Principio máximo

Teorema en análisis complejo

En los campos matemáticos de las ecuaciones diferenciales y el análisis geométrico , el principio de máximo es una de las herramientas de estudio más útiles y conocidas. Las soluciones de una desigualdad diferencial en un dominio D satisfacen el principio de máximo si alcanzan sus máximos en la frontera de D.

El principio de máximo permite obtener información sobre soluciones de ecuaciones diferenciales sin ningún conocimiento explícito de las soluciones mismas. En particular, el principio de máximo es una herramienta útil en la aproximación numérica de soluciones de ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales y en la determinación de límites para los errores en tales aproximaciones. ^[1]

En un caso bidimensional simple, considere una función de dos variables u ( x , y ) tal que

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}=0.}$

El principio del máximo débil , en este contexto, dice que para cualquier subconjunto precompacto abierto M del dominio de u , el máximo de u en el cierre de M se logra en el límite de M. El principio del máximo fuerte dice que, a menos que u sea una función constante, el máximo tampoco puede alcanzarse en ningún lugar del propio M.

Tales afirmaciones dan una imagen cualitativa sorprendente de las soluciones de la ecuación diferencial dada. Esta imagen cualitativa puede extenderse a muchos tipos de ecuaciones diferenciales. En muchas situaciones, también se pueden utilizar dichos principios máximos para sacar conclusiones cuantitativas precisas sobre soluciones de ecuaciones diferenciales, como el control sobre el tamaño de su gradiente . No existe un principio máximo único o más general que se aplique a todas las situaciones a la vez.

En el campo de la optimización convexa , existe una afirmación análoga que afirma que el máximo de una función convexa en un conjunto convexo compacto se alcanza en la frontera . ^[2]

Intuición

Una formulación parcial del principio del máximo fuerte.

Aquí consideramos el caso más simple, aunque el mismo pensamiento puede extenderse a escenarios más generales. Sea M un subconjunto abierto del espacio euclidiano y sea u una función C ² sobre M tal que

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}a_{ij}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{i}\,\partial x^{j}}}=0}$

donde para cada i y j entre 1 y n , a _ij es una función en M con a _ij = a _ji .

Arreglar alguna elección de x en M . Según el teorema espectral del álgebra lineal, todos los valores propios de la matriz [ a _ij ( x )] son ​​reales y existe una base ortonormal de ℝ ⁿ que consta de vectores propios. Denota los valores propios por λ _i y los vectores propios correspondientes por v _i , para i de 1 a n . Entonces la ecuación diferencial, en el punto x , se puede reformular como

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}\left.{\frac {d^{2}}{dt^{2}}}\right|_{t=0}{\big (}u(x+tv_{i}){\big )}=0.}$

La esencia del principio de máximo es la simple observación de que si cada valor propio es positivo (lo que equivale a una cierta formulación de "elipicidad" de la ecuación diferencial), entonces la ecuación anterior impone un cierto equilibrio de las segundas derivadas direccionales de la solución. En particular, si una de las segundas derivadas direccionales es negativa, entonces la otra debe ser positiva. En un punto hipotético donde u se maximiza, todas las segundas derivadas direccionales son automáticamente no positivas, y el "equilibrio" representado por la ecuación anterior requiere que todas las segundas derivadas direccionales sean idénticamente cero.

Se podría argumentar que este razonamiento elemental representa una formulación infinitesimal del principio del máximo fuerte, que establece, bajo algunos supuestos adicionales (como la continuidad de a ), que u debe ser constante si hay un punto de M donde u se maximiza.

Tenga en cuenta que el razonamiento anterior no se ve afectado si se considera la ecuación diferencial parcial más general

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}a_{ij}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{i}\,\partial x^{j}}}+\sum _{i=1}^{n}b_{i}{\frac {\partial u}{\partial x^{i}}}=0,}$

ya que el término agregado es automáticamente cero en cualquier punto máximo hipotético. El razonamiento tampoco se ve afectado si se considera la condición más general

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}a_{ij}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{i}\,\partial x^{j}}}+\sum _{i=1}^{n}b_{i}{\frac {\partial u}{\partial x^{i}}}\geq 0,}$

en el que incluso se puede notar el fenómeno adicional de tener una contradicción absoluta si hay una desigualdad estricta ( > en lugar de ≥ ) en esta condición en el punto máximo hipotético. Este fenómeno es importante en la prueba formal del principio clásico del máximo débil.

