Norma (matemáticas)

Longitud en un espacio vectorial

En matemáticas , una norma es una función de un espacio vectorial real o complejo a los números reales no negativos que se comporta de cierta manera como la distancia desde el origen : conmuta con escala, obedece a una forma de desigualdad triangular y es cero. sólo en el origen. En particular, la distancia euclidiana en un espacio euclidiano está definida por una norma en el espacio vectorial euclidiano asociado , llamada norma euclidiana, norma 2 o, a veces, magnitud del vector. Esta norma se puede definir como la raíz cuadrada del producto interno de un vector consigo mismo.

Una seminorma satisface las dos primeras propiedades de una norma, pero puede ser cero para vectores distintos del origen. ^[1] Un espacio vectorial con una norma especificada se llama espacio vectorial normado . De manera similar, un espacio vectorial con una seminorma se llama espacio vectorial seminorma .

El término pseudonorma se ha utilizado con varios significados relacionados. Puede ser sinónimo de "seminorma". ^[1] Una pseudonorma puede satisfacer los mismos axiomas que una norma, reemplazando la igualdad por una desigualdad " " en el axioma de homogeneidad. ^[2] También puede referirse a una norma que puede tomar infinitos valores, ^[3] o a ciertas funciones parametrizadas por un conjunto dirigido . ^[4] ${\displaystyle \,\leq \,}$

Definición

Dado un espacio vectorial sobre un subcampo de números complejos, una norma es una función de valor real con las siguientes propiedades, donde denota el valor absoluto habitual de un escalar : ^[5] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle |s|}$ ${\displaystyle s}$

1. Subaditividad / Desigualdad triangular : para todos ${\displaystyle p(x+y)\leq p(x)+p(y)}$ ${\displaystyle x,y\in X.}$
2. Homogeneidad absoluta : para todos y todos los escalares. ${\displaystyle p(sx)=|s|p(x)}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle s.}$
3. Definitividad positiva /positividad ^[6] /Separación de puntos : para todossientonces ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle p(x)=0}$ ${\displaystyle x=0.}$
   • Debido a que la propiedad (2.) implica que algunos autores reemplazan la propiedad (3.) con la condición equivalente: para todo si y solo si ${\displaystyle p(0)=0,}$ ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle p(x)=0}$ ${\displaystyle x=0.}$

Una seminorma es una función que tiene las propiedades (1.) y (2.) ^[7] de modo que, en particular, toda norma es también una seminorma (y por tanto también una funcional sublineal ). Sin embargo, existen seminormas que no son normas. Las propiedades (1.) y (2.) implican que si es una norma (o más generalmente, una seminorma) entonces y eso también tiene la siguiente propiedad: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p(0)=0}$ ${\displaystyle p}$

4. No negatividad : ^[6] para todos ${\displaystyle p(x)\geq 0}$ ${\displaystyle x\in X.}$

Algunos autores incluyen la no negatividad como parte de la definición de "norma", aunque esto no es necesario. Aunque este artículo definió " positivo " como sinónimo de "positivo definido", algunos autores definen " positivo " como sinónimo de "no negativo"; ^[8] estas definiciones no son equivalentes.

Normas equivalentes

Supongamos que y son dos normas (o seminormas) en un espacio vectorial. Entonces y se llaman equivalentes , si existen dos constantes reales positivas y con tales que para cada vector ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle c>0}$ ${\displaystyle x\in X,}$

$${\displaystyle cq(x)\leq p(x)\leq Cq(x).}$$

reflexivasimétricatransitivarelación de equivalencia^[9][9] ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle cq\leq p\leq Cq}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{C}}p\leq q\leq {\tfrac {1}{c}}p}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle X.}$

Notación

Si se da una norma en un espacio vectorial , entonces la norma de un vector generalmente se denota encerrándola entre líneas verticales dobles: esta notación también se usa a veces si es solo una seminorma. Para la longitud de un vector en el espacio euclidiano (que es un ejemplo de norma, como se explica más adelante), la notación con líneas verticales simples también está muy extendida. ${\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle z\in X}$ ${\displaystyle \|z\|=p(z).}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle |x|}$

