Curvatura media

Medida de geometría diferencial

En matemáticas , la curvatura media de una superficie es una medida extrínseca de curvatura que proviene de la geometría diferencial y que describe localmente la curvatura de una superficie incrustada en algún espacio ambiental como el espacio euclidiano . ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle S}$

El concepto fue utilizado por Sophie Germain en su trabajo sobre la teoría de la elasticidad . ^{[1] [2]} Jean Baptiste Marie Meusnier lo utilizó en 1776, en sus estudios de superficies mínimas . Es importante en el análisis de superficies mínimas , que tienen curvatura media cero, y en el análisis de interfaces físicas entre fluidos (como películas de jabón ) que, por ejemplo, tienen curvatura media constante en flujos estáticos, según la ecuación de Young-Laplace. .

Definición

Sea un punto en la superficie dentro del espacio euclidiano tridimensional R ³ . Cada plano que contiene la línea normal corta en una curva (plana). Fijar una elección de unidad normal le da una curvatura con signo a esa curva. A medida que el plano gira en un ángulo (que siempre contiene la línea normal), esa curvatura puede variar. La curvatura máxima y la curvatura mínima se conocen como curvaturas principales de . ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \kappa _{1}}$ ${\displaystyle \kappa _{2}}$ ${\displaystyle S}$

La curvatura media en es entonces el promedio de la curvatura con signo en todos los ángulos : ${\displaystyle p\in S}$ ${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle H={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\kappa (\theta )\;d\theta }$.

Aplicando el teorema de Euler , esto es igual al promedio de las curvaturas principales (Spivak 1999, Volumen 3, Capítulo 2):

${\displaystyle H={1 \over 2}(\kappa _{1}+\kappa _{2}).}$

De manera más general (Spivak 1999, Volumen 4, Capítulo 7), para una hipersuperficie la curvatura media se da como ${\displaystyle T}$

${\displaystyle H={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\kappa _{i}.}$

De manera más abstracta, la curvatura media es la traza de la segunda forma fundamental dividida por n (o equivalentemente, el operador de forma ).

Además, la curvatura media se puede escribir en términos de la derivada covariante como ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \nabla }$

${\displaystyle H{\vec {n}}=g^{ij}\nabla _{i}\nabla _{j}X,}$

utilizando las relaciones de Gauss-Weingarten, donde hay una hipersuperficie suavemente incrustada, un vector normal unitario y el tensor métrico . ${\displaystyle X(x)}$ ${\displaystyle {\vec {n}}}$ ${\displaystyle g_{ij}}$

Una superficie es mínima si y sólo si la curvatura media es cero. Además, se dice que una superficie que evoluciona bajo la curvatura media de la superficie obedece a una ecuación de tipo calor llamada ecuación de flujo de curvatura media . ${\displaystyle S}$

La esfera es la única superficie incrustada de curvatura media positiva constante sin límites ni singularidades. Sin embargo, el resultado no es cierto cuando la condición "superficie incrustada" se debilita a "superficie sumergida". ^[3]

Superficies en el espacio 3D

Para una superficie definida en el espacio 3D, la curvatura media está relacionada con una unidad normal de la superficie:

${\displaystyle 2H=-\nabla \cdot {\hat {n}}}$

donde la normal elegida afecta el signo de la curvatura. El signo de la curvatura depende de la elección de la normal: la curvatura es positiva si la superficie se curva "hacia" la normal. La fórmula anterior es válida para superficies en el espacio 3D definidas de cualquier manera, siempre que se pueda calcular la divergencia de la normal unitaria. También se puede calcular la curvatura media.

${\displaystyle 2H={\text{Trace}}((\mathrm {II} )(\mathrm {I} ^{-1}))}$

donde I y II denotan matrices de forma cuadrática primera y segunda, respectivamente.

Si es una parametrización de la superficie y hay dos vectores linealmente independientes en el espacio de parámetros, entonces la curvatura media se puede escribir en términos de la primera y segunda forma fundamental como ${\displaystyle S(x,y)}$ ${\displaystyle u,v}$

$${\displaystyle {\frac {lG-2mF+nE}{2(EG-F^{2})}}}$$

^[4] ${\displaystyle E=\mathrm {I} (u,u)}$ ${\displaystyle F=\mathrm {I} (u,v)}$ ${\displaystyle G=\mathrm {I} (v,v)}$ ${\displaystyle l=\mathrm {II} (u,u)}$ ${\displaystyle m=\mathrm {II} (u,v)}$ ${\displaystyle n=\mathrm {II} (v,v)}$

Para el caso especial de una superficie definida como función de dos coordenadas, por ejemplo , y utilizando la normal que apunta hacia arriba, la expresión de curvatura media (duplicada) es ${\displaystyle z=S(x,y)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}2H&=-\nabla \cdot \left({\frac {\nabla (z-S)}{|\nabla (z-S)|}}\right)\\&=\nabla \cdot \left({\frac {\nabla S-\nabla z}{\sqrt {1+|\nabla S|^{2}}}}\right)\\&={\frac {\left(1+\left({\frac {\partial S}{\partial x}}\right)^{2}\right){\frac {\partial ^{2}S}{\partial y^{2}}}-2{\frac {\partial S}{\partial x}}{\frac {\partial S}{\partial y}}{\frac {\partial ^{2}S}{\partial x\partial y}}+\left(1+\left({\frac {\partial S}{\partial y}}\right)^{2}\right){\frac {\partial ^{2}S}{\partial x^{2}}}}{\left(1+\left({\frac {\partial S}{\partial x}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial S}{\partial y}}\right)^{2}\right)^{3/2}}}.\end{aligned}}}$

En particular, en un punto donde la curvatura media es la mitad de la traza de la matriz de Hesse . ${\displaystyle \nabla S=0}$ ${\displaystyle S}$

Si además se sabe que la superficie es simétrica con , ${\displaystyle z=S(r)}$

${\displaystyle 2H={\frac {\frac {\partial ^{2}S}{\partial r^{2}}}{\left(1+\left({\frac {\partial S}{\partial r}}\right)^{2}\right)^{3/2}}}+{\frac {\partial S}{\partial r}}{\frac {1}{r\left(1+\left({\frac {\partial S}{\partial r}}\right)^{2}\right)^{1/2}}},}$

de donde proviene la derivada de . ${\displaystyle {\frac {\partial S}{\partial r}}{\frac {1}{r}}}$ ${\textstyle z=S(r)=S\left({\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\right)}$

Forma implícita de curvatura media.