Inaplicabilidad del principio del máximo fuerte

Sin embargo, el razonamiento anterior ya no se aplica si se considera la condición

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}a_{ij}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{i}\,\partial x^{j}}}+\sum _{i=1}^{n}b_{i}{\frac {\partial u}{\partial x^{i}}}\leq 0,}$

ya que ahora la condición de "equilibrio", evaluada en un punto máximo hipotético de u , sólo dice que un promedio ponderado de cantidades manifiestamente no positivas no es positivo. Esto es trivialmente cierto, por lo que no se puede sacar de ello ninguna conclusión que no sea trivial. Esto se refleja en numerosos ejemplos concretos, como el hecho de que

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}{\big (}{-x}^{2}-y^{2}{\big )}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}{\big (}{-x}^{2}-y^{2}{\big )}\leq 0,}$

y en cualquier región abierta que contenga el origen, la función − x ² − y ² ciertamente tiene un máximo.

El principio clásico del máximo débil para la PDE elíptica lineal

la idea esencial

Sea M un subconjunto abierto del espacio euclidiano. Si una función suave se maximiza en un punto p , entonces automáticamente se tiene: ${\displaystyle u:M\to \mathbb {R} }$

• ${\displaystyle (du)(p)=0}$
• ${\displaystyle (\nabla ^{2}u)(p)\leq 0,}$como desigualdad matricial.

Se puede ver una ecuación diferencial parcial como la imposición de una relación algebraica entre las distintas derivadas de una función. Entonces, si u es la solución de una ecuación diferencial parcial, entonces es posible que las condiciones anteriores sobre la primera y segunda derivadas de u formen una contradicción con esta relación algebraica. Ésta es la esencia del principio de máxima. Claramente, la aplicabilidad de esta idea depende en gran medida de la ecuación diferencial parcial particular en cuestión.

Por ejemplo, si u resuelve la ecuación diferencial

${\displaystyle \Delta u=|du|^{2}+2,}$

entonces es claramente imposible tenerlo y en cualquier punto del dominio. Entonces, siguiendo la observación anterior, es imposible que u tome un valor máximo. Si, en cambio, resolvieras la ecuación diferencial entonces no tendríamos tal contradicción, y el análisis dado hasta ahora no implica nada interesante. Si u resolviera la ecuación diferencial , entonces el mismo análisis mostraría que u no puede tomar un valor mínimo. ${\displaystyle \Delta u\leq 0}$ ${\displaystyle du=0}$ ${\displaystyle \Delta u=|du|^{2}}$ ${\displaystyle \Delta u=|du|^{2}-2,}$

La posibilidad de tal análisis ni siquiera se limita a ecuaciones diferenciales parciales. Por ejemplo, si es una función tal que ${\displaystyle u:M\to \mathbb {R} }$

${\displaystyle \Delta u-|du|^{4}=\int _{M}e^{u(x)}\,dx,}$

que es una especie de ecuación diferencial "no local", entonces la positividad estricta automática del lado derecho muestra, mediante el mismo análisis anterior, que u no puede alcanzar un valor máximo.

Existen muchos métodos para ampliar la aplicabilidad de este tipo de análisis de diversas maneras. Por ejemplo, si u es una función armónica, entonces el tipo de contradicción anterior no ocurre directamente, ya que la existencia de un punto p donde no contradice el requisito en todas partes. Sin embargo, se podría considerar, para un número real arbitrario s , la función u _s definida por ${\displaystyle \Delta u(p)\leq 0}$ ${\displaystyle \Delta u=0}$

${\displaystyle u_{s}(x)=u(x)+se^{x_{1}}.}$

Es sencillo ver que

${\displaystyle \Delta u_{s}=se^{x_{1}}.}$

Según el análisis anterior, si entonces _no podemos alcanzar un valor máximo. Se podría considerar el límite como s a 0 para concluir que u tampoco puede alcanzar un valor máximo. Sin embargo, es posible que el límite puntual de una secuencia de funciones sin máximos tenga un máximo. Sin embargo, si M tiene una frontera tal que M junto con su frontera es compacta, entonces suponiendo que u puede extenderse continuamente hasta la frontera, se deduce inmediatamente que tanto u como u _s alcanzan un valor máximo en Ya que hemos demostrado que u _s , como función en M , no tiene un máximo, se deduce que el punto máximo de u _s , para cualquier s , está en Por la compacidad secuencial de esto se deduce que el máximo de u se alcanza en Este es el principio del máximo débil para funciones armónicas. Esto, por sí solo, no descarta la posibilidad de que el máximo de u también se alcance en algún lugar de M. Ése es el contenido del "principio del máximo fuerte", que requiere un análisis más profundo. ${\displaystyle s>0}$ ${\displaystyle M\cup \partial M.}$ ${\displaystyle \partial M.}$ ${\displaystyle \partial M,}$ ${\displaystyle \partial M.}$

El uso de la función específica anterior fue muy innecesario. Lo único que importaba era tener una función que se extendiera continuamente hasta el límite y cuyo laplaciano fuera estrictamente positivo. Entonces podríamos haber usado, por ejemplo, ${\displaystyle e^{x_{1}}}$

${\displaystyle u_{s}(x)=u(x)+s|x|^{2}}$

con el mismo efecto.

