Superficie de Scherk

Animación de la primera y segunda superficie de Scherk transformándose entre sí: son miembros de la misma familia asociada de superficies mínimas.

En matemáticas , una superficie de Scherk (llamada así en honor a Heinrich Scherk ) es un ejemplo de superficie mínima . Scherk describió dos superficies mínimas incrustadas completas en 1834; ^[1] su primera superficie es una superficie doblemente periódica, su segunda superficie es individualmente periódica. Fueron los terceros ejemplos no triviales de superficies mínimas (los dos primeros fueron el catenoide y el helicoidal ). ^[2] Las dos superficies son conjugadas entre sí.

Las superficies de Scherk surgen en el estudio de ciertos problemas de superficies mínimas limitantes y en el estudio de los difeomorfismos armónicos del espacio hiperbólico .

La primera superficie de Scherk

La primera superficie de Scherk es asintótica para dos familias infinitas de planos paralelos, ortogonales entre sí, que se encuentran cerca de z  = 0 en un patrón de tablero de ajedrez de arcos puente. Contiene un número infinito de líneas verticales rectas.

Construcción de una superficie Scherk simple.

Celda unitaria STL de la primera superficie de Scherk

Cinco celdas unitarias colocadas juntas

Considere el siguiente problema de superficie mínima en un cuadrado en el plano euclidiano: para un número natural n , encuentre una superficie mínima Σ _n como gráfica de alguna función

${\displaystyle u_{n}:\left(-{\frac {\pi }{2}},+{\frac {\pi }{2}}\right)\times \left(-{\frac {\pi }{2}},+{\frac {\pi }{2}}\right)\to \mathbb {R} }$

tal que

${\displaystyle \lim _{y\to \pm \pi /2}u_{n}\left(x,y\right)=+n{\text{ for }}-{\frac {\pi }{2}}<x<+{\frac {\pi }{2}},}$

${\displaystyle \lim _{x\to \pm \pi /2}u_{n}\left(x,y\right)=-n{\text{ for }}-{\frac {\pi }{2}}<y<+{\frac {\pi }{2}}.}$

Es decir, u _n satisface la ecuación de superficie mínima

${\displaystyle \mathrm {div} \left({\frac {\nabla u_{n}(x,y)}{\sqrt {1+|\nabla u_{n}(x,y)|^{2}}}}\right)\equiv 0}$

y

${\displaystyle \Sigma _{n}=\left\{(x,y,u_{n}(x,y))\in \mathbb {R} ^{3}\left|-{\frac {\pi }{2}}<x,y<+{\frac {\pi }{2}}\right.\right\}.}$

¿Cuál es, si es que existe alguna, la superficie límite cuando n tiende a infinito? La respuesta la dio H. Scherk en 1834: la superficie límite Σ es la gráfica de

${\displaystyle u:\left(-{\frac {\pi }{2}},+{\frac {\pi }{2}}\right)\times \left(-{\frac {\pi }{2}},+{\frac {\pi }{2}}\right)\to \mathbb {R} ,}$

${\displaystyle u(x,y)=\log \left({\frac {\cos(x)}{\cos(y)}}\right).}$

Es decir, la superficie de Scherk sobre el cuadrado es

${\displaystyle \Sigma =\left\{\left.\left(x,y,\log \left({\frac {\cos(x)}{\cos(y)}}\right)\right)\in \mathbb {R} ^{3}\right|-{\frac {\pi }{2}}<x,y<+{\frac {\pi }{2}}\right\}.}$

Superficies Scherk más generales

Se pueden considerar problemas de superficie mínima similares en otros cuadriláteros del plano euclidiano. También se puede considerar el mismo problema en cuadriláteros en el plano hiperbólico . En 2006, Harold Rosenberg y Pascal Collin utilizaron superficies hiperbólicas de Scherk para construir un difeomorfismo armónico desde el plano complejo al plano hiperbólico (el disco unitario con la métrica hiperbólica), refutando así la conjetura de Schoen-Yau .

Segunda superficie de Scherk

Segunda superficie de Scherk

Celda unitaria STL de la segunda superficie de Scherk

La segunda superficie de Scherk parece globalmente dos planos ortogonales cuya intersección consiste en una secuencia de túneles en direcciones alternas. Sus intersecciones con planos horizontales consisten en hipérbolas alternas.

Tiene ecuación implícita:

${\displaystyle \sin(z)-\sinh(x)\sinh(y)=0}$

Tiene la parametrización de Weierstrass-Enneper y se puede parametrizar como: ^[3] ${\displaystyle f(z)={\frac {4}{1-z^{4}}}}$ ${\displaystyle g(z)=iz}$

${\displaystyle x(r,\theta )=2\Re (\ln(1+re^{i\theta })-\ln(1-re^{i\theta }))=\ln \left({\frac {1+r^{2}+2r\cos \theta }{1+r^{2}-2r\cos \theta }}\right)}$

${\displaystyle y(r,\theta )=\Re (4i\tan ^{-1}(re^{i\theta }))=\ln \left({\frac {1+r^{2}-2r\sin \theta }{1+r^{2}+2r\sin \theta }}\right)}$

${\displaystyle z(r,\theta )=\Re (2i(-\ln(1-r^{2}e^{2i\theta })+\ln(1+r^{2}e^{2i\theta }))=2\tan ^{-1}\left({\frac {2r^{2}\sin 2\theta }{r^{4}-1}}\right)}$

Para y . Esto da un período de la superficie, que luego puede extenderse en la dirección z por simetría. ${\displaystyle \theta \in [0,2\pi )}$ ${\displaystyle r\in (0,1)}$

H. Karcher ha generalizado la superficie en la familia de torres de silla de montar de superficies mínimas periódicas.

De manera algo confusa, esta superficie se llama ocasionalmente la quinta superficie de Scherk en la literatura. ^{[4] [5]} Para minimizar la confusión, es útil referirse a ella como superficie periódica única de Scherk o torre de Scherk.

enlaces externos

• Sabitov, I.Kh. (2001) [1994], "Superficie de Scherk", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Primera superficie de Scherk en geometría MSRI [2]
• Segunda superficie de Scherk en geometría MSRI [3]
• Superficies mínimas de Scherk en Mathworld [4]

Referencias

1. HF Scherk, Bemerkungen über die kleinste Fläche Innerhalb gegebener Grenzen, Journal für die reine und angewandte Mathematik, volumen 13 (1835) págs. 185-208 [1]
2. "Heinrich Scherk - Biografía".
3. Eric W. Weisstein, Enciclopedia concisa de matemáticas CRC, 2ª ed., CRC press 2002
4. Nikolaos Kapuoleas, Construcciones de superficies mínimas pegando inmersiones mínimas. En Teoría global de superficies mínimas: Actas de la escuela de verano de 2001 del Clay Mathematics Institute, Instituto de Investigación de Ciencias Matemáticas, Berkeley, California, 25 de junio al 27 de julio de 2001 p. 499
5. David Hoffman y William H. Meeks, Límites de superficies mínimas y quinta superficie de Scherk, Archivo de análisis y mecánica racional, volumen 111, número 2 (1990)