codominio

En matemáticas , un codominio o conjunto de destino de una función es un conjunto en el que toda la salida de la función está obligada a caer. Es el conjunto $Y$ en la notación $f : X \to Y$ . El término rango a veces se utiliza de forma ambigua para referirse al codominio o a la imagen de una función.

Un codominio es parte de una función $f$ si $f$ se define como una tripleta $(X, Y, G)$ donde $X$ se llama dominio de $f$ , $Y$ su codominio y $G$ su gráfica . ^[1] El conjunto de todos los elementos de la forma $f (x)$ , donde $x$ abarca los elementos del dominio $X$ , se llama imagen de $f$ . La imagen de una función es un subconjunto de su codominio por lo que puede no coincidir con él. Es decir, una función que no es sobreyectiva tiene elementos $y$ en su codominio para los cuales la ecuación $f (x) = y$ no tiene solución.

Un codominio no es parte de una función $f$ si $f$ se define simplemente como un gráfico. ^[2]^[3] Por ejemplo, en teoría de conjuntos es deseable permitir que el dominio de una función sea una clase adecuada $X$ , en cuyo caso formalmente no existe un triple $(X, Y, G)$ . Con tal definición, las funciones no tienen codominio, aunque algunos autores todavía lo usan informalmente después de introducir una función en la forma $f : X \to Y$ . ^[4]

Ejemplos

para una función

f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}

definido por

f\colon \,x\mapsto x^{2},

o equivalente

f(x)\ =\ x^{2},

el codominio de $f$ es , pero $f$ no se asigna a ningún número negativo. Así, la imagen de $f$ es el conjunto ; es decir, el intervalo $[0, \infty)$ . $\textstyle \mathbb {R}$ $\textstyle \mathbb {R} _ {0}^{+}$

Una función alternativa $g$ se define así:

g\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} _{0}^{+}

g\colon \,x\mapsto x^{2}.

Si bien $f$ y $g$ asignan una $x$ dada al mismo número, desde este punto de vista no son la misma función porque tienen codominios diferentes. Se puede definir una tercera función $h para demostrar por qué:$

h\colon \,x\mapsto {\sqrt {x}}.

El dominio de $h$ no puede ser , pero puede definirse como : $\textstyle \mathbb {R}$ $\textstyle \mathbb {R} _ {0}^{+}$

h\colon \mathbb {R} _ {0}^{+}\rightarrow \mathbb {R} .

Las composiciones se indican

h\circ f,

h\circ g.

En la inspección, $h \circ f$ no es útil. Es cierto, a menos que se defina lo contrario, que no se conoce la imagen de $f ;$ sólo se sabe que es un subconjunto de . Por esta razón, es posible que $h$ , cuando se compone con $f$ , reciba un argumento para el cual no se define ninguna salida: los números negativos no son elementos del dominio de $h$ , que es la función de raíz cuadrada . $\textstyle \mathbb {R}$

Por lo tanto, la composición de funciones es una noción útil sólo cuando el codominio de la función en el lado derecho de una composición (no su imagen , que es una consecuencia de la función y podría ser desconocida al nivel de la composición) es un subconjunto del dominio. de la función en el lado izquierdo.

El codominio afecta si una función es una sobreyección , en el sentido de que la función es sobreyectiva si y sólo si su codominio es igual a su imagen. En el ejemplo, $g$ es una sobreyección mientras que $f$ no lo es. El codominio no afecta si una función es una inyección .

Un segundo ejemplo de la diferencia entre codominio e imagen lo demuestran las transformaciones lineales entre dos espacios vectoriales , en particular, todas las transformaciones lineales de hacia sí mismo, que pueden representarse mediante matrices $de 2 \times 2$ con coeficientes reales. Cada matriz representa un mapa con el dominio y codominio . Sin embargo, la imagen es incierta. Algunas transformaciones pueden tener una imagen igual a todo el codominio (en este caso, las matrices con rango $2$ ), pero muchas no, sino que se asignan a algún subespacio más pequeño (las matrices con rango $1$ o $0$ ). Tomemos por ejemplo la matriz $T$ dada por $\textstyle \mathbb {R} ^{2}$ $\textstyle \mathbb {R} ^{2}$ $\textstyle \mathbb {R} ^{2}$

T={\begin{pmatrix}1&0\\1&0\end{pmatrix}}

que representa una transformación lineal que asigna el punto $(x, y)$ a $(x, x)$ . El punto $(2, 3)$ no está en la imagen de $T$ , pero todavía está en el codominio ya que las transformaciones lineales de a son explícitamente relevantes. Al igual que todas las matrices $de 2\times2$ , $T$ representa un miembro de ese conjunto. Examinar las diferencias entre la imagen y el codominio a menudo puede resultar útil para descubrir propiedades de la función en cuestión. Por ejemplo, se puede concluir que $T$ no tiene rango completo ya que su imagen es más pequeña que todo el codominio. $\textstyle \mathbb {R} ^{2}$ $\textstyle \mathbb {R} ^{2}$

Ver también

Biyección – Correspondencia uno a uno
Morfismo#Codominio

Notas

^ Bourbaki 1970, pag. 76
^ Bourbaki 1970, pag. 77
^ Forster 2003, págs. 10-11
^ Eccles 1997, pag. 91 (cita 1, cita 2); Mac Lane 1998, pág. 8; Mac Lane, en Scott y Jech 1967, pág. 232; Sharma 2004, pág. 91; Stewart y Tall 1977, pág. 89

Referencias

Bourbaki, Nicolás (1970). Teoría de los conjuntos . Elementos matemáticos. Saltador. ISBN 9783540340348.
Eccles, Peter J. (1997), Introducción al razonamiento matemático: números, conjuntos y funciones , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-59718-0
Forster, Thomas (2003), Lógica, inducción y conjuntos , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-53361-4
Mac Lane, Saunders (1998), Categorías para el matemático trabajador (2ª ed.), Springer, ISBN 978-0-387-98403-2
Scott, Dana S .; Jech, Thomas J. (1967), Teoría de conjuntos axiomáticos , Simposio de Matemática Pura, Sociedad Matemática Estadounidense, ISBN 978-0-8218-0245-8
Sharma, AK (2004), Introducción a la teoría de conjuntos , Discovery Publishing House, ISBN 978-81-7141-877-0
Stewart, Ian ; Tall, David Orme (1977), Los fundamentos de las matemáticas , Oxford University Press, ISBN 978-0-19-853165-4