En geometría diferencial , el problema de Minkowski , llamado así por Hermann Minkowski , pide la construcción de una superficie compacta estrictamente convexa S cuya curvatura gaussiana esté especificada. [1] Más precisamente, la entrada al problema es una función real estrictamente positiva ƒ definida en una esfera, y la superficie que se va a construir debe tener una curvatura gaussiana ƒ ( n ( x )) en el punto x , donde n ( x ) denota la normal a S en x . Eugenio Calabi afirmó: "Desde el punto de vista geométrico, [el problema de Minkowski] es la Piedra de Rosetta , a partir de la cual se pueden resolver varios problemas relacionados". [2]
En general, el problema de Minkowski requiere condiciones necesarias y suficientes para que una medida de Borel no negativa en la esfera unitaria S n-1 sea la medida del área superficial de un cuerpo convexo en . Aquí, la medida del área superficial S K de un cuerpo convexo K es el avance de la medida de Hausdorff de dimensión (n-1) restringida al límite de K a través de la función de Gauss . El problema de Minkowski fue resuelto por Hermann Minkowski , Aleksandr Danilovich Aleksandrov , Werner Fenchel y Børge Jessen : [3] una medida de Borel μ en la esfera unitaria es la medida del área superficial de un cuerpo convexo si y solo si μ tiene centroide en el origen y no está concentrado en una gran subesfera. El cuerpo convexo está entonces determinado de forma única por μ hasta las traslaciones.
El problema de Minkowski, a pesar de su origen geométrico evidente, se encuentra en muchos lugares. El problema de la radiolocalización se reduce fácilmente al problema de Minkowski en el espacio tridimensional euclidiano : restauración de la forma convexa sobre la curvatura de la superficie de Gauss dada. El problema inverso de la difracción de onda corta se reduce al problema de Minkowski. El problema de Minkowski es la base de la teoría matemática de la difracción , así como de la teoría física de la difracción.
En 1953, Louis Nirenberg publicó las soluciones de dos problemas abiertos desde hacía mucho tiempo, el problema de Weyl y el problema de Minkowski en el espacio tridimensional euclidiano. La solución de L. Nirenberg del problema de Minkowski fue un hito en la geometría global. Ha sido seleccionado para ser el primer destinatario de la Medalla Chern (en 2010) por su papel en la formulación de la teoría moderna de ecuaciones diferenciales parciales elípticas no lineales, en particular por resolver el problema de Weyl y los problemas de Minkowski en el espacio tridimensional euclidiano. [4]
A. V. Pogorelov recibió el Premio Estatal de Ucrania (1973) por resolver el problema multidimensional de Minkowski en espacios euclidianos. Pogorelov resolvió el problema de Weyl en el espacio de Riemann en 1969. [5]
El trabajo conjunto de Shing-Tung Yau con Shiu-Yuen Cheng proporciona una prueba completa del problema de Minkowski de dimensiones superiores en espacios euclidianos. Shing-Tung Yau recibió la Medalla Fields en el Congreso Internacional de Matemáticos en Varsovia en 1982 por su trabajo en geometría diferencial global y ecuaciones diferenciales parciales elípticas , particularmente por resolver problemas tan difíciles como la conjetura de Calabi de 1954 y un problema de Hermann Minkowski en espacios euclidianos relacionado con el problema de Dirichlet para la ecuación real de Monge-Ampère . [6]