Ejemplos

Todo espacio vectorial (real o complejo) admite una norma: si es una base de Hamel para un espacio vectorial , entonces el mapa de valor real que envía (donde están todos los escalares excepto un número finito ) es una norma en ^[10] Hay también una gran cantidad de normas que exhiben propiedades adicionales que las hacen útiles para problemas específicos. ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x=\sum _{i\in I}s_{i}x_{i}\in X}$ ${\displaystyle s_{i}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \sum _{i\in I}\left|s_{i}\right|}$ ${\displaystyle X.}$

Norma de valor absoluto

el valor absoluto

$${\displaystyle \|x\|=|x|}$$

unidimensionalrealescomplejos

Cualquier norma en un espacio vectorial unidimensional es equivalente (hasta la escala) a la norma de valor absoluto, lo que significa que existe un isomorfismo de espacios vectoriales que preserva la norma, donde es o y preserva la norma significa que Este isomorfismo viene dado enviando a un vector de norma que existe ya que dicho vector se obtiene multiplicando cualquier vector distinto de cero por el inverso de su norma. ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f:\mathbb {F} \to X,}$ ${\displaystyle \mathbb {F} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} ,}$ ${\displaystyle |x|=p(f(x)).}$ ${\displaystyle 1\in \mathbb {F} }$ ${\displaystyle 1,}$

Norma euclidiana

En el espacio euclidiano de dimensiones , la noción intuitiva de longitud del vector se captura mediante la fórmula ^[11] ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {x}}=\left(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\right)}$

$${\displaystyle \|{\boldsymbol {x}}\|_{2}:={\sqrt {x_{1}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}}}.}$$

Esta es la norma euclidiana , que da la distancia ordinaria desde el origen hasta el punto X , consecuencia del teorema de Pitágoras . Esta operación también puede denominarse "SRSS", que es un acrónimo de raíz cuadrada de la suma de cuadrados . ^[12]

La norma euclidiana es, con diferencia, la norma más utilizada en ^[11] , pero existen otras normas en este espacio vectorial, como se mostrará a continuación. Sin embargo, todas estas normas son equivalentes en el sentido de que todas definen la misma topología en espacios de dimensión finita. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$

El producto interno de dos vectores de un espacio vectorial euclidiano es el producto escalar de sus vectores de coordenadas sobre una base ortonormal . Por lo tanto, la norma euclidiana se puede escribir sin coordenadas como

$${\displaystyle \|{\boldsymbol {x}}\|:={\sqrt {{\boldsymbol {x}}\cdot {\boldsymbol {x}}}}.}$$

La norma euclidiana también se llama norma cuadrática , norma , ^[13] norma , norma 2 o norma cuadrada ; ver espacio . Define una función de distancia llamada longitud , distancia o distancia euclidiana . ${\displaystyle L^{2}}$ ${\displaystyle \ell ^{2}}$ ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle L^{2}}$ ${\displaystyle \ell ^{2}}$

El conjunto de vectores en cuya norma euclidiana es una constante positiva dada forma una -esfera . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1}}$ ${\displaystyle n}$

Norma euclidiana de números complejos

La norma euclidiana de un número complejo es el valor absoluto (también llamado módulo ) del mismo, si el plano complejo se identifica con el plano euclidiano. Esta identificación del número complejo como un vector en el plano euclidiano, hace que la cantidad (como primera sugerido por Euler) la norma euclidiana asociada con el número complejo. Para , la norma también se puede escribir como ¿ dónde está el conjugado complejo de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}.}$ ${\displaystyle x+iy}$ ${\textstyle {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}$ ${\displaystyle z=x+iy}$ ${\displaystyle {\sqrt {{\bar {z}}z}}}$ ${\displaystyle {\bar {z}}}$ ${\displaystyle z\,.}$

Cuaterniones y octoniones

Hay exactamente cuatro álgebras euclidianas de Hurwitz sobre los números reales . Estos son los números reales, los números complejos, los cuaterniones y, por último, los octoniones , donde están respectivamente las dimensiones de estos espacios sobre los números reales. Las normas canónicas sobre y son sus funciones de valor absoluto , como se discutió anteriormente. ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ,}$ ${\displaystyle \mathbb {H} ,}$ ${\displaystyle \mathbb {O} ,}$ ${\displaystyle 1,2,4,{\text{ and }}8,}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

