Estudio de propiedades geométricas de conjuntos mediante la teoría de la medida.
En matemáticas , la teoría de la medida geométrica ( GMT ) es el estudio de las propiedades geométricas de conjuntos (típicamente en el espacio euclidiano ) a través de la teoría de la medida . Permite a los matemáticos ampliar herramientas de geometría diferencial a una clase mucho más amplia de superficies que no son necesariamente lisas .
Historia
La teoría de la medida geométrica nació del deseo de resolver el problema de Plateau (que lleva el nombre de Joseph Plateau ), que pregunta si para cada curva suave y cerrada existe una superficie de menor área entre todas las superficies cuyo límite es igual a la curva dada. Estas superficies imitan las películas de jabón .
El problema había permanecido abierto desde que Lagrange lo planteó en 1760 . Fue resuelto de forma independiente en la década de 1930 por Jesse Douglas y Tibor Radó bajo ciertas restricciones topológicas . En 1960, Herbert Federer y Wendell Fleming utilizaron la teoría de las corrientes con la que pudieron resolver analíticamente el problema de la meseta orientable sin restricciones topológicas, generando así la teoría de la medida geométrica. Más tarde, Jean Taylor, después de Fred Almgren, demostró las leyes de Plateau para el tipo de singularidades que pueden ocurrir en estas películas de jabón más generales y grupos de pompas de jabón.
Nociones importantes
Los siguientes objetos son centrales en la teoría de la medida geométrica:
- Medida de Hausdorff y dimensión de Hausdorff
- Conjuntos rectificables (o medidas de radón ), que son conjuntos con la menor regularidad posible necesaria para admitir espacios tangentes aproximados .
- Caracterización de la rectificabilidad mediante existencia de tangentes aproximadas, densidades, proyecciones, etc.
- Proyecciones ortogonales, conjuntos de Kakeya , conjuntos de Besicovitch
- Rectificabilidad uniforme
- Rectificabilidad y rectificabilidad uniforme de (subconjuntos de) espacios métricos , por ejemplo, variedades subriemannianas, grupos de Carnot, grupos de Heisenberg, etc.
- Conexiones con integrales singulares, transformada de Fourier, medidas de Frostman, medidas armónicas, etc.
- Corrientes , una generalización del concepto de variedades orientadas , posiblemente con frontera .
- Cadenas planas, una generalización alternativa del concepto de variedades , posiblemente con límite .
- Conjuntos de Caccioppoli (también conocidos como conjuntos de perímetro localmente finito), una generalización del concepto de variedades en las que se aplica el teorema de la divergencia .
- Problemas de minimización tipo meseta a partir del cálculo de variaciones.
Los siguientes teoremas y conceptos también son centrales:
Ejemplos
La desigualdad de Brunn-Minkowski para los volúmenes n -dimensionales de cuerpos convexos K y L ,
se puede demostrar en una sola página y rápidamente produce la desigualdad isoperimétrica clásica . La desigualdad de Brunn-Minkowski también conduce al teorema de Anderson en estadística. La prueba de la desigualdad de Brunn-Minkowski es anterior a la teoría de la medida moderna; El desarrollo de la teoría de la medida y la integración de Lebesgue permitió establecer conexiones entre la geometría y el análisis, hasta el punto de que en una forma integral de la desigualdad de Brunn-Minkowski conocida como desigualdad de Prékopa-Leindler , la geometría parece casi completamente ausente.
Ver también
Referencias
- Federer, Herbert ; Fleming, Wendell H. (1960), "Corrientes normales e integrales", Annals of Mathematics , II, 72 (4): 458–520, doi :10.2307/1970227, JSTOR 1970227, MR 0123260, Zbl 0187.31301. El primer artículo de Federer y Fleming que ilustra su aproximación a la teoría de perímetros basada en la teoría de las corrientes .
- Federer, Herbert (1969), Teoría de la medida geométrica , serie Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, vol. Band 153, Nueva York: Springer-Verlag New York Inc., págs. xiv+676, ISBN 978-3-540-60656-7, SEÑOR 0257325
- Federer, H. (1978), "Conferencias coloquiales sobre teoría de la medida geométrica", Bull. América. Matemáticas. Soc. , 84 (3): 291–338, doi : 10.1090/S0002-9904-1978-14462-0
- Fomenko, Anatoly T. (1990), Principios variacionales en topología (teoría de superficies mínimas multidimensionales) , Matemáticas y sus aplicaciones (libro 42), Springer, Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-0792302308
- Gardner, Richard J. (2002), "La desigualdad de Brunn-Minkowski", Bull. América. Matemáticas. Soc. (NS) , 39 (3): 355–405 (electrónico), doi : 10.1090/S0273-0979-02-00941-2 , ISSN 0273-0979, MR 1898210
- Mattila, Pertti (1999), Geometría de conjuntos y medidas en espacios euclidianos , Londres: Cambridge University Press, pág. 356, ISBN 978-0-521-65595-8
- Morgan, Frank (2009), Teoría de la medida geométrica: una guía para principiantes (Cuarta ed.), San Diego, California: Academic Press Inc., págs. viii+249, ISBN 978-0-12-374444-9, SEÑOR 2455580
- Taylor, Jean E. (1976), "La estructura de singularidades en superficies mínimas similares a burbujas de jabón y películas de jabón", Annals of Mathematics , Segunda Serie, 103 (3): 489–539, doi :10.2307/ 1970949, JSTOR 1970949, SEÑOR 0428181.
- O'Neil, TC (2001) [1994], "Teoría de la medida geométrica", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
enlaces externos
- Página GMT de Peter Mörters
- Página GMT de Toby O'Neil con referencias
