Teorema de Morera

Criterio integral de holomorfía

Si la integral a lo largo de cada C es cero, entonces f es holomorfa en D.

En el análisis complejo , una rama de las matemáticas , el teorema de Morera , llamado así en honor a Giacinto Morera , proporciona un criterio importante para demostrar que una función es holomorfa .

El teorema de Morera establece que una función continua y compleja f definida en un conjunto abierto D en el plano complejo que satisface para cada curva cerrada por partes C ¹ en D debe ser holomorfa en D. $${\displaystyle \oint _{\gamma }f(z)\,dz=0}$$ ${\displaystyle \gamma }$

El supuesto del teorema de Morera es equivalente a que f tenga una antiderivada en  D .

El inverso del teorema no es cierto en general. Una función holomorfa no necesita tener una antiderivada en su dominio, a menos que se impongan suposiciones adicionales. El inverso sí se cumple, por ejemplo, si el dominio es simplemente conexo ; este es el teorema integral de Cauchy , que establece que la integral de línea de una función holomorfa a lo largo de una curva cerrada es cero.

El contraejemplo estándar es la función f ( z ) = 1/ z , que es holomorfa en C  − {0}. En cualquier entorno simplemente conexo U en C  − {0}, 1/ z tiene una antiderivada definida por L ( z ) = ln( r ) + iθ , donde z = re ^iθ . Debido a la ambigüedad de θ hasta la adición de cualquier múltiplo entero de 2 π , cualquier elección continua de θ en U será suficiente para definir una antiderivada de 1/ z en U . (El hecho de que θ no se puede definir de forma continua en una curva cerrada simple que contiene el origen en su interior es la raíz de por qué 1/ z no tiene antiderivada en todo su dominio C  − {0}.) Y como la derivada de una constante aditiva es 0, cualquier constante puede añadirse a la antiderivada y el resultado seguirá siendo una antiderivada de 1/ z .

En cierto sentido, el contraejemplo 1/ z es universal: para cada función analítica que no tiene antiderivada en su dominio, la razón de esto es que 1/ z en sí mismo no tiene una antiderivada en C  − {0}.

Prueba

Las integrales a lo largo de dos caminos de a a b son iguales, ya que su diferencia es la integral a lo largo de un bucle cerrado.

Existe una demostración relativamente elemental del teorema: se construye una antiderivada para f de forma explícita.

Sin pérdida de generalidad, se puede suponer que D está conectado . Fijemos un punto z ₀ en D , y para cualquier , sea una curva C ¹ por partes tal que y . Luego definamos la función F como ${\displaystyle z\in D}$ ${\displaystyle \gamma :[0,1]\to D}$ ${\displaystyle \gamma (0)=z_{0}}$ ${\displaystyle \gamma (1)=z}$ $${\displaystyle F(z)=\int _{\gamma }f(\zeta )\,d\zeta .}$$

Para ver que la función está bien definida, supongamos que es otra curva C ¹ por partes tal que y . La curva (es decir, la curva que se combina con en sentido inverso) es una curva C ¹ cerrada por partes en D . Entonces, ${\displaystyle \tau :[0,1]\to D}$ ${\displaystyle \tau (0)=z_{0}}$ ${\displaystyle \tau (1)=z}$ ${\displaystyle \gamma \tau ^{-1}}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \tau }$ $${\displaystyle \int _{\gamma }f(\zeta )\,d\zeta +\int _{\tau ^{-1}}f(\zeta )\,d\zeta =\oint _{\gamma \tau ^{-1}}f(\zeta )\,d\zeta =0.}$$

Y se deduce que $${\displaystyle \int _{\gamma }f(\zeta )\,d\zeta =\int _{\tau }f(\zeta )\,d\zeta .}$$

Luego, utilizando la continuidad de f para estimar cocientes de diferencias, obtenemos que F ′( z ) =  f ( z ). Si hubiéramos elegido un z ₀ diferente en D , F cambiaría por una constante: es decir, el resultado de integrar f a lo largo de cualquier curva regular por partes entre el nuevo z ₀ y el antiguo, y esto no cambia la derivada.

Como f es la derivada de la función holomorfa F , es holomorfa. El hecho de que las derivadas de funciones holomorfas sean holomorfas se puede demostrar utilizando el hecho de que las funciones holomorfas son analíticas , es decir, se pueden representar mediante una serie de potencias convergentes , y el hecho de que las series de potencias se pueden diferenciar término por término. Esto completa la demostración.

Aplicaciones

El teorema de Morera es una herramienta estándar en el análisis complejo . Se utiliza en casi cualquier argumento que implique una construcción no algebraica de una función holomorfa.