El clásico principio de máximo fuerte para PDE elíptica lineal

Resumen de la prueba

Sea M un subconjunto abierto del espacio euclidiano. Sea una función dos veces diferenciable que alcanza su valor máximo C . Suponer que ${\displaystyle u:M\to \mathbb {R} }$

${\displaystyle a_{ij}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{i}\,\partial x^{j}}}+b_{i}{\frac {\partial u}{\partial x^{i}}}\geq 0.}$

Supongamos que se puede encontrar (o probar la existencia de):

• un subconjunto compacto Ω de M , con interior no vacío, tal que u ( x ) < C para todo x en el interior de Ω , y tal que existe x ₀ en el límite de Ω con u ( x ₀ ) = C .
• una función continua que es dos veces diferenciable en el interior de Ω y con ${\displaystyle h:\Omega \to \mathbb {R} }$

${\displaystyle a_{ij}{\frac {\partial ^{2}h}{\partial x^{i}\,\partial x^{j}}}+b_{i}{\frac {\partial h}{\partial x^{i}}}\geq 0,}$

y tal que se tiene u + h ≤ C en el límite de Ω con h ( x ₀ ) = 0

Entonces L ( u + h − C ) ≥ 0 en Ω con u + h − C ≤ 0 en el límite de Ω ; Según el principio del máximo débil, se tiene u + h − C ≤ 0 en Ω . Esto se puede reorganizar para decir

${\displaystyle -{\frac {u(x)-u(x_{0})}{|x-x_{0}|}}\geq {\frac {h(x)-h(x_{0})}{|x-x_{0}|}}}$

para todo x en Ω . Si se puede elegir h de modo que el lado derecho tenga una naturaleza manifiestamente positiva, entonces esto proporcionará una contradicción con el hecho de que x ₀ es un punto máximo de u en M , de modo que su gradiente debe desaparecer.

Prueba

El "programa" anterior se puede llevar a cabo. Elija Ω para que sea un anillo esférico; se selecciona su centro x _c para que sea un punto más cercano al conjunto cerrado u ⁻¹ ( C ) que al conjunto cerrado ∂ M , y el radio exterior R se selecciona para que sea la distancia desde este centro a u ⁻¹ ( C ) ; Sea x ₀ un punto en este último conjunto que realiza la distancia. El radio interior ρ es arbitrario. Definir

${\displaystyle h(x)=\varepsilon {\Big (}e^{-\alpha |x-x_{\text{c}}|^{2}}-e^{-\alpha R^{2}}{\Big )}.}$

Ahora el límite de Ω consta de dos esferas; en la esfera exterior, se tiene h = 0 ; debido a la selección de R , uno tiene u ≤ C en esta esfera, por lo que u + h − C ≤ 0 se cumple en esta parte del límite, junto con el requisito h ( x ₀ ) = 0 . En la esfera interior, se tiene u < C . Debido a la continuidad de u y la compacidad de la esfera interior, se puede seleccionar δ > 0 tal que u + δ < C . Dado que h es constante en esta esfera interior, se puede seleccionar ε > 0 de modo que u + h ≤ C en la esfera interior y, por tanto, en todo el límite de Ω .

El cálculo directo muestra

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}a_{ij}{\frac {\partial ^{2}h}{\partial x^{i}\,\partial x^{j}}}+\sum _{i=1}^{n}b_{i}{\frac {\partial h}{\partial x^{i}}}=\varepsilon \alpha e^{-\alpha |x-x_{\text{c}}|^{2}}\left(4\alpha \sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}a_{ij}(x){\big (}x^{i}-x_{\text{c}}^{i}{\big )}{\big (}x^{j}-x_{\text{c}}^{j}{\big )}-2\sum _{i=1}^{n}a_{ii}-2\sum _{i=1}^{n}b_{i}{\big (}x^{i}-x_{\text{c}}^{i}{\big )}\right).}$

Hay varias condiciones bajo las cuales se puede garantizar que el lado derecho no sea negativo; vea el enunciado del teorema a continuación.

