En matemáticas , una superficie mínima es una superficie que minimiza localmente su área. Esto equivale a tener una curvatura media cero (consulte las definiciones a continuación).
El término "superficie mínima" se utiliza porque estas superficies surgieron originalmente como superficies que minimizaban el área de superficie total sujeta a alguna restricción. Se pueden crear modelos físicos de superficies mínimas que minimizan el área sumergiendo un marco de alambre en una solución jabonosa, formando una película de jabón , que es una superficie mínima cuyo límite es el marco de alambre. Sin embargo, el término se utiliza para superficies más generales que pueden autointersectarse o no tener restricciones. Para una restricción dada también pueden existir varias superficies mínimas con diferentes áreas (por ejemplo, ver superficie mínima de revolución ): las definiciones estándar solo se relacionan con un óptimo local , no con un óptimo global .
Las superficies mínimas se pueden definir de varias formas equivalentes en . El hecho de que sean equivalentes sirve para demostrar cómo la teoría de superficies mínimas se encuentra en la encrucijada de varias disciplinas matemáticas, especialmente la geometría diferencial , el cálculo de variaciones , la teoría potencial , el análisis complejo y la física matemática . [1]
Esta propiedad es local: pueden existir regiones en una superficie mínima, junto con otras superficies de menor área que tengan el mismo límite. Esta propiedad establece una conexión con las películas de jabón; una película de jabón deformada para tener un marco de alambre como límite minimizará el área.
Esta definición convierte a las superficies mínimas en un análogo bidimensional de las geodésicas , que se definen de manera análoga como puntos críticos de longitud funcional.
Una implicación directa de esta definición es que cada punto de la superficie es un punto de silla con curvaturas principales iguales y opuestas . Además, esto convierte superficies mínimas en soluciones estáticas de flujo de curvatura media . Según la ecuación de Young-Laplace , la curvatura media de una película de jabón es proporcional a la diferencia de presión entre los lados. Si la película de jabón no encierra una región, entonces su curvatura media será cero. Por el contrario, una pompa de jabón esférica encierra una región que tiene una presión diferente a la de la región exterior y, como tal, no tiene una curvatura media cero.
La ecuación diferencial parcial en esta definición fue encontrada originalmente en 1762 por Lagrange , [2] y Jean Baptiste Meusnier descubrió en 1776 que implicaba una curvatura media evanescente. [3]
Esta definición vincula las superficies mínimas con las funciones armónicas y la teoría del potencial .
Una implicación directa de esta definición y el principio máximo para funciones armónicas es que no hay superficies mínimas completas compactas en .
Esta definición utiliza que la curvatura media es la mitad de la traza del operador de forma , que está vinculado a las derivadas del mapa de Gauss. Si el mapa de Gauss proyectado obedece a las ecuaciones de Cauchy-Riemann , entonces la traza desaparece o cada punto de M es umbilical , en cuyo caso es un trozo de una esfera.
El área mínima local y las definiciones variacionales permiten extender superficies mínimas a otras variedades de Riemann distintas a [4] .
La teoría de la superficie mínima se origina con Lagrange , quien en 1762 consideró el problema variacional de encontrar la superficie de menor área extendida a lo largo de un contorno cerrado determinado. Derivó la ecuación de Euler-Lagrange para la solución
No logró encontrar ninguna solución más allá del avión. En 1776 Jean Baptiste Marie Meusnier descubrió que la helicoidal y la catenoide satisfacen la ecuación y que la expresión diferencial corresponde al doble de la curvatura media de la superficie, concluyendo que las superficies con curvatura media cero minimizan el área.
Desarrollando la ecuación de Lagrange a
Gaspard Monge y Legendre en 1795 derivaron fórmulas de representación para las superficies de solución. Si bien Heinrich Scherk los utilizó con éxito en 1830 para obtener sus superficies , en general se los consideraba prácticamente inutilizables. El catalán demostró en 1842/43 que el helicoidal es la única superficie mínima reglada .
Los avances habían sido bastante lentos hasta mediados de siglo, cuando el problema de Björling se resolvió mediante métodos complejos. Comenzó la "primera edad de oro" de las superficies minimalistas. Schwarz encontró la solución del problema de Plateau para un cuadrilátero regular en 1865 y para un cuadrilátero general en 1867 (lo que permitió la construcción de sus familias de superficies periódicas ) utilizando métodos complejos. Weierstrass y Enneper desarrollaron fórmulas de representación más útiles , vinculando firmemente superficies mínimas con análisis complejos y funciones armónicas . Otras contribuciones importantes vinieron de Beltrami, Bonnet, Darboux, Lie, Riemann, Serret y Weingarten.
