Topología de Alexandrov

En topología , una topología de Alexandrov es una topología en la que la intersección de cada familia de conjuntos abiertos es abierta. Es un axioma de topología que la intersección de toda familia finita de conjuntos abiertos es abierta; en las topologías de Alexandrov se elimina la restricción finita.

Un conjunto junto con una topología de Alexandrov se conoce como espacio discreto de Alexandrov o espacio generado finitamente .

Las topologías de Alexandrov están determinadas exclusivamente por sus pedidos anticipados de especialización . De hecho, dado cualquier preorden ≤ en un conjunto X , existe una topología de Alexandrov única en X para la cual el preorden de especialización es ≤. Los conjuntos abiertos son sólo los conjuntos superiores con respecto a ≤. Por lo tanto, las topologías de Alexandrov en X están en correspondencia uno a uno con los pedidos anticipados en X.

Los espacios discretos de Alexandrov también se denominan espacios generados finitamente porque su topología está determinada únicamente por la familia de todos los subespacios finitos. Por tanto, los espacios discretos de Alexandrov pueden verse como una generalización de espacios topológicos finitos .

Debido al hecho de que las imágenes inversas conmutan con uniones e intersecciones arbitrarias, la propiedad de ser un espacio discreto de Alexandrov se conserva en los cocientes .

Los espacios discretos de Alexandrov llevan el nombre del topólogo ruso Pavel Alexandrov . No deben confundirse con los espacios de Alexandrov más geométricos introducidos por el matemático ruso Aleksandr Danilovich Aleksandrov .

Caracterizaciones de las topologías de Alexandrov.

Las topologías de Alexandrov tienen numerosas caracterizaciones. Sea X = < X , T > un espacio topológico. Entonces los siguientes son equivalentes:

• Caracterizaciones de conjuntos abiertos y cerrados:
  • Conjunto abierto. Una intersección arbitraria de conjuntos abiertos en X es abierta.
  • Conjunto cerrado. Una unión arbitraria de conjuntos cerrados en X es cerrada.
• Caracterizaciones del barrio:
  • Barrio más pequeño. Cada punto de X tiene una vecindad más pequeña .
  • Filtro de barrio. El filtro de vecindad de cada punto en X se cierra en intersecciones arbitrarias.
• Caracterizaciones algebraicas interiores y de cierre:
  • Operador interior. El operador interior de X distribuye sobre intersecciones arbitrarias de subconjuntos.
  • Operador de cierre. El operador de cierre de X distribuye entre uniones arbitrarias de subconjuntos.
• Caracterizaciones de reserva:
  • Reserva de especialización. T es la topología más fina consistente con el preorden de especialización de X , es decir , la topología más fina que da el preorden ≤ que satisface x ≤ y si y sólo si x está en el cierre de { y } en X.
  • Conjunto abierto. Hay un preorden ≤ tal que los conjuntos abiertos de X son precisamente aquellos que están cerrados hacia arriba , es decir, si x está en el conjunto y x ≤ y entonces y está en el conjunto. (Este pedido anticipado será precisamente el pedido anticipado de especialización).
  • Conjunto cerrado. Hay un preorden ≤ tal que los conjuntos cerrados de X son precisamente aquellos que están cerrados hacia abajo, es decir, si x está en el conjunto e y ≤ x , entonces y está en el conjunto. (Este pedido anticipado será precisamente el pedido anticipado de especialización).
  • Cierre hacia abajo. Un punto x se encuentra en el cierre de un subconjunto S de X si y sólo si hay un punto y en S tal que x ≤ y donde ≤ es el preorden de especialización, es decir, x se encuentra en el cierre de { y }.
• Caracterizaciones teóricas de categorías y generaciones finitas:
  • Cierre finito. Un punto x se encuentra dentro de la clausura de un subconjunto S de X si y sólo si hay un subconjunto finito F de S tal que x se encuentra en la clausura de F. (Este subconjunto finito siempre se puede elegir para que sea un singleton).
  • Subespacio finito. T es coherente con los subespacios finitos de X .
  • Mapa de inclusión finita. Los mapas de inclusión f _i  : X _i → X de los subespacios finitos de X forman un sumidero final.
  • Generación finita. X se genera de forma finita, es decir, está en el casco final de los espacios finitos. (Esto significa que hay un sumidero final f _i  : X _i → X donde cada X _i es un espacio topológico finito).

