En el campo matemático de la geometría diferencial , una superficie máxima es un cierto tipo de subvariedad de una variedad de Lorentz . Precisamente, dada una variedad de Lorentz ( M , g ) , una superficie máxima es una subvariedad espacial de M cuya curvatura media es cero. [1] Como tal, las superficies máximas en la geometría de Lorentz son directamente análogas a las superficies mínimas en la geometría de Riemann . La diferencia en terminología entre las dos configuraciones tiene que ver con el hecho de que las regiones pequeñas en superficies máximas son maximizadores locales del área funcional, mientras que las regiones pequeñas en superficies mínimas son minimizadores locales del área funcional. [2]
En 1976, Shiu-Yuen Cheng y Shing-Tung Yau resolvieron el "problema de Bernstein" para hipersuperficies máximas del espacio de Minkowski que están adecuadamente incrustadas, demostrando que cualquier hipersuperficie de este tipo es un plano. Esto fue parte del trabajo por el cual Yau recibió la medalla Fields en 1982. El problema de Bernstein fue planteado originalmente por Eugenio Calabi en 1970, quien demostró algunos casos especiales del resultado. Ejemplos simples muestran que hay una serie de hipersuperficies del espacio de Minkowski de curvatura media cero que no logran ser espaciales. [3]
Mediante una extensión de los métodos de Cheng y Yau, Kazuo Akutagawa consideró el caso de hipersuperficies espaciales de curvatura media constante en variedades lorentzianas de curvatura constante positiva, como el espacio de Sitter . Luis Alías, Alfonso Romero y Miguel Sánchez demostraron una versión del resultado de Cheng y Yau, reemplazando el espacio de Minkowski por el producto deformado de una variedad de Riemann cerrada con un intervalo.
Como problema de ecuaciones diferenciales parciales , Robert Bartnik y Leon Simon estudiaron el problema de valores en la frontera para superficies máximas en el espacio de Minkowski. La existencia general de hipersuperficies máximas en variedades Lorentzianas asintóticamente planas, debida a Bartnik, es significativa en la famosa prueba de Demetrios Christodoulou y Sergiu Klainerman de la estabilidad no lineal del espacio de Minkowski bajo las ecuaciones de campo de Einstein . Utilizan una división máxima de un espacio-tiempo general; El mismo enfoque es común en la relatividad numérica . [4]
Notas a pie de página
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Artículos
Com. Matemáticas. Física. 87 (1982), núm. 1, 131-152. doi :10.1007/bf01211061