Por último, observe que la derivada direccional de h en x ₀ a lo largo de la línea radial del anillo que apunta hacia adentro es estrictamente positiva. Como se describe en el resumen anterior , esto asegurará que una derivada direccional de u en x ₀ sea distinta de cero, en contradicción con que x ₀ sea un punto máximo de u en el conjunto abierto M.

Declaración del teorema

El siguiente es el enunciado del teorema en los libros de Morrey y Smoller, siguiendo el enunciado original de Hopf (1927):

Sea M un subconjunto abierto del espacio euclidiano ℝ ⁿ . Para cada i y j entre 1 y n , sean a _ij y b _i funciones continuas en M con a _ij = a _ji . Supongamos que para todo x en M , la matriz simétrica [ a _ij ] es definida positiva. Si u es una función C ² no constante en M tal que

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}a_{ij}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{i}\,\partial x^{j}}}+\sum _{i=1}^{n}b_{i}{\frac {\partial u}{\partial x^{i}}}\geq 0}$

en M , entonces u no alcanza un valor máximo en M .

El objetivo del supuesto de continuidad es que las funciones continuas están acotadas en conjuntos compactos, siendo el conjunto compacto relevante aquí el anillo esférico que aparece en la prueba. Además, por el mismo principio, existe un número λ tal que para todo x en el anillo, la matriz [ a _ij ( x )] tiene todos los valores propios mayores o iguales a λ . Entonces se considera que α , tal como aparece en la prueba, es grande en relación con estos límites. El libro de Evans tiene una formulación ligeramente más débil, en la que se supone que hay un número positivo λ que es un límite inferior de los valores propios de [ a _ij ] para todo x en M .

Estos supuestos de continuidad claramente no son los más generales posibles para que la prueba funcione. Por ejemplo, lo siguiente es el enunciado del teorema de Gilbarg y Trudinger, siguiendo la misma demostración:

Sea M un subconjunto abierto del espacio euclidiano ℝ ⁿ . Para cada i y j entre 1 y n , sean a _ij y b _i funciones en M con a _ij = a _ji . Supongamos que para todo x en M , la matriz simétrica [ a _ij ] es definida positiva, y sea λ(x) su valor propio más pequeño. Supongamos que y son funciones acotadas en M para cada i entre 1 y n . Si u es una función C ² no constante en M tal que ${\displaystyle \textstyle {\frac {a_{ii}}{\lambda }}}$ ${\displaystyle \textstyle {\frac {|b_{i}|}{\lambda }}}$

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}a_{ij}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{i}\,\partial x^{j}}}+\sum _{i=1}^{n}b_{i}{\frac {\partial u}{\partial x^{i}}}\geq 0}$

en M , entonces u no alcanza un valor máximo en M .

No se pueden extender ingenuamente estas afirmaciones a la ecuación elíptica lineal general de segundo orden, como ya se vio en el caso unidimensional. Por ejemplo, la ecuación diferencial ordinaria y ″ + 2 y = 0 tiene soluciones sinusoidales, que ciertamente tienen máximos interiores. Esto se extiende al caso de dimensiones superiores, donde a menudo se tienen soluciones a ecuaciones de "función propia" Δ u + cu = 0 que tienen máximos interiores. El signo de c es relevante, como también se ve en el caso unidimensional; por ejemplo, las soluciones de y ″ - 2 y = 0 son exponenciales, y el carácter de los máximos de tales funciones es bastante diferente del de las funciones sinusoidales.

Ver también

• Principio del módulo máximo
• Principio máximo de Hopf

Notas

1. Protter, Murray H.; Weinberger, Hans Félix (1984). Principios máximos en ecuaciones diferenciales . Nueva York Berlín Heidelberg [etc.]: Springer. ISBN 978-3-540-96068-3.
2. Capítulo 32 de Rockafellar (1970).