Los espacios topológicos que satisfacen las caracterizaciones equivalentes anteriores se denominan espacios finitamente generados o espacios discretos de Alexandrov y su topología T se denomina topología de Alexandrov .

Equivalencia con conjuntos reservados

La topología de Alexandrov en un conjunto reservado

Dado un conjunto preordenado, podemos definir una topología de Alexandrov en X eligiendo que los conjuntos abiertos sean los conjuntos superiores : ${\displaystyle \mathbf {X} =\langle X,\leq \rangle }$ ${\displaystyle \tau }$

${\displaystyle \tau =\{\,G\subseteq X:\forall x,y\in X\ \ (x\in G\ \land \ x\leq y)\ \rightarrow \ y\in G\,\}}$

Obtenemos así un espacio topológico . ${\displaystyle \mathbf {T} (\mathbf {X} )=\langle X,\tau \rangle }$

Los conjuntos cerrados correspondientes son los conjuntos inferiores :

${\displaystyle \{\,S\subseteq X:\forall x,y\in X\ \ (x\in S\ \land \ y\leq x)\ \rightarrow \ y\in S\,\}}$

El preorden de especialización en un espacio topológico.

Dado un espacio topológico X = < X , T > el preorden de especialización en X está definido por:

x ≤ y si y sólo si x está en el cierre de { y }.

Obtenemos así un conjunto preordenado W ( X ) = < X , ≤>.

Equivalencia entre pedidos anticipados y topologías de Alexandrov

Para cada conjunto preordenado X = < X , ≤> siempre tenemos W ( T ( X )) = X , es decir, el preorden de X se recupera del espacio topológico T ( X ) como preorden de especialización. Además, para cada espacio discreto de Alexandrov X , tenemos T ( W ( X )) = X , es decir, la topología de Alexandrov de X se recupera como la topología inducida por el preorden de especialización.

Sin embargo, para un espacio topológico en general no tenemos T ( W ( X )) = X . Más bien T ( W ( X )) será el conjunto X con una topología más fina que la de X (es decir, tendrá conjuntos más abiertos). La topología de T ( W ( X )) induce el mismo preorden de especialización que la topología original del espacio X y, de hecho, es la topología más fina en X con esa propiedad.

Equivalencia entre monotonicidad y continuidad

Dada una función monótona

f  :  X → Y

entre dos conjuntos preordenados (es decir, una función

f  :  X → Y

entre los conjuntos subyacentes tales que x  ≤  y en X implica f ( x ) ≤  f ( y ) en Y ), sea

T ( f ) :  T ( X ) → T ( Y )

ser el mismo mapa que f considerado como un mapa entre los correspondientes espacios de Alexandrov. Entonces T ( f ) es un mapa continuo .

Por el contrario, dado un mapa continuo

gramo :  X → Y

entre dos espacios topológicos, dejemos

W ( g ):  W ( X ) → W ( Y )

ser el mismo mapa que f considerado como un mapa entre los conjuntos preordenados correspondientes. Entonces W ( g ) es una función monótona.

Por tanto, un mapa entre dos conjuntos preordenados es monótono si y sólo si es un mapa continuo entre los correspondientes espacios discretos de Alexandrov. Por el contrario, un mapa entre dos espacios discretos de Alexandrov es continuo si y sólo si es una función monótona entre los conjuntos preordenados correspondientes.

