Superficie mínima triplemente periódica

Superficie Schwarz H

En geometría diferencial , una superficie mínima triplemente periódica (TPMS) es una superficie mínima que es invariante bajo una red de traslaciones de rango 3 . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

Estas superficies tienen las simetrías de un grupo cristalográfico . Se conocen numerosos ejemplos con simetrías cúbica, tetragonal , romboédrica y ortorrómbica . Es seguro que existen ejemplos monoclínicos y triclínicos , pero han resultado difíciles de parametrizar. ^[1]

Los TPMS son de relevancia en las ciencias naturales. Los TPMS se han observado como membranas biológicas, ^[2] como copolímeros de bloque , ^[3] superficies equipotenciales en cristales ^[4] , etc. También han sido de interés en la arquitectura, el diseño y el arte.

Propiedades

Casi todos los TPMS estudiados están libres de autointersecciones (es decir, incrustados en ): desde un punto de vista matemático son los más interesantes (ya que las superficies con autointersecciones son trivialmente abundantes). ^[5] ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

Todos los TPMS conectados tienen género ≥ 3, ^[6] y en cada red existen TPMS integrados orientables de cada género ≥3. ^[7]

Los TPMS integrados son orientables y dividen el espacio en dos subvolúmenes separados (laberintos). Si son congruentes se dice que la superficie es una superficie de equilibrio. ^[8]

Historia

Superficie Schwarz P

Los primeros ejemplos de TPMS fueron las superficies descritas por Schwarz en 1865, seguidas de una superficie descrita por su alumno ER Neovius en 1883. ^{[9] [10]}

En 1970, Alan Schoen ideó 12 nuevos TPMS basados ​​en gráficos de esqueleto que abarcan células cristalográficas. ^{[11] [12]} Si bien las superficies de Schoen se hicieron populares en las ciencias naturales, la construcción no se prestó a una prueba de existencia matemática y permaneció en gran medida desconocida en matemáticas, hasta que H. Karcher demostró su existencia en 1989. ^[13]

Usando superficies conjugadas se encontraron muchas más superficies. Si bien las representaciones de Weierstrass son conocidas por los ejemplos más simples, no lo son por muchas superficies. En su lugar , a menudo se utilizan métodos de geometría diferencial discreta . ^[5]

Familias

La clasificación de TPMS es un problema abierto.

Los TPMS a menudo vienen en familias que pueden deformarse continuamente entre sí. Meeks encontró una familia explícita de 5 parámetros para TPMS de género 3 que contenía todos los ejemplos conocidos de superficies de género 3 excepto el giroide. ^[6] Los miembros de esta familia pueden deformarse continuamente entre sí, permaneciendo incrustados en el proceso (aunque la red puede cambiar). El giroide y el lidinoide están cada uno dentro de una familia separada de 1 parámetro. ^[14]

Otro enfoque para clasificar los TPMS es examinar sus grupos espaciales. Para superficies que contienen líneas, se pueden enumerar los posibles polígonos límite, proporcionando una clasificación. ^{[8] [15]}

Generalizaciones

Se pueden construir superficies mínimas periódicas en S ^{3 [16]} y H ³ . ^[17]

Es posible generalizar la división del espacio en laberintos para encontrar superficies mínimas triplemente periódicas (pero posiblemente ramificadas) que dividen el espacio en más de dos subvolúmenes. ^[18]

Se han construido superficies mínimas cuasiperiódicas en . ^[19] Se ha sugerido, pero no se ha demostrado, que existen superficies mínimas con un orden cuasicristalino . ^[20] ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\times {\textbf {S}}^{1}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

Galerías externas de imágenes.

• TPMS en el archivo de superficie mínima [2]
• Galería de superficies mínimas periódicas [3]