La norma canónica de cuaterniones está definida por ${\displaystyle \mathbb {H} }$

$${\displaystyle \lVert q\rVert ={\sqrt {\,qq^{*}~}}={\sqrt {\,q^{*}q~}}={\sqrt {\,a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}~}}}$$

octoniones ${\displaystyle q=a+b\,\mathbf {i} +c\,\mathbf {j} +d\,\mathbf {k} }$ ${\displaystyle \mathbb {H} .}$ ${\displaystyle \mathbb {H} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}.}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{8}.}$

Espacios normados complejos de dimensión finita

En un espacio complejo de dimensiones , la norma más común es ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n},}$

$${\displaystyle \|{\boldsymbol {z}}\|:={\sqrt {\left|z_{1}\right|^{2}+\cdots +\left|z_{n}\right|^{2}}}={\sqrt {z_{1}{\bar {z}}_{1}+\cdots +z_{n}{\bar {z}}_{n}}}.}$$

En este caso, la norma se puede expresar como la raíz cuadrada del producto interno del vector por sí mismo:

$${\displaystyle \|{\boldsymbol {x}}\|:={\sqrt {{\boldsymbol {x}}^{H}~{\boldsymbol {x}}}},}$$

vector columnatranspuesta conjugada ${\displaystyle {\boldsymbol {x}}}$ ${\displaystyle {\begin{bmatrix}x_{1}\;x_{2}\;\dots \;x_{n}\end{bmatrix}}^{\rm {T}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {x}}^{H}}$

Esta fórmula es válida para cualquier espacio de producto interno , incluidos los espacios euclidianos y complejos. Para espacios complejos, el producto interno es equivalente al producto escalar complejo . Por lo tanto, la fórmula en este caso también se puede escribir usando la siguiente notación:

$${\displaystyle \|{\boldsymbol {x}}\|:={\sqrt {{\boldsymbol {x}}\cdot {\boldsymbol {x}}}}.}$$

Norma de taxi o norma de Manhattan

$${\displaystyle \|{\boldsymbol {x}}\|_{1}:=\sum _{i=1}^{n}\left|x_{i}\right|.}$$

cuadrícula de callesneoyorquino de Manhattan ${\displaystyle x.}$

El conjunto de vectores cuya norma 1 es una constante dada forma la superficie de un politopo cruzado , que tiene una dimensión igual a la dimensión del espacio vectorial menos 1. La norma Taxicab también se llama norma . La distancia derivada de esta norma se llama distancia o distancia de Manhattan . ${\displaystyle \ell ^{1}}$ ${\displaystyle \ell ^{1}}$

La norma 1 es simplemente la suma de los valores absolutos de las columnas.

A diferencia de,

$${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}x_{i}}$$

p -norma

Sea un número real. La norma (también llamada norma) del vector es ^[11] ${\displaystyle p\geq 1}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \ell ^{p}}$ ${\displaystyle \mathbf {x} =(x_{1},\ldots ,x_{n})}$

$${\displaystyle \|\mathbf {x} \|_{p}:=\left(\sum _{i=1}^{n}\left|x_{i}\right|^{p}\right)^{1/p}.}$$

norma infinita ${\displaystyle p=1,}$ ${\displaystyle p=2}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle p}$

$${\displaystyle \|\mathbf {x} \|_{\infty }:=\max _{i}\left|x_{i}\right|.}$$

media generalizada ${\displaystyle p}$

Porque la norma es incluso inducida por un producto interno canónico , lo que significa que para todos los vectores este producto interno se puede expresar en términos de la norma usando la identidad de polarización . En este producto interior está el ${\displaystyle p=2,}$ ${\displaystyle \|\,\cdot \,\|_{2}}$ ${\displaystyle \langle \,\cdot ,\,\cdot \rangle ,}$ ${\textstyle \|\mathbf {x} \|_{2}={\sqrt {\langle \mathbf {x} ,\mathbf {x} \rangle }}}$ ${\displaystyle \mathbf {x} .}$ ${\displaystyle \ell ^{2},}$Producto interno euclidiano definido por

$${\displaystyle \langle \left(x_{n}\right)_{n},\left(y_{n}\right)_{n}\rangle _{\ell ^{2}}~=~\sum _{n}{\overline {x_{n}}}y_{n}}$$

espacio de medidalas funciones integrables al cuadrado ${\displaystyle L^{2}(X,\mu )}$ ${\displaystyle (X,\Sigma ,\mu ),}$

$${\displaystyle \langle f,g\rangle _{L^{2}}=\int _{X}{\overline {f(x)}}g(x)\,\mathrm {d} x.}$$