Sin embargo, observe que en el caso de topologías distintas a la topología de Alexandrov, podemos tener un mapa entre dos espacios topológicos que no es continuo pero que, sin embargo, sigue siendo una función monótona entre los conjuntos preordenados correspondientes. (Para ver esto, considere un espacio X no discreto de Alexandrov y considere el mapa de identidad i  :  X → T ( W ( X )).)

Descripción teórica de la categoría de la equivalencia.

Sea Set la categoría de conjuntos y mapas . Sea Top la categoría de espacios topológicos y mapas continuos ; y deje que Pro indique la categoría de conjuntos preordenados y funciones monótonas . Entonces

T  :  Pro → Arriba y

W  :  Arriba → Pro

son functores concretos sobre Set que son adjuntos izquierdo y derecho respectivamente.

Sea Alx la subcategoría completa de Top que consta de espacios discretos de Alexandrov. Entonces las restricciones

T  :  Pro → Alx y

W  :  Alx → Pro

son isomorfismos concretos inversos sobre Set .

Alx es de hecho una subcategoría bicorreflectante de Top con bicorreflector T ◦ W  :  Top → Alx . Esto significa que dado un espacio topológico X , el mapa de identidad

yo  :  T ( W ( X )) → X

es continuo y para cada mapa continuo

f  :  Y → X

donde Y es un espacio discreto de Alexandrov, la composición

yo  ⁻¹ ◦ f  :  Y → T ( W ( X ))

es continuo.

Relación con la construcción de álgebras modales a partir de marcos modales.

Dado un conjunto X ordenado previamente , el operador interior y el operador de cierre de T ( X ) vienen dados por:

Int ( S ) = { x  ∈ S : para todo y  ∈ X, x  ≤  y implica y  ∈ S }, y

Cl ( S ) = { x  ∈ X : existe una y  ∈ S con x  ≤  y }

para todo S  ⊆  X.

Considerando que el operador interior y el operador de cierre son operadores modales en el álgebra booleana de conjuntos potenciados de X , esta construcción es un caso especial de la construcción de un álgebra modal a partir de un marco modal , es decir, de un conjunto con una única relación binaria . (Esta última construcción es en sí misma un caso especial de una construcción más general de un álgebra compleja a partir de una estructura relacional, es decir, un conjunto con relaciones definidas en él). La clase de álgebras modales que obtenemos en el caso de un conjunto preordenado es la clase de álgebras interiores : las abstracciones algebraicas de espacios topológicos.

Propiedades

Cada subespacio de un espacio discreto de Alexandrov es discreto de Alexandrov. ^[1]

El producto de dos espacios discretos de Alexandrov es discreto de Alexandrov. ^[2]

Cada topología de Alexandrov es primero contable .

Cada topología de Alexandrov es localmente compacta en el sentido de que cada punto tiene una base local de vecindades compactas, ya que la vecindad más pequeña de un punto siempre es compacta. ^[3] De hecho, si es la vecindad más pequeña (abierta) de un punto , en sí misma con la topología subespacial cualquier cubierta abierta de contiene una vecindad de incluida en . Tal vecindad es necesariamente igual a , por lo que la cubierta abierta se admite como una subcobertura finita. ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \{U\}}$

Cada topología de Alexandrov está conectada por ruta local . ^{[4] [5]}

Historia

Los espacios de Alexandrov fueron introducidos por primera vez en 1937 por PS Alexandrov bajo el nombre de espacios discretos , donde proporcionó las caracterizaciones en términos de conjuntos y vecindades. ^[6] El nombre de espacios discretos pasó a usarse más tarde para espacios topológicos en los que cada subconjunto es abierto y el concepto original quedó olvidado en la literatura topológica. Por otro lado, los espacios de Alexandrov jugaron un papel relevante en los estudios pioneros de Øystein Ore sobre sistemas de cierre y sus relaciones con la teoría y la topología de redes . ^[7]

Con el avance de la topología categórica en la década de 1980, los espacios de Alexandrov fueron redescubiertos cuando el concepto de generación finita se aplicó a la topología general y se adoptó para ellos el nombre de espacios generados finitamente . Los espacios de Alexandrov también fueron redescubiertos casi al mismo tiempo en el contexto de topologías resultantes de la semántica denotacional y la teoría de dominios en informática .

