En matemáticas, la conjetura de geometrización de Thurston establece que cada uno de ciertos espacios topológicos tridimensionales tiene una estructura geométrica única que puede asociarse con él. Es un análogo del teorema de uniformización para superficies bidimensionales , que establece que a cada superficie de Riemann simplemente conectada se le puede dar una de tres geometrías ( euclidiana , esférica o hiperbólica ). En tres dimensiones, no siempre es posible asignar una única geometría a todo un espacio topológico. En cambio, la conjetura de geometrización establece que cada 3 variedades cerradas se puede descomponer de forma canónica en piezas, cada una de las cuales tiene uno de los ocho tipos de estructura geométrica. La conjetura fue propuesta por William Thurston (1982) e implica varias otras conjeturas, como la conjetura de Poincaré y la conjetura de eliptización de Thurston .
El teorema de hiperbolización de Thurston implica que las variedades de Haken satisfacen la conjetura de geometrización. Thurston anunció una prueba en la década de 1980 y desde entonces han aparecido impresas varias pruebas completas.
Grigori Perelman anunció una prueba de la conjetura de geometrización completa en 2003 utilizando el flujo de Ricci con cirugía en dos artículos publicados en el servidor de preimpresión arxiv.org. Los artículos de Perelman fueron estudiados por varios grupos independientes que produjeron libros y manuscritos en línea que completaban los detalles completos de sus argumentos. La verificación se completó esencialmente a tiempo para que Perelman recibiera la Medalla Fields de 2006 por su trabajo, y en 2010 el Instituto de Matemáticas Clay le otorgó su premio de 1 millón de dólares por resolver la conjetura de Poincaré, aunque Perelman se negó a aceptar cualquiera de los premios.
La conjetura de Poincaré y la conjetura de la forma del espacio esférico son corolarios de la conjetura de geometrización, aunque existen pruebas más breves de la primera que no conducen a la conjetura de geometrización.
Una variedad de 3 se llama cerrada si es compacta y no tiene límite .
Cada 3-variedades cerradas tiene una descomposición prima : esto significa que es la suma conectada de 3-variedades primas (esta descomposición es esencialmente única excepto por un pequeño problema en el caso de variedades no orientables ). Esto reduce gran parte del estudio de las 3 variedades al caso de las 3 variedades primas: aquellas que no pueden escribirse como una suma conectada no trivial.
Aquí hay una declaración de la conjetura de Thurston:
Hay 8 estructuras geométricas posibles en 3 dimensiones, que se describen en la siguiente sección. Existe una forma mínima única de cortar una variedad triple orientada irreducible a lo largo de toros en piezas que son variedades de Seifert o atoroidales , llamada descomposición JSJ , que no es exactamente lo mismo que la descomposición en la conjetura de geometrización, porque algunas de las piezas en la Es posible que la descomposición JSJ no tenga estructuras geométricas de volumen finito. (Por ejemplo, el toro de mapeo de un mapa de Anosov de un toro tiene una estructura de resolución de volumen finito, pero su descomposición JSJ lo abre a lo largo de un toro para producir un producto de un toro y un intervalo unitario, y el interior de este no tiene estructura geométrica de volumen finito.)
Para variedades no orientadas, la forma más sencilla de enunciar una conjetura de geometrización es tomar primero la doble cubierta orientada . También es posible trabajar directamente con colectores no orientables, pero esto genera algunas complicaciones adicionales: puede ser necesario cortar a lo largo de planos proyectivos y botellas de Klein , así como esferas y toros, y los colectores con un componente límite de plano proyectivo generalmente no tienen estructura geométrica.
En 2 dimensiones, toda superficie cerrada tiene una estructura geométrica formada por una métrica con curvatura constante; No es necesario cortar primero el colector. Específicamente, cada superficie cerrada es difeomorfa a un cociente de S 2 , E 2 o H 2 . [1]
Una geometría modelo es una variedad lisa X simplemente conectada junto con una acción transitiva de un grupo de Lie G sobre X con estabilizadores compactos.
Un modelo de geometría se llama máxima si G es máximo entre grupos que actúan suave y transitivamente sobre X con estabilizadores compactos. A veces esta condición se incluye en la definición de una geometría modelo.
Una estructura geométrica en una variedad M es un difeomorfismo de M a X /Γ para algún modelo de geometría X , donde Γ es un subgrupo discreto de G que actúa libremente sobre X ; Este es un caso especial de una estructura ( G , X ) completa . Si una variedad dada admite una estructura geométrica, entonces admite una cuyo modelo es maximal.