Entre 1925 y 1950 revivió la teoría de superficies mínimas, ahora dirigida principalmente a superficies mínimas no paramétricas. La solución completa del problema de Plateau por parte de Jesse Douglas y Tibor Radó fue un hito importante. También fueron importantes el problema de Bernstein y el trabajo de Robert Osserman sobre superficies mínimas completas de curvatura total finita.
Otro renacimiento comenzó en la década de 1980. Una de las causas fue el descubrimiento en 1982 por Celso Costa de una superficie que refutó la conjetura de que el plano, la catenoide y la helicoidal son las únicas superficies mínimas completamente incrustadas de tipo topológico finito. Esto no sólo estimuló nuevos trabajos sobre el uso de los antiguos métodos paramétricos, sino que también demostró la importancia de los gráficos por computadora para visualizar las superficies estudiadas y los métodos numéricos para resolver el "problema del período" (cuando se utiliza el método de superficie conjugada para determinar los parches de superficie que pueden ser ensamblado en una superficie simétrica más grande, ciertos parámetros deben coincidir numéricamente para producir una superficie incrustada). Otra causa fue la comprobación por parte de H. Karcher de que las superficies mínimas triplemente periódicas descritas empíricamente originalmente por Alan Schoen en 1970 realmente existen. Esto ha dado lugar a una rica colección de familias de superficies y métodos para derivar nuevas superficies a partir de las antiguas, por ejemplo añadiendo tiradores o distorsionándolas.
Actualmente, la teoría de superficies mínimas se ha diversificado a subvariedades mínimas en otras geometrías ambientales, volviéndose relevante para la física matemática (por ejemplo, la conjetura de masa positiva , la conjetura de Penrose ) y la geometría de tres variedades (por ejemplo, la conjetura de Smith , la conjetura de Poincaré , la geometrización de Thurston) . Conjetura ).
Ejemplos clásicos de superficies mínimas incluyen:
Las superficies de la edad de oro del siglo XIX incluyen:
Las superficies modernas incluyen:
Las superficies mínimas se pueden definir en otras variedades distintas , como el espacio hiperbólico , espacios de dimensiones superiores o variedades de Riemann .
La definición de superficies mínimas se puede generalizar/ampliar para cubrir superficies de curvatura media constante : superficies con una curvatura media constante, que no necesitan ser iguales a cero.
Las líneas de curvatura de una superficie isotérmica forman una red isotérmica. [5]
En geometría diferencial discreta se estudian superficies mínimas discretas: complejos simpliciales de triángulos que minimizan su área bajo pequeñas perturbaciones de las posiciones de sus vértices. [6] Estas discretizaciones se utilizan a menudo para aproximar numéricamente superficies mínimas, incluso si no se conocen expresiones de forma cerrada.
El movimiento browniano sobre una superficie mínima conduce a demostraciones probabilísticas de varios teoremas sobre superficies mínimas. [7]
Las superficies mínimas se han convertido en un área de intenso estudio científico, especialmente en las áreas de ingeniería molecular y ciencia de materiales , debido a sus aplicaciones anticipadas en el autoensamblaje de materiales complejos. [8] Se propone que el retículo endoplásmico , una estructura importante en la biología celular, esté bajo presión evolutiva para adaptarse a una superficie mínima no trivial. [9]
En los campos de la relatividad general y la geometría lorentziana , son significativas ciertas extensiones y modificaciones de la noción de superficie mínima, conocidas como horizontes aparentes . [10] A diferencia del horizonte de sucesos , representan un enfoque basado en la curvatura para comprender los límites de los agujeros negros .
Las estructuras con superficies mínimas se pueden utilizar como tiendas de campaña.
Las superficies mínimas son parte de la caja de herramientas de diseño generativo utilizada por los diseñadores modernos. En arquitectura ha habido mucho interés por las tensoestructuras , que están muy relacionadas con las superficies mínimas. Se pueden ver ejemplos notables en el trabajo de Frei Otto , Shigeru Ban y Zaha Hadid . El diseño del Estadio Olímpico de Múnich de Frei Otto se inspiró en las superficies de jabón. [11] Otro ejemplo notable, también de Frei Otto, es el Pabellón Alemán en la Expo 67 en Montreal, Canadá. [12]
En el mundo del arte, las superficies minimalistas han sido ampliamente exploradas en la escultura de Robert Engman (1927–2018), Robert Longhurst (1949–) y Charles O. Perry (1929–2011), entre otros.
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