En 1966, Michael C. McCord y AK Steiner observaron de forma independiente una equivalencia entre conjuntos parcialmente ordenados y espacios que eran precisamente las versiones T 0 de los espacios que Alexandrov había introducido. ^{[8] [9]} PT Johnstone se refirió a este tipo de topologías como topologías de Alexandrov . ^[10] FG Arenas propuso de forma independiente este nombre para la versión general de estas topologías. ^[11] McCord también demostró que estos espacios son equivalentes de homotopía débil al orden complejo del correspondiente conjunto parcialmente ordenado. Steiner demostró que la equivalencia es un isomorfismo reticular contravariante que preserva encuentros y uniones arbitrarias , así como la complementación.

También fue un resultado bien conocido en el campo de la lógica modal que existe una equivalencia entre espacios topológicos finitos y pedidos anticipados en conjuntos finitos (los marcos modales finitos para la lógica modal S4 ). A. Grzegorczyk observó que esto se extendía a una equivalencia entre lo que él llamaba espacios totalmente distributivos y pedidos anticipados. C. Naturman observó que estos espacios eran los espacios discretos de Alexandrov y extendió el resultado a una equivalencia teórica de categorías entre la categoría de espacios discretos de Alexandrov y mapas continuos (abiertos), y la categoría de pedidos anticipados y mapas monótonos (limitados). proporcionando las caracterizaciones de preorden, así como las caracterizaciones algebraicas interiores y de cierre . ^[12]

Una investigación sistemática de estos espacios desde el punto de vista de la topología general, que había sido descuidada desde que el artículo original de Alexandrov fue retomado por FG Arenas. ^[11]

Ver también

• P -espacio , un espacio que satisface la condición más débil de que las intersecciones contables de conjuntos abiertos son abiertas

Referencias

1. Speer 2007, Teorema 7.
2. Arenas 1999, Teorema 2.2.
3. Speer, Timothy (16 de agosto de 2007). "Un breve estudio de los espacios Alexandroff". arXiv : 0708.2136 [matemáticas.GN].Teorema 5
4. "¿Están conectados los vecindarios mínimos en una topología de Alexandrov?". Intercambio de pilas de matemáticas .
5. Arenas 1999, Teorema 2.8.
6. Alexandroff, P. (1937). "Diskrete Räume". Estera. SB . Nueva Serie (en alemán). 2 : 501–518.
7. O. Ore, Algunos estudios sobre relaciones de cierre , Duke Math. J. 10 (1943), 761–785. Véase Marcel Erné, Clausura , en Frédéric Mynard, Elliott Pearl (Editores), Más allá de la topología , Matemáticas contemporáneas vol. 486, Sociedad Estadounidense de Matemáticas, 2009, p.170 y siguientes
8. McCord, MC (1966). "Grupos singulares de homología y homotopía de espacios topológicos finitos". Revista de Matemáticas de Duke . 33 (3): 465–474. doi :10.1215/S0012-7094-66-03352-7.
9. Steiner, Alaska (1966). "El entramado de topologías: estructura y complementación". Transacciones de la Sociedad Matemática Estadounidense . 122 (2): 379–398. doi : 10.2307/1994555 . ISSN  0002-9947. JSTOR  1994555.
10. Johnstone, PT (1986). Espacios de piedra (1ª edición de bolsillo). Nueva York: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-33779-3.
11. Arenas, FG (1999). «Espacios Alexandroff» (PDF) . Acta Matemáticas. Univ. Comenianae . 68 (1): 17–25.
12. Naturman, California (1991). Álgebras interiores y topología . Doctor. tesis, Departamento de Matemáticas de la Universidad de Ciudad del Cabo.