En matemáticas , en el área de la teoría de categorías , un funtor olvidadizo (también conocido como funtor de eliminación ) "olvida" o elimina parte o toda la estructura o propiedades de la entrada "antes" de asignarse a la salida. Para una estructura algebraica de una firma determinada , esto se puede expresar recortando la firma: la nueva firma es una forma editada de la antigua. Si la firma se deja como una lista vacía, el functor simplemente tomará el conjunto subyacente de una estructura. Debido a que muchas estructuras en matemáticas constan de un conjunto con una estructura adicional agregada, el caso más común es un funtor olvidadizo que se asigna al conjunto subyacente.
Como ejemplo, hay varios funtores olvidadizos de la categoría de anillos conmutativos . Un anillo ( unital ) , descrito en el lenguaje del álgebra universal , es una tupla ordenada que satisface ciertos axiomas, donde y son funciones binarias en el conjunto , es una operación unaria correspondiente a la inversa aditiva, y 0 y 1 son operaciones nulas que dan las identidades. de las dos operaciones binarias. Eliminar el 1 da un funtor olvidadizo a la categoría de anillos sin unidad ; simplemente "olvida" la unidad. Al eliminar y 1 se obtiene un functor para la categoría de grupos abelianos , que asigna a cada anillo el grupo abeliano aditivo subyacente de . A cada morfismo de anillos se le asigna la misma función considerada simplemente como un morfismo de suma entre los grupos subyacentes. Al eliminar todas las operaciones se obtiene el functor del conjunto subyacente .
Es beneficioso distinguir entre funtores olvidadizos que "olvidan la estructura" y aquellos que "olvidan las propiedades". Por ejemplo, en el ejemplo anterior de anillos conmutativos, además de los funtores que eliminan algunas de las operaciones, hay funtores que olvidan algunos de los axiomas. Hay un funtor de la categoría CRing to Ring que olvida el axioma de conmutatividad, pero mantiene todas las operaciones. Ocasionalmente, el objeto puede incluir conjuntos adicionales no definidos estrictamente en términos del conjunto subyacente (en este caso, qué parte considerar del conjunto subyacente es una cuestión de gustos, aunque esto rara vez es ambiguo en la práctica). Para estos objetos, existen funtores olvidadizos que olvidan los conjuntos extra que son más generales.
Los objetos más comunes estudiados en matemáticas se construyen como conjuntos subyacentes junto con conjuntos adicionales de estructura en esos conjuntos (operaciones en el conjunto subyacente, subconjuntos privilegiados del conjunto subyacente, etc.) que pueden satisfacer algunos axiomas. Para estos objetos, un functor olvidadizo comúnmente considerado es el siguiente. Sea cualquier categoría basada en conjuntos , por ejemplo, grupos (conjuntos de elementos) o espacios topológicos (conjuntos de 'puntos'). Como de costumbre, escribe para los objetos de y escribe para los morfismos de los mismos. Considere la regla:
El funtor es entonces el funtor olvidadizo de Set , la categoría de conjuntos .
Los functores olvidadizos casi siempre son fieles . Las categorías concretas tienen funtores olvidadizos para la categoría de conjuntos; de hecho, pueden definirse como aquellas categorías que admiten un functor fiel para esa categoría.
Los funtores olvidadizos que sólo olvidan axiomas son siempre plenamente fieles , ya que todo morfismo que respeta la estructura entre objetos que satisfacen los axiomas automáticamente también respeta los axiomas. Los functores olvidadizos que olvidan estructuras no necesitan estar llenos; algunos morfismos no respetan la estructura. Sin embargo, estos functores siguen siendo fieles porque los distintos morfismos que respetan la estructura siguen siendo distintos cuando se olvida la estructura. Los functores que olvidan los conjuntos adicionales no tienen por qué ser fieles, ya que distintos morfismos que respetan la estructura de esos conjuntos adicionales pueden ser indistinguibles en el conjunto subyacente.
En el lenguaje de la lógica formal, un funtor del primer tipo elimina axiomas, un funtor del segundo tipo elimina predicados y un functor del tercer tipo elimina tipos [ aclaración necesaria ] . Un ejemplo del primer tipo es el funtor olvidadizo Ab → Grp . Uno del segundo tipo es el funtor olvidadizo Ab → Set . Un funtor del tercer tipo es el funtor Mod → Ab , donde Mod es la categoría de fibra de todos los módulos sobre anillos arbitrarios. Para ver esto, simplemente elija un homomorfismo de anillo entre los anillos subyacentes que no cambie la acción del anillo. Bajo el functor olvidadizo, este morfismo produce la identidad. Tenga en cuenta que un objeto en Mod es una tupla, que incluye un anillo y un grupo abeliano, por lo que olvidarlo es una cuestión de gustos.
Los functores olvidadizos tienden a tener adjuntos izquierdos , que son construcciones " libres ". Por ejemplo:
Para una lista más extensa, ver (Mac Lane 1997).
Como este es un ejemplo fundamental de adjuntos, lo explicamos detalladamente: adjunción significa que dado un conjunto X y un objeto (digamos, un módulo R ) M , los mapas de conjuntos corresponden a mapas de módulos : cada mapa de conjuntos produce un mapa de módulos, y cada mapa de módulos proviene de un mapa de conjuntos.
En el caso de los espacios vectoriales, esto se resume como: "Un mapa entre espacios vectoriales está determinado por dónde envía una base, y una base se puede asignar a cualquier cosa".
Simbólicamente:
La unidad de la adjunción libre-olvidable es la "inclusión de una base": .
Fld , la categoría de campos, proporciona un ejemplo de functor olvidadizo sin adjunto. No existe ningún campo que satisfaga una propiedad universal libre para un conjunto dado.