Un modelo de geometría tridimensional X es relevante para la conjetura de geometrización si es máximo y si hay al menos una variedad compacta con una estructura geométrica modelada en X. Thurston clasificó las 8 geometrías del modelo que satisfacían estas condiciones; se enumeran a continuación y a veces se les llama geometrías de Thurston . (También hay innumerables geometrías de modelos sin cocientes compactos).
Existe cierta conexión con los grupos de Bianchi : los grupos de Lie tridimensionales. La mayoría de las geometrías de Thurston se pueden realizar como una métrica invariante por la izquierda en un grupo de Bianchi. Sin embargo , S 2 × R no puede serlo, el espacio euclidiano corresponde a dos grupos de Bianchi diferentes, y hay un número incontable de grupos de Bianchi no unimodulares solubles , la mayoría de los cuales dan geometrías modelo sin representantes compactos.
El estabilizador puntual es O(3, R ), y el grupo G es el grupo de Lie de 6 dimensiones O(4, R ), con 2 componentes. Las variedades correspondientes son exactamente las 3 variedades cerradas con grupo fundamental finito . Los ejemplos incluyen las 3 esferas , la esfera de homología de Poincaré y los espacios de lentes . Esta geometría se puede modelar como una métrica invariante por la izquierda en el grupo de Bianchi de tipo IX . Las variedades con esta geometría son todas compactas, orientables y tienen la estructura de un espacio de fibra de Seifert (a menudo de varias maneras). La lista completa de tales colectores se proporciona en el artículo sobre 3 colectores esféricos . Bajo el flujo de Ricci, las variedades con esta geometría colapsan hasta un punto en un tiempo finito.
El estabilizador puntual es O(3, R ), y el grupo G es el grupo de Lie de 6 dimensiones R 3 × O(3, R ), con 2 componentes. Ejemplos son el 3-toro , y más generalmente el toro de mapeo de un automorfismo de orden finito del 2-toro; ver haz toroidal . Hay exactamente 10 3 variedades cerradas finitas con esta geometría, 6 orientables y 4 no orientables. Esta geometría se puede modelar como una métrica invariante por la izquierda en los grupos de Bianchi de tipo I o VII 0 . Las variedades de volumen finito con esta geometría son todas compactas y tienen la estructura de un espacio de fibra de Seifert (a veces de dos maneras). La lista completa de tales colectores se proporciona en el artículo sobre espacios de fibras de Seifert . Bajo el flujo de Ricci, las variedades con geometría euclidiana permanecen invariantes.
El estabilizador puntual es O(3, R ), y el grupo G es el grupo de Lie de 6 dimensiones O + (1, 3, R ), con 2 componentes. Hay una enorme cantidad de ejemplos de estos y su clasificación no se comprende completamente. El ejemplo con el volumen más pequeño es el colector Weeks . Otros ejemplos los dan el espacio de Seifert-Weber , o las cirugías de Dehn "suficientemente complicadas" en enlaces , o la mayoría de las variedades de Haken . La conjetura de geometrización implica que una variedad 3 cerrada es hiperbólica si y sólo si es irreducible, atoroidal y tiene un grupo fundamental infinito. Esta geometría se puede modelar como una métrica invariante por la izquierda en el grupo de Bianchi de tipo V o VII h≠0 . Bajo el flujo de Ricci, las variedades con geometría hiperbólica se expanden.
El estabilizador puntual es O(2, R ) × Z /2 Z , y el grupo G es O(3, R ) × R × Z /2 Z , con 4 componentes. Las cuatro variedades de volumen finito con esta geometría son: S 2 × S 1 , el toro cartográfico del mapa antípoda de S 2 , la suma conectada de dos copias del espacio proyectivo tridimensional y el producto de S 1 con bidimensional espacio proyectivo. Los dos primeros son toros de mapeo del mapa de identidad y el mapa de antípodas de la 2 esfera, y son los únicos ejemplos de 3 variedades que son primos pero no irreducibles. El tercero es el único ejemplo de una suma conectada no trivial con una estructura geométrica. Esta es la única geometría del modelo que no se puede realizar como una métrica invariante por la izquierda en un grupo de Lie tridimensional. Las variedades de volumen finito con esta geometría son todas compactas y tienen la estructura de un espacio de fibra de Seifert (a menudo de varias maneras). Bajo colectores de flujo de Ricci normalizados con esta geometría convergen a un colector unidimensional.
