Arco salvaje

Incorporación del intervalo unitario en la isotopía ambiental de 3 espacios no equivalente a un segmento de línea

Ejemplo 1.1 del arco Fox-Artin

En topología geométrica , un arco salvaje es una incrustación del intervalo unitario en un espacio tridimensional no equivalente al habitual en el sentido de que no existe una isotopía ambiental que lleve el arco a un segmento de línea recta.

Antoine (1920) encontró el primer ejemplo de un arco salvaje. Fox y Artin (1948) encontraron otro ejemplo, llamado arco Fox-Artin , cuyo complemento no está simplemente conexo .

Arcos de Fox-Artin

En el artículo de Fox & Artin (1948) aparecen dos arcos salvajes muy similares. El ejemplo 1.1 (página 981) se conoce generalmente como el arco salvaje de Fox-Artin. Los cruces tienen la secuencia regular arriba/arriba/abajo/arriba/abajo/abajo cuando se sigue la curva de izquierda a derecha.

El punto final izquierdo 0 del intervalo unitario cerrado se asigna mediante el arco al punto límite izquierdo de la curva, y 1 se asigna al punto límite derecho. El rango del arco se encuentra en el espacio euclidiano o la 3-esfera . ${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle S^{3}}$

Variante del arco de Fox-Artin

Arco de Fox-Artin Ejemplo 1.1*

El ejemplo 1.1* tiene la secuencia de cruces arriba/abajo/arriba/abajo/arriba/abajo. Según Fox y Artin (1948), página 982: "Esto es simplemente el punto de cadeneta del tejido extendido indefinidamente en ambas direcciones".

Este arco no se puede deformar continuamente para producir el Ejemplo 1.1 en o , a pesar de su apariencia similar. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle S^{3}}$

El arco salvaje de Fox-Artin (ejemplo 1.1*) se dibuja como un diagrama de nudos . Nótese que cada "cola" del arco converge hacia un punto. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

También se muestra aquí un estilo alternativo de diagrama para el arco del Ejemplo 1.1*.

Véase también

• Nudo salvaje
• Esfera con cuernos de Alejandro

Lectura adicional

• Antoine, L. (1920), "Sur la possibilité d'étendre l'homéomorphie de deux figure à leurs voisinages", CR Acad. Ciencia. París (en francés), 171 : 661
• Fox, Ralph H.; Harrold, OG (1962), "Los arcos de Wilder", Topología de 3-variedades y temas relacionados (Proc. The Univ. of Georgia Institute, 1961) , Prentice Hall , págs. 184-187, MR  0140096
• Fox, Ralph H. ; Artin, Emil (1948), "Algunas células y esferas salvajes en el espacio tridimensional", Anales de Matemáticas , Segunda Serie, 49 (4): 979–990, doi :10.2307/1969408, ISSN  0003-486X, JSTOR  1969408, MR  0027512
• Hocking, John Gilbert; Young, Gail Sellers (1988) [1961]. Topología . Dover. págs. 176–177. ISBN 0-486-65676-4.
• McPherson, James M. (1973), "Arcos salvajes en tres espacios. I. Familias de arcos de Fox-Artin", Pacific Journal of Mathematics , 45 (2): 585–598, doi : 10.2140/pjm.1973.45.585 , ISSN  0030-8730, MR  0343276