En el campo matemático del análisis complejo , una función meromorfa en un subconjunto abierto D del plano complejo es una función que es holomorfa en todo D excepto en un conjunto de puntos aislados , que son polos de la función. [1] El término proviene del griego meros (μέρος), que significa "parte". [a]
Cada función meromórfica en D se puede expresar como la relación entre dos funciones holomorfas (con el denominador no constante 0) definidas en D : cualquier polo debe coincidir con un cero del denominador.
Intuitivamente, una función meromórfica es una proporción de dos funciones que se comportan bien (holomórficas). Tal función seguirá comportándose bien, excepto posiblemente en los puntos donde el denominador de la fracción sea cero. Si el denominador tiene un cero en z y el numerador no, entonces el valor de la función se aproximará al infinito; Si ambas partes tienen un cero en z , entonces se debe comparar la multiplicidad de estos ceros.
Desde un punto de vista algebraico, si el dominio de la función es conexo , entonces el conjunto de funciones meromorfas es el campo de fracciones del dominio integral del conjunto de funciones holomorfas. Esto es análogo a la relación entre los números racionales y los enteros .
Tanto el campo de estudio en el que se utiliza el término como el significado preciso del término cambiaron en el siglo XX. En la década de 1930, en la teoría de grupos , una función meromorfa (o meromorfa ) era una función de un grupo G en sí misma que preservaba el producto en el grupo. La imagen de esta función se llamó automorfismo de G . [2] De manera similar, una función homomorfa (u homomorfa ) era una función entre grupos que preservaba el producto, mientras que un homomorfismo era la imagen de un homomorfo. Esta forma del término ahora está obsoleta y el término relacionado meromorfo ya no se usa en la teoría de grupos. El término endomorfismo ahora se utiliza para la función en sí, sin dar ningún nombre especial a la imagen de la función.
Una función meromorfa no es necesariamente un endomorfismo, ya que los puntos complejos en sus polos no están en su dominio, pero pueden estar en su rango.
Dado que los polos están aislados, hay como máximo un número contable para una función meromórfica. [3] El conjunto de polos puede ser infinito, como lo ejemplifica la función
Al utilizar la continuación analítica para eliminar singularidades removibles , se pueden sumar, restar, multiplicar y formar el cociente a menos que sea en un componente conectado de D. Así, si D es conexo, las funciones meromórficas forman un campo , de hecho una extensión de campo de los números complejos .
En varias variables complejas , una función meromórfica se define como localmente un cociente de dos funciones holomorfas. Por ejemplo, es una función meromórfica en el espacio afín complejo bidimensional. Aquí ya no es cierto que cada función meromorfa pueda considerarse como una función holomorfa con valores en la esfera de Riemann : hay un conjunto de "indeterminación" de codimensión dos (en el ejemplo dado, este conjunto consta del origen ).
A diferencia de la dimensión uno, en dimensiones superiores existen variedades complejas compactas en las que no hay funciones meromórficas no constantes, por ejemplo, la mayoría de los toros complejos .
En una superficie de Riemann , cada punto admite una vecindad abierta que es biholomorfa a un subconjunto abierto del plano complejo. De este modo se puede definir la noción de función meromorfa para cada superficie de Riemann.
Cuando D es toda la esfera de Riemann , el campo de funciones meromorfas es simplemente el campo de funciones racionales en una variable sobre el campo complejo, ya que se puede demostrar que cualquier función meromorfa en la esfera es racional. (Este es un caso especial del llamado principio GAGA ).
Para cada superficie de Riemann , una función meromorfa es lo mismo que una función holomorfa que se asigna a la esfera de Riemann y que no es la función constante igual a ∞. Los polos corresponden a aquellos números complejos que se asignan a ∞.
En una superficie de Riemann no compacta , cada función meromórfica se puede realizar como un cociente de dos funciones holomorfas (definidas globalmente). Por el contrario, en una superficie compacta de Riemann, cada función holomorfa es constante, mientras que siempre existen funciones meromórficas no constantes.