Límites uniformes

Por ejemplo, supongamos que f ₁ ,  f ₂ , ... es una secuencia de funciones holomorfas, que convergen uniformemente a una función continua f en un disco abierto. Por el teorema de Cauchy , sabemos que para cada n , a lo largo de cualquier curva cerrada C en el disco. Entonces la convergencia uniforme implica que para cada curva cerrada C , y por lo tanto por el teorema de Morera f debe ser holomorfa. Este hecho puede usarse para mostrar que, para cualquier conjunto abierto Ω ⊆ C , el conjunto A (Ω) de todas las funciones analíticas acotadas u  : Ω → C es un espacio de Banach con respecto a la norma suprema . $${\displaystyle \oint _{C}f_{n}(z)\,dz=0}$$ $${\displaystyle \oint _{C}f(z)\,dz=\oint _{C}\lim _{n\to \infty }f_{n}(z)\,dz=\lim _{n\to \infty }\oint _{C}f_{n}(z)\,dz=0}$$

Sumas e integrales infinitas

El teorema de Morera también se puede utilizar junto con el teorema de Fubini y la prueba M de Weierstrass para mostrar la analiticidad de funciones definidas por sumas o integrales, como la función zeta de Riemann o la función Gamma. $${\displaystyle \zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}}$$ $${\displaystyle \Gamma (\alpha )=\int _{0}^{\infty }x^{\alpha -1}e^{-x}\,dx.}$$

Específicamente, se demuestra que para una curva cerrada adecuada C , escribiendo y luego usando el teorema de Fubini para justificar el cambio del orden de integración, se obtiene $${\displaystyle \oint _{C}\Gamma (\alpha )\,d\alpha =0}$$ $${\displaystyle \oint _{C}\Gamma (\alpha )\,d\alpha =\oint _{C}\int _{0}^{\infty }x^{\alpha -1}e^{-x}\,dx\,d\alpha }$$ $${\displaystyle \int _{0}^{\infty }\oint _{C}x^{\alpha -1}e^{-x}\,d\alpha \,dx=\int _{0}^{\infty }e^{-x}\oint _{C}x^{\alpha -1}\,d\alpha \,dx.}$$

Luego se utiliza la analiticidad de α ↦ x ^{α −1} para concluir que y, por lo tanto, la integral doble anterior es 0. De manera similar, en el caso de la función zeta, la prueba M justifica intercambiar la integral a lo largo de la curva cerrada y la suma. $${\displaystyle \oint _{C}x^{\alpha -1}\,d\alpha =0,}$$

Debilitamiento de hipótesis

Las hipótesis del teorema de Morera pueden debilitarse considerablemente. En particular, basta con que la integral sea cero para todo triángulo cerrado (sólido) T contenido en la región D. Esto, de hecho, caracteriza la holomorfía, es decir, f es holomorfa en D si y solo si se cumplen las condiciones anteriores. También implica la siguiente generalización del hecho mencionado anteriormente sobre los límites uniformes de las funciones holomorfas: si f ₁ ,  f ₂ , ... es una sucesión de funciones holomorfas definidas en un conjunto abierto Ω ⊆ C que converge a una función f uniformemente en subconjuntos compactos de Ω, entonces f es holomorfa. $${\displaystyle \oint _{\partial T}f(z)\,dz}$$

Véase también

• Ecuaciones de Cauchy-Riemann
• Métodos de integración de contornos
• Residuo (análisis complejo)
• Teorema de Mittag-Leffler

Referencias

• Ahlfors, Lars (1 de enero de 1979), Análisis complejo , Serie internacional de matemáticas puras y aplicadas, McGraw-Hill, ISBN 978-0-07-000657-7, Zbl  0395.30001.
• Conway, John B. (1973), Funciones de una variable compleja I , Textos de posgrado en matemáticas, vol. 11, Springer Verlag , ISBN 978-3-540-90328-4, Zbl  0277.30001.
• Greene, Robert E. ; Krantz, Steven G. (2006), Teoría de funciones de una variable compleja , Graduate Studies in Mathematics , vol. 40, American Mathematical Society, ISBN 0-8218-3962-4
• Morera, Giacinto (1886), "Un teorema fondamentale nella teorica delle funzioni di una variabile complessa", Rendiconti del Reale Instituto Lombardo di Scienze e Lettere (en italiano), 19 (2): 304–307, JFM  18.0338.02.
• Rudin, Walter (1987) [1966], Análisis real y complejo (3.ª ed.), McGraw-Hill , pp. xiv+416, ISBN 978-0-07-054234-1, Zbl0925.00005 ​.

Enlaces externos

• "Teorema de Morera", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Weisstein, Eric W. "Teorema de Morera". MundoMatemático .