombre del topólogo ruso Pavel Alexandrov . Fueron estudiados en detalle por Burago , Gromov y Perelman en 1992 [4] y posteriormente fueron utilizados en la prueba de Perelman de la conjetura de Poincaré .