Colector Calabi-Eckmann

En geometría compleja , una parte de las matemáticas, una variedad de Calabi-Eckmann (o, a menudo, espacio de Calabi-Eckmann ), llamada así en honor a Eugenio Calabi y Beno Eckmann , es una variedad compleja , homogénea , no de Kähler , homeomorfa a un producto de dos. esferas de dimensiones impares de dimensión ≥ 3.

La variedad Calabi-Eckmann se construye de la siguiente manera. Consideremos el espacio donde , equipado con una acción del grupo : ${\displaystyle {\mathbb {C} }^{n}\backslash \{0\}\times {\mathbb {C} }^{m}\backslash \{0\}}$ ${\displaystyle m,n>1}$ ${\displaystyle {\mathbb {C} }}$

${\displaystyle t\in {\mathbb {C} },\ (x,y)\in {\mathbb {C} }^{n}\backslash \{0\}\times {\mathbb {C} }^{m}\backslash \{0\}\mid t(x,y)=(e^{t}x,e^{\alpha t}y)}$

donde es un número complejo fijo . Es fácil comprobar que esta acción es libre y propia, y que el espacio orbital correspondiente M es homeomorfo a . Dado que M es un espacio cociente de una acción holomorfa, también es una variedad compleja. Es obviamente homogéneo, con una acción holomorfa transitiva de ${\displaystyle \alpha \in {\mathbb {C} }\backslash {\mathbb {R} }}$ ${\displaystyle S^{2n-1}\times S^{2m-1}}$ ${\displaystyle \operatorname {GL} (n,{\mathbb {C} })\times \operatorname {GL} (m,{\mathbb {C} })}$

Una variedad M de Calabi-Eckmann no es Kähler, porque . Es el ejemplo más simple de una variedad no Kähler que está simplemente conectada (en la dimensión 2, todas las variedades complejas compactas simplemente conectadas son Kähler). ${\displaystyle H^{2}(M)=0}$

La proyección natural

${\displaystyle {\mathbb {C} }^{n}\backslash \{0\}\times {\mathbb {C} }^{m}\backslash \{0\}\mapsto {\mathbb {C} }P^{n-1}\times {\mathbb {C} }P^{m-1}}$

induce un mapa holomórfico de la correspondiente variedad Calabi-Eckmann M a . La fibra de este mapa es una curva elíptica T , obtenida como cociente de por la red . Esto convierte a M en un paquete T principal . ${\displaystyle {\mathbb {C} }P^{n-1}\times {\mathbb {C} }P^{m-1}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle {\mathbb {Z} }+\alpha \cdot {\mathbb {Z} }}$

Calabi y Eckmann descubrieron estas variedades en 1953. ^[1]

Notas

1. Calabí, Eugenio ; Eckmann, Benno (1953), "Una clase de variedades complejas compactas que no son algebraicas", Annals of Mathematics , 58 : 494–500