Referencias

Artículos de investigación

• Calabi, E. Una extensión del principio máximo de E. Hopf con una aplicación a la geometría de Riemann. Duque Matemáticas. J. 25 (1958), 45–56.
• Cheng, SY; Yau, ST Ecuaciones diferenciales sobre variedades de Riemann y sus aplicaciones geométricas. Com. Pura aplicación. Matemáticas. 28 (1975), núm. 3, 333–354.
• Gidas, B.; Ni, Wei Ming; Nirenberg, L. Simetría y propiedades relacionadas mediante el principio de máximo. Com. Matemáticas. Física. 68 (1979), núm. 3, 209–243.
• Gidas, B.; Ni, Wei Ming; Nirenberg, L. Simetría de soluciones positivas de ecuaciones elípticas no lineales en R ⁿ . Análisis y aplicaciones matemáticas, Parte A, págs. 369–402, Adv. en matemáticas. Supl. Stud., 7a, Academic Press, Nueva York-Londres, 1981.
• Hamilton, Richard S. Operador de cuatro variedades con curvatura positiva. J. Geom diferencial. 24 (1986), núm. 2, 153–179.
• E. Hopf. Elementare Bemerkungen Über die Lösungen parteller Differentialgleichungen zweiter Ordnung vom elliptischen Typus. Cuidador. Preuss. Akád. Wiss. Berlín 19 (1927), 147-152.
• Hopf, Eberhard. Una observación sobre las ecuaciones diferenciales elípticas lineales de segundo orden. Proc. América. Matemáticas. Soc. 3 (1952), 791–793.
• Nirenberg, Luis. Un fuerte principio de máximo para ecuaciones parabólicas. Com. Pura aplicación. Matemáticas. 6 (1953), 167-177.
• Omori, Hideki. Inmersiones isométricas de variedades de Riemann. J. Matemáticas. Soc. Japón. 19 (1967), 205–214.
• Yau, Shing Tung. Funciones armónicas en variedades de Riemann completas. Com. Pura aplicación. Matemáticas. 28 (1975), 201–228.
• Kreyberg, HJA Sobre el principio máximo de control óptimo en los procesos económicos, 1969 (Trondheim, NTH, Sosialøkonomisk institutt https://www.worldcat.org/title/on-the-maximum-principle-of-optimal-control-in- procesos-economicos/oclc/23714026)

Libros de texto

• Caffarelli, Luis A .; Xavier Cabré (1995). Ecuaciones elípticas totalmente no lineales . Providence, Rhode Island: Sociedad Matemática Estadounidense. págs. 31–41. ISBN 0-8218-0437-5.
• Evans, Lawrence C. Ecuaciones diferenciales parciales. Segunda edicion. Estudios de Posgrado en Matemáticas, 19. Sociedad Matemática Estadounidense, Providence, RI, 2010. xxii+749 págs. ISBN 978-0-8218-4974-3 
• Friedman, Avner. Ecuaciones diferenciales parciales de tipo parabólico. Prentice-Hall, Inc., Englewood Cliffs, Nueva Jersey 1964 xiv+347 págs.
• Gilbarg, David; Trudinger, Neil S. Ecuaciones diferenciales parciales elípticas de segundo orden. Reimpresión de la edición de 1998. Clásicos en Matemáticas. Springer-Verlag, Berlín, 2001. xiv+517 págs. ISBN 3-540-41160-7 
• Ladyženskaja, OA ; Solonnikov, VA; Uralʹceva, NN Ecuaciones lineales y cuasilineales de tipo parabólico. Traducido del ruso por S. Smith. Traducciones de monografías matemáticas, vol. 23 Sociedad Estadounidense de Matemáticas, Providence, RI 1968 xi+648 págs.
• Ladyzhenskaya, Olga A .; Ural'tseva, Nina N. Ecuaciones elípticas lineales y cuasilineales. Traducido del ruso por Scripta Technica, Inc. Editor de traducción: Leon Ehrenpreis. Academic Press, Nueva York-Londres 1968 xviii+495 págs.
• Lieberman, Gary M. Ecuaciones diferenciales parabólicas de segundo orden. World Scientific Publishing Co., Inc., River Edge, Nueva Jersey, 1996. xii+439 págs. ISBN 981-02-2883-X 
• Morrey, Charles B., Jr. Integrales múltiples en el cálculo de variaciones. Reimpresión de la edición de 1966. Clásicos en Matemáticas. Springer-Verlag, Berlín, 2008. x+506 págs. ISBN 978-3-540-69915-6 
• Protter, Murray H.; Weinberger, Hans F. Principios de máxima en ecuaciones diferenciales. Reimpresión corregida del original de 1967. Springer-Verlag, Nueva York, 1984. x+261 págs. ISBN 0-387-96068-6 
• Rockafellar, RT (1970). Análisis convexo . Princeton: Prensa de la Universidad de Princeton.
• Más pequeño, Joel. Ondas de choque y ecuaciones de reacción-difusión. Segunda edicion. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Principios fundamentales de las ciencias matemáticas], 258. Springer-Verlag, Nueva York, 1994. xxiv+632 págs. ISBN 0-387-94259-9