El estabilizador puntual es O(2, R ) × Z /2 Z , y el grupo G es O + (1, 2, R ) × R × Z /2 Z , con 4 componentes. Los ejemplos incluyen el producto de una superficie hiperbólica con un círculo o, más generalmente, el toroide cartográfico de una isometría de una superficie hiperbólica. Las variedades de volumen finito con esta geometría tienen la estructura de un espacio de fibras de Seifert si son orientables. (Si no son orientables, la fibración natural mediante círculos no es necesariamente una fibración de Seifert: el problema es que algunas fibras pueden "invertir la orientación"; en otras palabras, sus vecindades parecen botellas de Klein sólidas con fibras en lugar de toros sólidos. [2] ) La clasificación de tales variedades (orientadas) se da en el artículo sobre espacios de fibras de Seifert . Esta geometría se puede modelar como una métrica invariante por la izquierda en el grupo de Bianchi de tipo III . Bajo colectores de flujo de Ricci normalizados con esta geometría convergen en un colector bidimensional.
Se denota la cubierta universal de SL(2, R ) . Forma fibras sobre H 2 y el espacio a veces se denomina "H 2 × R retorcido". El grupo G tiene 2 componentes. Su componente de identidad tiene la estructura . El estabilizador puntual es O(2, R ).
Ejemplos de estas variedades incluyen: la variedad de vectores unitarios del haz tangente de una superficie hiperbólica y, más generalmente, las esferas de homología de Brieskorn (excepto las 3 esferas y el espacio dodecaédrico de Poincaré ). Esta geometría se puede modelar como una métrica invariante por la izquierda en el grupo de Bianchi de tipo VIII o III . Las variedades de volumen finito con esta geometría son orientables y tienen la estructura de un espacio de fibras de Seifert . La clasificación de tales variedades se da en el artículo sobre espacios de fibras de Seifert . Bajo colectores de flujo de Ricci normalizados con esta geometría convergen en un colector bidimensional.
Esta fibra se encuentra sobre E 2 , por lo que a veces se la conoce como "Twisted E 2 × R". Es la geometría del grupo de Heisenberg . El estabilizador puntual es O(2, R ). El grupo G tiene 2 componentes y es un producto semidirecto del grupo tridimensional de Heisenberg por el grupo O(2, R ) de isometrías de un círculo. Las variedades compactas con esta geometría incluyen el toro de mapeo de un giro de Dehn de un toro 2, o el cociente del grupo de Heisenberg por el "grupo integral de Heisenberg". Esta geometría se puede modelar como una métrica invariante por la izquierda en el grupo de Bianchi de tipo II . Las variedades de volumen finito con esta geometría son compactas y orientables y tienen la estructura de un espacio de fibras de Seifert . La clasificación de tales variedades se da en el artículo sobre espacios de fibras de Seifert . Bajo flujo de Ricci normalizado, los colectores compactos con esta geometría convergen a R 2 con la métrica plana.
Esta geometría (también llamada geometría Solv ) se fibra sobre la línea con la fibra del plano, y es la geometría del componente identidad del grupo G. El estabilizador puntual es el grupo diédrico de orden 8. El grupo G tiene 8 componentes y es el grupo de mapas del espacio bidimensional de Minkowski a sí mismo que son isometrías o multiplican la métrica por −1. El componente identidad tiene un subgrupo normal R 2 con cociente R , donde R actúa sobre R 2 con 2 espacios propios (reales), con valores propios reales distintos del producto 1. Este es el grupo de Bianchi de tipo VI 0 y la geometría se puede modelar como una métrica invariante por la izquierda en este grupo. Todos los colectores de volumen finito con geometría solv son compactos. Las variedades compactas con geometría solv son el toro de mapeo de un mapa de Anosov del toro 2 (tal mapa es un automorfismo del toro 2 dado por una matriz invertible de 2 por 2 cuyos valores propios son reales y distintos, como por ejemplo ) , o cocientes de estos por grupos de orden como máximo 8. Los valores propios del automorfismo del toro generan un orden de un campo cuadrático real, y las variedades solv se pueden clasificar en términos de las unidades y clases ideales de este orden. [3] Bajo colectores compactos de flujo de Ricci normalizados con esta geometría convergen (bastante lentamente) a R 1 .
Una 3 variedades cerradas tiene una estructura geométrica de como máximo uno de los 8 tipos anteriores, pero las 3 variedades no compactas de volumen finito ocasionalmente pueden tener más de un tipo de estructura geométrica. (Sin embargo, una variedad puede tener muchas estructuras geométricas diferentes del mismo tipo; por ejemplo, una superficie de género al menos 2 tiene un continuo de diferentes métricas hiperbólicas). Más precisamente, si M es una variedad con una estructura geométrica de volumen finito, entonces el tipo de estructura geométrica casi se determina de la siguiente manera, en términos del grupo fundamental π 1 ( M ):
Las variedades de volumen infinito pueden tener muchos tipos diferentes de estructura geométrica: por ejemplo, R 3 puede tener 6 de las diferentes estructuras geométricas enumeradas anteriormente, ya que 6 de las 8 geometrías del modelo son homeomórficas para él. Además si el volumen no tiene por qué ser finito existen infinidad de nuevas estructuras geométricas sin modelos compactos; por ejemplo, la geometría de casi cualquier grupo de Lie tridimensional no unimodular.
