En la teoría de categorías , una rama de las matemáticas , un subfunctor es un tipo especial de funtor que es análogo de un subconjunto .
Sea C una categoría y sea F un funtor contravariante de C a la categoría de conjuntos Set . Un funtor contravariante G de C a Set es un subfunctor de F si
Esta relación suele escribirse como G ⊆ F .
Por ejemplo, sea 1 la categoría con un solo objeto y una sola flecha. Un funtor F : 1 → Set asigna el objeto único de 1 a algún conjunto S y la flecha de identidad única de 1 a la función de identidad 1 S en S . Un subfunctor G de F asigna el objeto único de 1 a un subconjunto T de S y asigna la flecha de identidad única a la función de identidad 1 T en T. Observe que 1 T es la restricción de 1 S a T. En consecuencia, los subfunctores de F corresponden a subconjuntos de S.
Los subfunctores en general son como versiones globales de subconjuntos. Por ejemplo, si uno imagina que los objetos de alguna categoría C son análogos a los conjuntos abiertos de un espacio topológico, entonces un functor contravariante de C a la categoría de conjuntos da un prehaz valorado por conjunto en C , es decir, asocia conjuntos a los objetos de C de una manera que sea compatible con las flechas de C . Luego, un subfunctor asocia un subconjunto a cada conjunto, nuevamente de forma compatible.
Los ejemplos más importantes de subfunctores son los subfunctores del functor Hom . Sea c un objeto de la categoría C y considere el funtor Hom(−, c ) . Este functor toma un objeto c ′ de C y devuelve todos los morfismos c ′ → c . Un subfunctor de Hom(−, c ) devuelve sólo algunos de los morfismos. Este subfunctor se llama tamiz y normalmente se utiliza al definir topologías de Grothendieck .
Los subfunctores también se utilizan en la construcción de functores representables en la categoría de espacios anillados . Sea F un funtor contravariante de la categoría de espacios anillados a la categoría de conjuntos, y sea G ⊆ F . Supongamos que este morfismo de inclusión G → F es representable mediante inmersiones abiertas, es decir, para cualquier funtor representable Hom(−, X ) y cualquier morfismo Hom(−, X ) → F , el producto fibroso G × F Hom(−, X ) es un funtor representable Hom(−, Y ) y el morfismo Y → X definido por el lema de Yoneda es una inmersión abierta. Entonces G se llama subfunctor abierto de F . Si F está cubierto por subfunctores abiertos representables, entonces, bajo ciertas condiciones, se puede demostrar que F es representable. Esta es una técnica útil para la construcción de espacios anillados. Fue descubierto y explotado intensamente por Alexander Grothendieck , quien lo aplicó especialmente al caso de las intrigas . Para una declaración formal y pruebas, véase Grothendieck, Éléments de géométrie algébrique , vol. 1, 2ª ed., capítulo 0, apartado 4.5.