La curvatura media de una superficie especificada por una ecuación se puede calcular utilizando el gradiente y la matriz de Hesse. ${\displaystyle F(x,y,z)=0}$ ${\displaystyle \nabla F=\left({\frac {\partial F}{\partial x}},{\frac {\partial F}{\partial y}},{\frac {\partial F}{\partial z}}\right)}$

${\displaystyle \textstyle {\mbox{Hess}}(F)={\begin{pmatrix}{\frac {\partial ^{2}F}{\partial x^{2}}}&{\frac {\partial ^{2}F}{\partial x\partial y}}&{\frac {\partial ^{2}F}{\partial x\partial z}}\\{\frac {\partial ^{2}F}{\partial y\partial x}}&{\frac {\partial ^{2}F}{\partial y^{2}}}&{\frac {\partial ^{2}F}{\partial y\partial z}}\\{\frac {\partial ^{2}F}{\partial z\partial x}}&{\frac {\partial ^{2}F}{\partial z\partial y}}&{\frac {\partial ^{2}F}{\partial z^{2}}}\end{pmatrix}}.}$

La curvatura media viene dada por: ^{[5] [6]}

${\displaystyle H={\frac {\nabla F\ {\mbox{Hess}}(F)\ \nabla F^{\mathsf {T}}-|\nabla F|^{2}\,{\text{Trace}}({\mbox{Hess}}(F))}{2|\nabla F|^{3}}}}$

Otra forma es la divergencia de la normal unitaria. Una unidad normal está dada por y la curvatura media es ${\displaystyle {\frac {\nabla F}{|\nabla F|}}}$

${\displaystyle H=-{\frac {1}{2}}\nabla \cdot \left({\frac {\nabla F}{|\nabla F|}}\right).}$

Curvatura media en mecánica de fluidos.

Ocasionalmente se utiliza una definición alternativa en mecánica de fluidos para evitar factores de dos:

${\displaystyle H_{f}=(\kappa _{1}+\kappa _{2})\,}$.

Esto da como resultado que la presión según la ecuación de Young-Laplace dentro de una gota esférica en equilibrio sea multiplicada por la tensión superficial ; las dos curvaturas son iguales al recíproco del radio de la gota ${\displaystyle H_{f}}$

${\displaystyle \kappa _{1}=\kappa _{2}=r^{-1}\,}$.

Superficies mínimas

Una representación de la superficie mínima de Costa.

Una superficie mínima es una superficie que tiene curvatura media cero en todos los puntos. Los ejemplos clásicos incluyen la superficie catenoide , helicoidal y de Enneper . Los descubrimientos recientes incluyen la superficie mínima de Costa y el Gyroid .

superficies CMC

Una extensión de la idea de una superficie mínima son las superficies de curvatura media constante. Las superficies de curvatura media constante unitaria en el espacio hiperbólico se denominan superficies de Bryant . ^[7]

Ver también

• curvatura gaussiana
• Flujo de curvatura media
• Flujo de curvatura media inversa
• Primera variación de la fórmula del área.
• Método de cuadrícula estirada

Notas

1. Marie-Louise Dubreil-Jacotin sobre Sophie Germain Archivado el 23 de febrero de 2008 en la Wayback Machine.
2. Lodder, J. (2003). "Curvatura en el plan de estudios de cálculo". El Mensual Matemático Estadounidense . 110 (7): 593–605. doi :10.2307/3647744. JSTOR  3647744.
3. Wente, Henry C. (1986). "Contraejemplo de una conjetura de H. Hopf". Revista Pacífico de Matemáticas . 121 (1): 193–243. doi : 10.2140/pjm.1986.121.193 . SEÑOR  0815044. Zbl  0586.53003.
4. Do Carmo, Manfredo (2016). Geometría diferencial de curvas y superficies (Segunda ed.). Dover. pag. 158.ISBN​ 978-0-486-80699-0.
5. Goldman, R. (2005). "Fórmulas de curvatura para superficies y curvas implícitas". Diseño Geométrico Asistido por Computadora . 22 (7): 632–658. doi :10.1016/j.cagd.2005.06.005.
6. Spivak, M (1975). Una introducción completa a la geometría diferencial . vol. 3. Publicar o perecer, Boston.
7. Rosenberg, Harold (2002), "Superficies de Bryant", La teoría global de superficies mínimas en espacios planos (Martina Franca, 1999), Lecture Notes in Math., vol. 1775, Berlín: Springer, págs. 67–111, doi :10.1007/978-3-540-45609-4_3, ISBN 978-3-540-43120-6, SEÑOR  1901614.

Referencias

• Spivak, Michael (1999), Una introducción completa a la geometría diferencial (volúmenes 3-4) (3.ª ed.), Publish or Perish Press, ISBN 978-0-914098-72-0, (Volumen 3), (Volumen 4).
• P. Grinfeld (2014). Introducción al análisis tensorial y al cálculo de superficies en movimiento . Saltador. ISBN 978-1-4614-7866-9.