romboedro

Poliedro con seis rombos como caras.

En geometría , un romboedro (también llamado hexaedro rómbico ^[1] o, incorrectamente, romboide ) es una figura tridimensional con seis caras que son rombos . Es un caso especial de paralelepípedo donde todos los bordes tienen la misma longitud. Puede usarse para definir el sistema reticular romboédrico , un panal con células romboédricas. Un cubo es un caso especial de romboedro con todos sus lados cuadrados .

En general un romboedro puede tener hasta tres tipos de caras rómbicas en pares opuestos congruentes, _simetría Ci , orden 2.

Cuatro puntos que forman vértices no adyacentes de un romboedro forman necesariamente los cuatro vértices de un tetraedro ortocéntrico , y todos los tetraedros ortocéntricos pueden formarse de esta manera. ^[2]

Sistema de celosía romboédrica

El sistema reticular romboédrico tiene células romboédricas, con 6 caras rómbicas congruentes formando un trapezoedro trigonal :

Casos especiales por simetría.

Casos especiales del romboedro

• Cubo : con simetría Oh , orden 48. Todas las caras son cuadrados .
• Trapezoedro trigonal (también llamado romboedro isoédrico ): ^[3] con simetría D _3d , orden 12. Todos los ángulos internos no obtusos de las caras son iguales (todas las caras son rombos congruentes). Esto se puede ver estirando un cubo sobre su eje diagonal del cuerpo. Por ejemplo, un octaedro regular con dos tetraedros regulares unidos en caras opuestas construye un trapezoedro trigonal de 60 grados.
• Prisma rómbico derecho : con simetría D _2h , orden 8. Está construido por dos rombos y cuatro cuadrados. Esto se puede ver estirando un cubo sobre su eje diagonal de cara. Por ejemplo, dos prismas rectos con bases triangulares regulares unidas forman un prisma rómbico recto de 60 grados .
• Prisma rómbico oblicuo : con simetría C 2h , orden 4. Tiene un solo plano de simetría, que pasa por cuatro vértices, y seis caras rómbicas.

Geometria solida

Para un romboedro isoédrico unitario (es decir, con longitud de lado 1), ^[3] con ángulo agudo rómbico , con un vértice en el origen (0, 0, 0) y con una arista a lo largo del eje x, los tres generadores los vectores son ${\displaystyle \theta ~}$

mi ₁  : ${\displaystyle {\biggl (}1,0,0{\biggr )},}$

mi ₂  : ${\displaystyle {\biggl (}\cos \theta ,\sin \theta ,0{\biggr )},}$

mi ₃  : ${\displaystyle {\biggl (}\cos \theta ,{\cos \theta -\cos ^{2}\theta \over \sin \theta },{{\sqrt {1-3\cos ^{2}\theta +2\cos ^{3}\theta }} \over \sin \theta }{\biggr )}.}$

Las otras coordenadas se pueden obtener de la suma de vectores ^[4] de los 3 vectores de dirección: e ₁ + e ₂ , e ₁ + e ₃ , e ₂ + e ₃ y e ₁ + e ₂ + e ₃ .

El volumen de un romboedro isoédrico, en términos de la longitud de su lado y su ángulo agudo rómbico , es una simplificación del volumen de un paralelepípedo , y viene dado por ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \theta ~}$

${\displaystyle V=a^{3}(1-\cos \theta ){\sqrt {1+2\cos \theta }}=a^{3}{\sqrt {(1-\cos \theta )^{2}(1+2\cos \theta )}}=a^{3}{\sqrt {1-3\cos ^{2}\theta +2\cos ^{3}\theta }}~.}$

Podemos expresar el volumen de otra manera: ${\displaystyle V}$

${\displaystyle V=2{\sqrt {3}}~a^{3}\sin ^{2}\left({\frac {\theta }{2}}\right){\sqrt {1-{\frac {4}{3}}\sin ^{2}\left({\frac {\theta }{2}}\right)}}~.}$

Como el área de la base (rómbica) está dada por , y como la altura de un romboedro está dada por su volumen dividido por el área de su base, la altura de un romboedro isoédrico en términos de la longitud de su lado y su ángulo agudo rómbico es dado por ${\displaystyle a^{2}\sin \theta ~}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle h=a~{(1-\cos \theta ){\sqrt {1+2\cos \theta }} \over \sin \theta }=a~{{\sqrt {1-3\cos ^{2}\theta +2\cos ^{3}\theta }} \over \sin \theta }~.}$

Nota:

${\displaystyle h=a~z}$₃ , donde ₃ es la tercera coordenada de e ₃ . ${\displaystyle z}$

La diagonal del cuerpo entre los vértices de ángulos agudos es la más larga. Por simetría rotacional alrededor de esa diagonal, las otras tres diagonales del cuerpo, entre los tres pares de vértices opuestos de ángulos obtusos, tienen todas la misma longitud.

Ver también

• Listas de formas

Referencias

1. "El cielo del origami de David Mitchell: poliedros rómbicos".
2. Court, NA (octubre de 1934), "Notas sobre el tetraedro ortocéntrico", American Mathematical Monthly , 41 (8): 499–502, doi :10.2307/2300415, JSTOR  2300415.
3. Líneas, L (1965). Geometría sólida: con capítulos sobre redes espaciales, paquetes de esferas y cristales . Publicaciones de Dover.
4. "Suma de vectores". Wolframio. 17 de mayo de 2016 . Consultado el 17 de mayo de 2016 .

enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Romboedro". MundoMatemático .
• Calculadora de volumen https://rechneronline.de/pi/rhombohedron.php