categoría concreta

Categoría equipada con un funtor fiel a la categoría de conjuntos.

En matemáticas , una categoría concreta es una categoría que está equipada con un funtor fiel a la categoría de conjuntos (o, a veces, a otra categoría, consulte Concreción relativa a continuación ). Este functor permite pensar en los objetos de la categoría como conjuntos con estructura adicional , y en sus morfismos como funciones que preservan la estructura. Muchas categorías importantes tienen interpretaciones obvias como categorías concretas, por ejemplo la categoría de espacios topológicos y la categoría de grupos , y trivialmente también la categoría de conjuntos en sí. Por otro lado, la categoría de homotopía de espacios topológicos no es concretizable , es decir, no admite un functor fiel a la categoría de conjuntos.

Una categoría concreta, cuando se define sin referencia a la noción de categoría, consta de una clase de objetos , cada uno de ellos equipado con un conjunto subyacente ; y para dos objetos cualesquiera A y B un conjunto de funciones, llamadas morfismos , desde el conjunto subyacente de A hasta el conjunto subyacente de B. Además, para cada objeto A , la función de identidad en el conjunto subyacente de A debe ser un morfismo de A a A , y la composición de un morfismo de A a B seguido de un morfismo de B a C debe ser un morfismo de A a C . ^[1]

Definición

Una categoría concreta es un par ( C , U ) tal que

• C es una categoría y
• U  : C → Set (la categoría de conjuntos y funciones) es un funtor fiel .

El funtor U debe considerarse como un funtor olvidadizo , que asigna a cada objeto de C su "conjunto subyacente" y a cada morfismo en C su "función subyacente".

Una categoría C es concretizable si existe una categoría concreta ( C , U ); es decir, si existe un funtor fiel U :  C → Set . Todas las categorías pequeñas son concretizables: defina U para que su parte objeto asigne cada objeto b de C al conjunto de todos los morfismos de C cuyo codominio es b (es decir, todos los morfismos de la forma f : a → b para cualquier objeto a de C ) , y su parte de morfismo asigna cada morfismo g : b → c de C a la función U ( g ): U ( b ) → U ( c ) que asigna cada miembro f : a → b de U ( b ) a la composición gf : a → c , un miembro de U ( c ). (El punto 6 en Más ejemplos expresa la misma U en un lenguaje menos elemental a través de presheaves). La sección Contraejemplos exhibe dos grandes categorías que no son concretizables.

Observaciones

Es importante señalar que, contrariamente a la intuición, la concreción no es una propiedad que una categoría puede satisfacer o no, sino más bien una estructura con la que una categoría puede estar equipada o no. En particular, una categoría C puede admitir varios functores fieles en Set . Por tanto, puede haber varias categorías concretas ( C ,  U ) , todas correspondientes a la misma categoría C.

En la práctica, sin embargo, la elección del funtor fiel suele ser clara y en este caso simplemente hablamos de la "categoría concreta C ". Por ejemplo, "la categoría concreta Conjunto " significa el par ( Conjunto ,  I ) donde I denota el funtor de identidad Conjunto → Conjunto .

El requisito de que U sea fiel significa que asigna diferentes morfismos entre los mismos objetos a diferentes funciones. Sin embargo, U puede asignar diferentes objetos al mismo conjunto y, si esto ocurre, también asignará diferentes morfismos a la misma función.

Por ejemplo, si S y T son dos topologías diferentes en el mismo conjunto X , entonces ( X ,  S ) y ( X ,  T ) son objetos distintos en la categoría Top de espacios topológicos y mapas continuos, pero asignados al mismo conjunto X. por el functor olvidadizo Arriba → Establecer . Además, el morfismo de identidad ( X ,  S ) → ( X ,  S ) y el morfismo de identidad ( X ,  T ) → ( X ,  T ) se consideran morfismos distintos en Top , pero tienen la misma función subyacente, es decir, la función de identidad. en X.​

De manera similar, a cualquier conjunto con cuatro elementos se le pueden dar dos estructuras de grupo no isomorfas: una isomorfa a y la otra isomorfa a . ${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} \times \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /4\mathbb {Z} }$

