En matemáticas , la categoría de espacios topológicos , a menudo denominada Top , es la categoría cuyos objetos son espacios topológicos y cuyos morfismos son mapas continuos . Esta es una categoría porque la composición de dos mapas continuos es nuevamente continua y la función de identidad es continua. El estudio de Top y de las propiedades de los espacios topológicos utilizando las técnicas de la teoría de categorías se conoce como topología categórica .
NB Algunos autores utilizan el nombre Top para las categorías con variedades topológicas , con espacios generados de forma compacta como objetos y mapas continuos como morfismos o con la categoría de espacios de Hausdorff débiles generados de forma compacta .
Como muchas categorías, la categoría Top es una categoría concreta , lo que significa que sus objetos son conjuntos con estructura adicional (es decir, topologías) y sus morfismos son funciones que preservan esta estructura. Hay un functor olvidadizo natural.
a la categoría de conjuntos que asigna a cada espacio topológico el conjunto subyacente y a cada mapa continuo la función subyacente .
El funtor olvidadizo U tiene un adjunto izquierdo
que equipa un conjunto dado con la topología discreta y un adjunto derecho
que equipa a un conjunto dado con la topología indiscreta . Ambos functores son, de hecho, inversos rectos de U (lo que significa que UD y UI son iguales al funtor de identidad en Set ). Además, dado que cualquier función entre espacios discretos o indiscretos es continua, ambos funtores proporcionan incrustaciones completas de Set into Top .
Top también es fibra completa, lo que significa que la categoría de todas las topologías en un conjunto X dado (llamada fibra de U sobre X ) forma una red completa cuando se ordena por inclusión . El mayor elemento en esta fibra es la topología discreta en X , mientras que el menor elemento es la topología indiscreta.
Top es el modelo de lo que se llama categoría topológica . Estas categorías se caracterizan por el hecho de que cada fuente estructurada tiene un impulso inicial único . En Top, la elevación inicial se obtiene colocando la topología inicial en la fuente. Las categorías topológicas tienen muchas propiedades en común con Top (como integridad de fibra, functores discretos e indiscretos y elevación única de límites).
La categoría Top es completa y cocompleta , lo que significa que todos los límites pequeños y colimites existen en Top . De hecho, el functor olvidadizo U : Arriba → Conjunto levanta de forma única tanto los límites como los colimits y también los preserva. Por lo tanto, los (co)límites en Top se dan colocando topologías en los (co)límites correspondientes en Set .
Específicamente, si F es un diagrama en Top y ( L , φ : L → F ) es un límite de UF en Set , el límite correspondiente de F en Top se obtiene colocando la topología inicial en ( L , φ : L → F ). De manera dual, los colimits en Top se obtienen colocando la topología final en los colimits correspondientes en Set .
A diferencia de muchas categorías algebraicas , el funtor olvidadizo U : Top → Set no crea ni refleja límites ya que normalmente habrá conos no universales en Top que cubren conos universales en Set .
Ejemplos de límites y colimits en Top incluyen:
