El problema de Bjorling

Problema en geometría diferencial.

La mínima superficie del catalán. Puede definirse como la superficie mínima que pasa simétricamente a través de una cicloide.

En geometría diferencial , el problema de Björling es el problema de encontrar una superficie mínima que pase por una curva dada con planos normales (o tangentes) prescritos. El problema fue planteado y resuelto por el matemático sueco Emanuel Gabriel Björling , ^[1] con mayor refinamiento por Hermann Schwarz . ^[2]

El problema se puede resolver ampliando la superficie de la curva mediante una continuación analítica compleja . Si se define una curva analítica real en un intervalo I , con y un campo vectorial a lo largo de c tal que y , entonces la siguiente superficie es mínima: ${\displaystyle c(s)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle c'(s)\neq 0}$ ${\displaystyle n(s)}$ ${\displaystyle ||n(t)||=1}$ ${\displaystyle c'(t)\cdot n(t)=0}$

${\displaystyle X(u,v)=\Re \left(c(w)-i\int _{w_{0}}^{w}n(w)\times c'(w)\,dw\right)}$

donde , y es un dominio simplemente conexo donde se incluye el intervalo y las expansiones en series de potencias de y son convergentes. ^[3] ${\displaystyle w=u+iv\in \Omega }$ ${\displaystyle u_{0}\in I}$ ${\displaystyle I\subset \Omega }$ ${\displaystyle c(s)}$ ${\displaystyle n(s)}$

Un ejemplo clásico es la superficie mínima del catalán , que pasa por una curva cicloide . La aplicación del método a una parábola semicúbica produce la superficie de Henneberg , y a un círculo (con un campo normal adecuadamente torcido) una tira de Möbius mínima . ^[4]

Siempre existe una solución única. Puede verse como un problema de Cauchy para superficies mínimas, lo que permite encontrar una superficie si se conoce una geodésica, asíntota o líneas de curvatura. En particular, si la curva es plana y geodésica, entonces el plano de la curva será un plano de simetría de la superficie. ^[5]

Referencias

1. EG Björling, Arq. Grunert, IV (1844) págs.290
2. HA Schwarz, J. reina angew. Matemáticas. 80 280-300 1875
3. Kai-Wing Fung, Superficies mínimas como curvas isotrópicas en C ³ : superficies mínimas asociadas y el problema de Björling. Tesis de licenciatura del MIT. 2004 http://ocw.mit.edu/courses/mathematics/18-994-seminar-in-geometry-fall-2004/projects/main1.pdf
4. WH Meeks III (1981). "La clasificación de superficies mínimas completas en R ³ con curvatura total mayor que ". Duque Matemáticas. J.​ 48 (3): 523–535. doi :10.1215/S0012-7094-81-04829-8. SEÑOR  0630583. Zbl  0472.53010. ${\displaystyle -8\pi }$
5. Problema de Björling. Enciclopedia de Matemáticas. URL: http://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=Bj%C3%B6rling_problem&oldid=23196

Galerías de imágenes externas

• Björling Surfaces, en el Archivo de Superficies Mínimas de Indiana: http://www.indiana.edu/~minimal/archive/Bjoerling/index.html