Más ejemplos

1. Cualquier grupo G puede considerarse como una categoría "abstracta" con un objeto arbitrario, y un morfismo para cada elemento del grupo. Esto no se consideraría concreto según la noción intuitiva descrita al principio de este artículo. Pero cada conjunto G fiel (equivalentemente, cada representación de G como un grupo de permutaciones ) determina un funtor fiel G → Conjunto . Dado que cada grupo actúa fielmente sobre sí mismo, G puede convertirse en una categoría concreta al menos de una manera. ${\displaystyle \ast }$
2. De manera similar, cualquier poset P puede considerarse como una categoría abstracta con una flecha única x → y siempre que x ≤ y . Esto se puede concretar definiendo un funtor D  : P → Conjunto que asigna cada objeto x y cada flecha x → y al mapa de inclusión . ${\displaystyle D(x)=\{a\in P:a\leq x\}}$ ${\displaystyle D(x)\hookrightarrow D(y)}$
3. La categoría Rel cuyos objetos son conjuntos y cuyos morfismos son relaciones se puede concretar tomando U para asignar cada conjunto X a su conjunto potencia y cada relación a la función definida por . Teniendo en cuenta que los conjuntos de potencias son redes completas bajo inclusión, aquellas funciones entre ellos que surgen de alguna relación R de esta manera son exactamente las aplicaciones que preservan el supremo . Por lo tanto, Rel es equivalente a una subcategoría completa de la categoría Sup de redes completas y sus mapas de preservación de sup. Por el contrario, a partir de esta equivalencia podemos recuperar U como el compuesto Rel → Sup → Conjunto del functor olvidadizo para Sup con esta incrustación de Rel en Sup . ${\displaystyle 2^{X}}$ ${\displaystyle R\subseteq X\times Y}$ ${\displaystyle \rho :2^{X}\rightarrow 2^{Y}}$ ${\displaystyle \rho (A)=\{y\in Y\mid \exists \,x\in A:xRy\}}$
4. La categoría Set ^op se puede incrustar en Rel representando cada conjunto como sí mismo y cada función f : X → Y como la relación de Y a X formada como el conjunto de pares ( f ( x ), x ) para todo x ∈ X ; por tanto, Set ^op es concretizable. El funtor olvidadizo que surge de esta manera es el funtor powerset contravariante Set ^op → Set .
5. Del ejemplo anterior se deduce que lo opuesto a cualquier categoría concretizable C es nuevamente concretizable, ya que si U es un funtor fiel C → Set entonces C ^op puede estar equipado con el compuesto C ^op → Set ^op → Set .
6. Si C es una categoría pequeña, entonces existe un funtor fiel P  : Set ^{C op} → Set que asigna un presheaf X al coproducto . Al componer esto con la incrustación de Yoneda Y : C → Set ^{C op} , se obtiene un funtor fiel C → Set . ${\displaystyle \coprod _{c\in \mathrm {ob} C}X(c)}$
7. Por razones técnicas, la categoría Ban ₁ de espacios de Banach y contracciones lineales a menudo no está equipada con el funtor olvidadizo "obvio" sino con el funtor U ₁  : Ban ₁ → Conjunto que asigna un espacio de Banach a su bola unitaria (cerrada) .
8. La categoría Cat cuyos objetos son categorías pequeñas y cuyos morfismos son funtores se puede concretar enviando cada categoría C al conjunto que contiene sus objetos y morfismos. Los functores pueden verse simplemente como funciones que actúan sobre los objetos y morfismos.

Contraejemplos

La categoría hTop , donde los objetos son espacios topológicos y los morfismos son clases de homotopía de funciones continuas, es un ejemplo de una categoría que no es concretizable. Si bien los objetos son conjuntos (con estructura adicional), los morfismos no son funciones reales entre ellos, sino clases de funciones. El hecho de que no existe ningún funtor fiel desde hTop hasta Set lo demostró por primera vez Peter Freyd . En el mismo artículo, Freyd cita un resultado anterior de que la categoría de "categorías pequeñas y clases de functores de equivalencia natural " tampoco logra ser concretable.

Estructura implícita de categorías concretas.

Dada una categoría concreta ( C ,  U ) y un número cardinal N , sea U ^N el funtor C → Conjunto determinado por U ^N (c) = (U(c)) ^N . Entonces un subfunctor de U ^N se llama predicado N-ario y una transformación natural U ^N → U operación N-aria .

La clase de todos los predicados N -arios y operaciones N -arias de una categoría concreta ( C , U ), con N abarcando la clase de todos los números cardinales, forma una firma grande . La categoría de modelos para esta firma contiene entonces una subcategoría completa que equivale a C.

Concreción relativa

En algunas partes de la teoría de categorías, más notablemente en la teoría del topos , es común reemplazar la categoría Conjunto con una categoría diferente X , a menudo llamada categoría base . Por esta razón, tiene sentido llamar a un par ( C ,  U ) donde C es una categoría y U un functor fiel C → X una categoría concreta sobre X . Por ejemplo, puede ser útil pensar que los modelos de una teoría con N tipos forman una categoría concreta sobre el Conjunto ^N.

En este contexto, una categoría concreta sobre Set a veces se denomina construcción .

Notas

1. Mac Lane, Saunders ; Birkhoff, Garrett (1999), Álgebra (3.ª ed.), AMS Chelsea, ISBN 978-0-8218-1646-2

Referencias

• Adámek, Jiří, Herrlich, Horst y Strecker, George E.; (1990). Categorías abstractas y concretas (PDF de 4,2 MB). Originalmente público. John Wiley e hijos. ISBN 0-471-60922-6 . (ahora edición gratuita en línea). 
• Fredd, Peter; (1970). La homotopía no es concreta. Publicado originalmente en: The Steenrod Algebra and its Applications, Springer Lecture Notes in Mathematics vol. 168. Publicado nuevamente en una revista gratuita en línea: Reprints in Theory and Applications of Category, No. 6 (2004), con el permiso de Springer-Verlag.
• Rosický, Jiří; (1981). Categorías concretas y lenguajes infinitos . Revista de álgebra pura y aplicada, volumen 22, número 3.