Método de continuidad

Procedimiento para determinar si un operador es invertible

En las matemáticas de los espacios de Banach , el método de continuidad proporciona condiciones suficientes para deducir la invertibilidad de un operador lineal acotado de la de otro operador relacionado.

Formulación

Sea B un espacio de Banach , V un espacio vectorial normado y una familia norma continua de operadores lineales acotados de B a V. Supongamos que existe una constante positiva C tal que para todos y cada uno ${\displaystyle (L_{t})_{t\in [0,1]}}$ ${\displaystyle t\in [0,1]}$ ${\displaystyle x\in B}$

${\displaystyle ||x||_{B}\leq C||L_{t}(x)||_{V}.}$

Entonces es sobreyectivo si y sólo si también lo es. ${\displaystyle L_{0}}$ ${\displaystyle L_{1}}$

Aplicaciones

El método de continuidad se utiliza junto con estimaciones a priori para demostrar la existencia de soluciones adecuadamente regulares a ecuaciones diferenciales parciales elípticas .

Prueba

Suponemos que eso es sobreyectivo y demostramos que también lo es. ${\displaystyle L_{0}}$ ${\displaystyle L_{1}}$

Subdividiendo el intervalo [0,1] podemos suponer que . Además, la sobreyectividad de implica que V es isomorfo a B y, por tanto, un espacio de Banach. La hipótesis implica que es un subespacio cerrado. ${\displaystyle ||L_{0}-L_{1}||\leq 1/(3C)}$ ${\displaystyle L_{0}}$ ${\displaystyle L_{1}(B)\subseteq V}$

Supongamos que es un subespacio adecuado. El lema de Riesz muestra que existe tal eso y . Ahora por algunos y por la hipótesis. Por lo tanto ${\displaystyle L_{1}(B)\subseteq V}$ ${\displaystyle y\in V}$ ${\displaystyle ||y||_{V}\leq 1}$ ${\displaystyle \mathrm {dist} (y,L_{1}(B))>2/3}$ ${\displaystyle y=L_{0}(x)}$ ${\displaystyle x\in B}$ ${\displaystyle ||x||_{B}\leq C||y||_{V}}$

${\displaystyle ||y-L_{1}(x)||_{V}=||(L_{0}-L_{1})(x)||_{V}\leq ||L_{0}-L_{1}||||x||_{B}\leq 1/3,}$

lo cual es una contradicción ya que . ${\displaystyle L_{1}(x)\in L_{1}(B)}$

Ver también

• Estimaciones de Schauder

Fuentes

• Gilbarg, D.; Trudinger, Neil (1983), Ecuaciones diferenciales parciales elípticas de segundo orden , Nueva York: Springer, ISBN 3-540-41160-7