Puede haber más de una forma de descomponer una variedad 3 cerrada en piezas con estructuras geométricas. Por ejemplo:
Es posible elegir una descomposición "canónica" en piezas con estructura geométrica, por ejemplo, cortando primero la variedad en piezas principales de forma mínima y luego cortándolas utilizando el menor número posible de tori. Sin embargo esta descomposición mínima no es necesariamente la producida por el flujo de Ricci; de hecho, el flujo de Ricci puede dividir una variedad en piezas geométricas de muchas maneras no equivalentes, dependiendo de la elección de la métrica inicial.
La Medalla Fields fue otorgada a Thurston en 1982 en parte por su prueba de la conjetura de geometrización de las variedades de Haken .
En 1982, Richard S. Hamilton demostró que dada una variedad 3 cerrada con una métrica de curvatura de Ricci positiva , el flujo de Ricci colapsaría la variedad hasta un punto en un tiempo finito, lo que prueba la conjetura de geometrización para este caso a medida que la métrica se convierte en " casi redondo" justo antes del colapso. Posteriormente desarrolló un programa para demostrar con cirugía la conjetura de geometrización del flujo de Ricci . La idea es que el flujo de Ricci en general producirá singularidades, pero es posible que se pueda continuar el flujo de Ricci más allá de la singularidad mediante el uso de cirugía para cambiar la topología de la variedad. En términos generales, el flujo de Ricci contrae regiones de curvatura positiva y expande regiones de curvatura negativa, por lo que debería eliminar las piezas del colector con las geometrías de "curvatura positiva" S 3 y S 2 × R , mientras que lo que queda en tiempos grandes debería tener una descomposición gruesa-delgada en una pieza "gruesa" con geometría hiperbólica y una variedad de gráficos "delgada" .
En 2003, Grigori Perelman anunció una prueba de la conjetura de la geometrización al mostrar que el flujo de Ricci puede continuar más allá de las singularidades y tiene el comportamiento descrito anteriormente.
Un componente de la demostración de Perelman fue un novedoso teorema del colapso en la geometría de Riemann. Perelman no dio ningún detalle sobre la demostración de este resultado (Teorema 7.4 en la preimpresión 'Ricci flow with Surgery on three-manifolds'). Comenzando con Shioya y Yamaguchi, ahora existen varias demostraciones diferentes del teorema del colapso de Perelman, o variantes del mismo. [4] [5] [6] [7] La formulación de Shioya y Yamaguchi se utilizó en las primeras formulaciones completamente detalladas del trabajo de Perelman. [8]
Una segunda ruta hacia la última parte de la prueba de geometrización de Perelman es el método de Laurent Bessières y coautores, [9] [10] que utiliza el teorema de hiperbolización de Thurston para variedades de Haken y la norma de Gromov para variedades 3. [11] [12] La Sociedad Matemática Europea ha publicado un libro de los mismos autores con detalles completos de su versión de la prueba . [13]
En cuatro dimensiones, sólo una clase bastante restringida de 4 variedades cerradas admite una descomposición geométrica. [14] Sin embargo, todavía se pueden dar listas de geometrías de modelos máximas. [15]
Las geometrías del modelo máximo de cuatro dimensiones fueron clasificadas por Richard Filipkiewicz en 1983. Son dieciocho, más una familia infinita contable: [15] sus nombres habituales son E 4 , Nil 4 , Nil 3 × E 1 , Sol4
metros , norte(una familia contablemente infinita), Sol4
0, sol4
1, H 3 × E 1 , × E 1 , H 2 × E 2 , H 2 × H 2 , H 4 , H 2 ( C ) (un espacio hiperbólico complejo ), F 4 (el paquete tangente del plano hiperbólico), S 2 × E 2 , S 2 × H 2 , S 3 × E 1 , S 4 , CP 2 (el plano proyectivo complejo ) y S 2 × S 2 . [14] Ningún colector cerrado admite la geometría F 4 , pero sí hay colectores con descomposición adecuada que incluyen una pieza F 4 . [14]
Andrew Geng clasificó las geometrías del modelo máximo de cinco dimensiones en 2016. Hay 53 geometrías individuales y seis familias infinitas. Se producen algunos fenómenos nuevos que no se observan en dimensiones inferiores, incluidas dos incontables familias de geometrías y geometrías sin cocientes compactos. [1]