Referencias

1. "Superficies mínimas triplemente periódicas". Matemáticas del Proyecto EPINET . Archivado desde el original el 28 de febrero de 2023.
2. Deng, Yuru; Mieczkowski, Mark (1998). "Estructura de membrana cúbica periódica tridimensional en las mitocondrias de las amebas Chaos carolinensis". Protoplasma . 203 (1–2). Springer Science and Business Media LLC: 16–25. doi :10.1007/bf01280583. ISSN  0033-183X. S2CID  25569139.
3. Jiang, Simei; Göpfert, Astrid; Abetz, Volker (2003). "Nuevas morfologías de mezclas de copolímeros en bloque mediante enlaces de hidrógeno". Macromoléculas . 36 (16). Sociedad Química Estadounidense (ACS): 6171–6177. Código Bib : 2003MaMol..36.6171J. doi :10.1021/ma0342933. ISSN  0024-9297.
4. Mackay, Alan L. (1985). "Superficies mínimas periódicas". Física B+C . 131 (1–3). Elsevier BV: 300–305. Código bibliográfico : 1985PhyBC.131..300M. doi :10.1016/0378-4363(85)90163-9. ISSN  0378-4363. S2CID  4267918.
5. Karcher, Hermann; Polthier, Konrad (16 de septiembre de 1996). «Construcción de superficies mínimas triplemente periódicas» (PDF) . Transacciones filosóficas de la Royal Society de Londres. Serie A: Ciencias Matemáticas, Físicas y de Ingeniería . 354 (1715). La Sociedad de la Realeza: 2077-2104. arXiv : 1002.4805 . Código Bib : 1996RSPTA.354.2077K. doi :10.1098/rsta.1996.0093. ISSN  1364-503X. S2CID  15540887.
6. William H. Meeks, III. La geometría y la estructura conforme de superficies mínimas triplemente periódicas en R3. Tesis doctoral, Universidad de California, Berkeley, 1975.
7. Traizet, M. (2008). "Sobre el género de superficies mínimas triplemente periódicas" (PDF) . Revista de Geometría Diferencial . 79 (2). Prensa internacional de Boston: 243–275. doi : 10.4310/jdg/1211512641 . ISSN  0022-040X.
8. "Sin autointersecciones". Archivado desde el original el 22 de febrero de 2007.
9. HA Schwarz, Gesammelte Mathematische Abhandlungen, Springer, Berlín, 1933.
10. ER Neovius, "Bestimmung zweier spezieller periodischer Minimal Flachen", Akad. Abhandlungen , Helsingfors, 1883.
11. Alan H. Schoen, Superficies mínimas periódicas infinitas sin autointersecciones, Nota técnica de la NASA TN D-5541 (1970) "Superficies mínimas periódicas infinitas sin autointersecciones por Alan H. Schoen" (PDF) . Archivado (PDF) desde el original el 13 de abril de 2018 . Consultado el 12 de abril de 2019 .
12. "Superficies mínimas triplemente periódicas de Alan H. Schoen". Archivado desde el original el 22 de octubre de 2018 . Consultado el 12 de abril de 2019 .
13. Karcher, Hermann (5 de marzo de 1989). "Las superficies mínimas triplemente periódicas de Alan Schoen y sus compañeros de curvatura media constante". Manuscripta Matemática . 64 (3): 291–357. doi :10.1007/BF01165824. S2CID  119894224.
14. Adam G. Weyhaupt. Nuevas familias de superficies mínimas triplemente periódicas incrustadas de género tres en el espacio euclidiano. Tesis doctoral, Universidad de Indiana, 2006
15. Fischer, W.; Koch, E. (16 de septiembre de 1996). "Abarcando superficies mínimas". Transacciones filosóficas de la Royal Society de Londres. Serie A: Ciencias Matemáticas, Físicas y de Ingeniería . 354 (1715). La Sociedad de la Realeza: 2105-2142. Código Bib : 1996RSPTA.354.2105F. doi :10.1098/rsta.1996.0094. ISSN  1364-503X. S2CID  118170498.
16. Karcher, H.; Pinkall, U .; Libra esterlina, I. (1988). "Nuevas superficies mínimas en S3". Revista de Geometría Diferencial . 28 (2). Prensa internacional de Boston: 169–185. doi : 10.4310/jdg/1214442276 . ISSN  0022-040X.
17. K. Polthier. Nuevas superficies mínimas periódicas en h3. En G. Dziuk, G. Huisken y J. Hutchinson , editores, Aspectos teóricos y numéricos de los problemas variacionales geométricos, volumen 26, páginas 201–210. CMA Canberra, 1991.
18. Góźdź, Wojciech T.; Hołyst, Robert (1 de noviembre de 1996). "Superficies triplemente periódicas y estructuras continuas multiplicadas del modelo de microemulsiones de Landau". Revisión física E. 54 (5). Sociedad Estadounidense de Física (APS): 5012–5027. Código bibliográfico : 1996PhRvE..54.5012G. doi :10.1103/physreve.54.5012. ISSN  1063-651X. PMID  9965680.
19. Laurent Mazet, Martin Traizet, Una superficie mínima cuasi periódica, Commentarii Mathematici Helvetici, págs. 573–601, 2008 [1]
20. Sheng, Qing; Más, Veit (1 de abril de 1994). "Superficies mínimas cuasicristalinas". Revisión física B. 49 (14). Sociedad Estadounidense de Física (APS): 9977–9980. Código bibliográfico : 1994PhRvB..49.9977S. doi : 10.1103/physrevb.49.9977. ISSN  0163-1829. PMID  10009804.