En matemáticas y física matemática , la teoría potencial es el estudio de funciones armónicas .
El término "teoría potencial" fue acuñado en la física del siglo XIX cuando se dio cuenta de que dos fuerzas fundamentales de la naturaleza conocidas en ese momento, a saber, la gravedad y la fuerza electrostática, podían modelarse utilizando funciones llamadas potencial gravitacional y potencial electrostático , ambos de que satisfacen la ecuación de Poisson —o en el vacío, la ecuación de Laplace .
Existe una superposición considerable entre la teoría del potencial y la teoría de la ecuación de Poisson hasta el punto de que es imposible establecer una distinción entre estos dos campos. La diferencia es más de énfasis que de tema y se basa en la siguiente distinción: la teoría potencial se centra en las propiedades de las funciones en contraposición a las propiedades de la ecuación. Por ejemplo, se diría que un resultado sobre las singularidades de funciones armónicas pertenece a la teoría potencial, mientras que un resultado sobre cómo la solución depende de los datos de frontera se diría que pertenece a la teoría de la ecuación de Laplace. Esta no es una distinción estricta y, en la práctica, existe una superposición considerable entre los dos campos, y los métodos y resultados de uno se utilizan en el otro.
La teoría potencial moderna también está íntimamente relacionada con la probabilidad y la teoría de las cadenas de Markov . En el caso continuo, esto está estrechamente relacionado con la teoría analítica. En el caso del espacio de estados finito, esta conexión se puede introducir introduciendo una red eléctrica en el espacio de estados, con resistencia entre puntos inversamente proporcional a las probabilidades de transición y densidades proporcionales a los potenciales. Incluso en el caso finito, el IK análogo del laplaciano en la teoría potencial tiene su propio principio de máximo, principio de unicidad, principio de equilibrio y otros.
Un punto de partida útil y un principio organizador en el estudio de funciones armónicas es la consideración de las simetrías de la ecuación de Laplace. Aunque no se trata de una simetría en el sentido habitual del término, podemos partir de la observación de que la ecuación de Laplace es lineal . Esto significa que el objeto fundamental de estudio de la teoría potencial es un espacio lineal de funciones. Esta observación resultará especialmente importante cuando consideremos los enfoques del espacio funcional para el tema en una sección posterior.
En cuanto a la simetría en el sentido habitual del término, podemos comenzar con el teorema de que las simetrías de la ecuación de Laplace de dimensiones son exactamente las simetrías conformes del espacio euclidiano de dimensiones . Este hecho tiene varias implicaciones. En primer lugar, se pueden considerar funciones armónicas que se transforman bajo representaciones irreducibles del grupo conforme o de sus subgrupos (como el grupo de rotaciones o traslaciones). Procediendo de esta manera, se obtienen sistemáticamente las soluciones de la ecuación de Laplace que surgen de la separación de variables como las soluciones armónicas esféricas y las series de Fourier . Al tomar superposiciones lineales de estas soluciones, se pueden producir grandes clases de funciones armónicas que se puede demostrar que son densas en el espacio de todas las funciones armónicas bajo topologías adecuadas.
En segundo lugar, se puede utilizar la simetría conforme para comprender trucos y técnicas clásicas para generar funciones armónicas como la transformada de Kelvin y el método de las imágenes .
En tercer lugar, se pueden utilizar transformaciones conformes para asignar funciones armónicas en un dominio a funciones armónicas en otro dominio. El ejemplo más común de tal construcción es relacionar funciones armónicas en un disco con funciones armónicas en un semiplano.
En cuarto lugar, se puede utilizar la simetría conforme para extender funciones armónicas a funciones armónicas en variedades riemannianas conformemente planas . Quizás la extensión más simple sea considerar una función armónica definida en el conjunto de R n (con la posible excepción de un conjunto discreto de puntos singulares) como una función armónica en la esfera -dimensional . También pueden ocurrir situaciones más complicadas. Por ejemplo, se puede obtener un análogo de dimensiones superiores de la teoría de superficies de Riemann expresando una función armónica multivaluada como una función de un solo valor en una cubierta ramificada de R n o se pueden considerar funciones armónicas que son invariantes bajo un subgrupo discreto de el grupo conforme funciona en una variedad u orbifold conexa múltiple .
Del hecho de que el grupo de transformadas conformes es de dimensión infinita en dos dimensiones y de dimensión finita en más de dos dimensiones, se puede suponer que la teoría potencial en dos dimensiones es diferente de la teoría potencial en otras dimensiones. Esto es correcto y, de hecho, cuando uno se da cuenta de que cualquier función armónica bidimensional es la parte real de una función analítica compleja , ve que el tema de la teoría del potencial bidimensional es sustancialmente el mismo que el del análisis complejo. Por esta razón, cuando se habla de teoría potencial, se centra la atención en los teoremas que se cumplen en tres o más dimensiones. En este sentido, es sorprendente que muchos resultados y conceptos descubiertos originalmente en el análisis complejo (como el teorema de Schwarz , el teorema de Morera , el teorema de Weierstrass-Casorati , las series de Laurent y la clasificación de singularidades en singularidades removibles , polares y singulares esenciales ) se generalicen. a resultados sobre funciones armónicas en cualquier dimensión. Al considerar qué teoremas del análisis complejo son casos especiales de teoremas de la teoría potencial en cualquier dimensión, uno puede tener una idea de exactamente qué tiene de especial el análisis complejo en dos dimensiones y qué es simplemente la instancia bidimensional de resultados más generales.
Un tema importante en la teoría del potencial es el estudio del comportamiento local de funciones armónicas. Quizás el teorema más fundamental sobre el comportamiento local sea el teorema de regularidad de la ecuación de Laplace, que establece que las funciones armónicas son analíticas. Hay resultados que describen la estructura local de conjuntos de niveles de funciones armónicas. Existe el teorema de Bôcher , que caracteriza el comportamiento de singularidades aisladas de funciones armónicas positivas. Como se mencionó en la última sección, se pueden clasificar las singularidades aisladas de funciones armónicas como singularidades removibles, polos y singularidades esenciales.
Un enfoque fructífero para el estudio de funciones armónicas es la consideración de las desigualdades que satisfacen. Quizás la desigualdad más básica, de la que se pueden derivar la mayoría de las demás desigualdades, sea el principio de máxima . Otro resultado importante es el teorema de Liouville , que establece que las únicas funciones armónicas acotadas definidas en el conjunto de R n son, de hecho, funciones constantes. Además de estas desigualdades básicas, existe la desigualdad de Harnack , que establece que las funciones armónicas positivas en dominios acotados son aproximadamente constantes.
Un uso importante de estas desigualdades es demostrar la convergencia de familias de funciones armónicas o funciones subarmónicas; consulte el teorema de Harnack . Estos teoremas de convergencia se utilizan para demostrar la existencia de funciones armónicas con propiedades particulares. [1]
Dado que la ecuación de Laplace es lineal, el conjunto de funciones armónicas definidas en un dominio dado es, de hecho, un espacio vectorial . Al definir normas y/o productos internos adecuados , se pueden exhibir conjuntos de funciones armónicas que forman espacios de Hilbert o Banach . De esta manera se obtienen espacios como el espacio de Hardy , el espacio de Bloch , el espacio de Bergman y el espacio de Sobolev .
