En matemáticas , una subvariedad de una variedad es un subconjunto que a su vez tiene la estructura de una variedad y para el cual el mapa de inclusión satisface ciertas propiedades. Hay diferentes tipos de subvariedades dependiendo exactamente de las propiedades que se requieren. Los diferentes autores suelen tener definiciones diferentes.
A continuación asumimos que todas las variedades son variedades diferenciables de clase para un fijo , y que todos los morfismos son diferenciables de clase .
Una subvariedad sumergida de una variedad es la imagen de un mapa de inmersión ; en general, esta imagen no será una subvariedad como subconjunto, y un mapa de inmersión ni siquiera necesita ser inyectivo (uno a uno): puede tener autointersecciones. [1]
En términos más específicos, se puede exigir que el mapa sea una inyección (uno a uno), en lo que lo llamamos inmersión inyectiva , y definir una subvariedad inmersa como el subconjunto de imágenes junto con una topología y estructura diferencial tal que sea una variedad y la inclusión es un difeomorfismo : esta es solo la topología de , que en general no concordará con la topología del subconjunto: en general, el subconjunto no es una subvariedad de , en la topología del subconjunto.
Dada cualquier inmersión inyectiva, a la imagen de in se le puede dar de forma única la estructura de una subvariedad sumergida, por lo que es un difeomorfismo . De ello se deduce que las subvariedades sumergidas son precisamente imágenes de inmersiones inyectivas.
La topología de la subvariedad en una subvariedad sumergida no tiene por qué ser la topología del subespacio heredada de . En general, será más fina que la topología subespacial (es decir, tendrá más conjuntos abiertos ).
Las subvariedades inmersas ocurren en la teoría de los grupos de Lie , donde los subgrupos de Lie son subvariedades inmersas naturalmente. También aparecen en el estudio de foliaciones donde las subvariedades sumergidas proporcionan el contexto adecuado para demostrar el teorema de Frobenius .
Una subvariedad incrustada (también llamada subvariedad regular ), es una subvariedad inmersa para la cual el mapa de inclusión es una incrustación topológica . Es decir, la topología subvariedad es la misma que la topología subespacial.
Dada cualquier incrustación de una variedad en la imagen , naturalmente tiene la estructura de una subvariedad incrustada. Es decir, las subvariedades incrustadas son precisamente imágenes de incrustaciones.
Existe una definición intrínseca de subvariedad incrustada que suele ser útil. Sea una variedad -dimensional y sea un número entero tal que . Una subvariedad incrustada de dimensiones es un subconjunto tal que para cada punto existe un gráfico que contiene tal que es la intersección de un plano de dimensiones con . Los pares forman un atlas de la estructura diferencial en .
El teorema de Alexander y el teorema de Jordan-Schoenflies son buenos ejemplos de incrustaciones suaves.
Existen algunas otras variaciones de subvariedades utilizadas en la literatura. Una subvariedad ordenada es una variedad cuyo límite concuerda con el límite de toda la variedad. [2] Sharpe (1997) define un tipo de subvariedad que se encuentra en algún lugar entre una subvariedad incrustada y una subvariedad sumergida.
Muchos autores también definen subvariedades topológicas. Estos son lo mismo que las subvariedades con . [3] Una subvariedad topológica incrustada no es necesariamente regular en el sentido de la existencia de un gráfico local en cada punto que extiende la incrustación. Los contraejemplos incluyen arcos salvajes y nudos salvajes .
Dada cualquier subvariedad sumergida de , el espacio tangente a un punto en puede considerarse naturalmente como un subespacio lineal del espacio tangente a en . Esto se desprende del hecho de que el mapa de inclusión es una inmersión y proporciona una inyección.
Supongamos que S es una subvariedad sumergida de . Si el mapa de inclusión es cerrado , en realidad es una subvariedad incrustada de . Por el contrario, si es una subvariedad incrustada que también es un subconjunto cerrado, entonces el mapa de inclusión está cerrado. El mapa de inclusión está cerrado si y sólo si es un mapa adecuado (es decir, las imágenes inversas de conjuntos compactos son compactas). Si es cerrado, entonces se llama subvariedad incrustada cerrada de . Las subvariedades integradas cerradas forman la mejor clase de subvariedades.
Las variedades suaves a veces se definen como subvariedades incrustadas del espacio de coordenadas real , para algunos . Este punto de vista es equivalente al enfoque abstracto habitual, porque, según el teorema de incrustación de Whitney , cualquier segunda variedad suave (abstracta) contable puede incrustarse suavemente en .