Esta definición todavía es de cierto interés, pero la función resultante no define una norma, ^[14] porque viola la desigualdad del triángulo . Lo que es cierto para este caso, incluso en el análogo medible, es que la clase correspondiente es un espacio vectorial, y también es cierto que la función ${\displaystyle 0<p<1,}$ ${\displaystyle 0<p<1,}$ ${\displaystyle L^{p}}$

$${\displaystyle \int _{X}|f(x)-g(x)|^{p}~\mathrm {d} \mu }$$

espacio vectorial topológicoanálisis funcionalteoría de probabilidadanálisis armónico ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle L^{p}(X)}$

La derivada parcial de la norma está dada por ${\displaystyle p}$

$${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x_{k}}}\|\mathbf {x} \|_{p}={\frac {x_{k}\left|x_{k}\right|^{p-2}}{\|\mathbf {x} \|_{p}^{p-1}}}.}$$

La derivada con respecto a por lo tanto, es ${\displaystyle x,}$

$${\displaystyle {\frac {\partial \|\mathbf {x} \|_{p}}{\partial \mathbf {x} }}={\frac {\mathbf {x} \circ |\mathbf {x} |^{p-2}}{\|\mathbf {x} \|_{p}^{p-1}}}.}$$

el producto de Hadamard ${\displaystyle \circ }$ ${\displaystyle |\cdot |}$

Para el caso especial de esto se convierte ${\displaystyle p=2,}$

$${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x_{k}}}\|\mathbf {x} \|_{2}={\frac {x_{k}}{\|\mathbf {x} \|_{2}}},}$$

$${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial \mathbf {x} }}\|\mathbf {x} \|_{2}={\frac {\mathbf {x} }{\|\mathbf {x} \|_{2}}}.}$$

Norma máxima (caso especial de: norma infinita, norma uniforme o norma suprema)

${\displaystyle \|x\|_{\infty }=1}$

Si es algún vector tal que entonces: ${\displaystyle \mathbf {x} }$ ${\displaystyle \mathbf {x} =(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}),}$

$${\displaystyle \|\mathbf {x} \|_{\infty }:=\max \left(\left|x_{1}\right|,\ldots ,\left|x_{n}\right|\right).}$$

El conjunto de vectores cuya norma infinita es una constante dada, forma la superficie de un hipercubo con longitud de arista ${\displaystyle c,}$ ${\displaystyle 2c.}$

norma cero

En análisis funcional y de probabilidad, la norma cero induce una topología métrica completa para el espacio de funciones medibles y para el espacio F de secuencias con norma F ^[15] Aquí entendemos por norma F alguna función de valor real en una variable F -espacio con distancia tal que La norma F descrita anteriormente no es una norma en el sentido habitual porque carece de la propiedad de homogeneidad requerida. ${\textstyle (x_{n})\mapsto \sum _{n}{2^{-n}x_{n}/(1+x_{n})}.}$ ${\displaystyle \lVert \cdot \rVert }$ ${\displaystyle d,}$ ${\displaystyle \lVert x\rVert =d(x,0).}$

Distancia de Hamming de un vector desde cero

En geometría métrica , la métrica discreta toma el valor uno para puntos distintos y cero en caso contrario. Cuando se aplica en forma de coordenadas a los elementos de un espacio vectorial, la distancia discreta define la distancia de Hamming , que es importante en la codificación y la teoría de la información . En el ámbito de los números reales o complejos, la distancia de la métrica discreta al cero no es homogénea en el punto distinto de cero; de hecho, la distancia desde cero sigue siendo uno cuando su argumento distinto de cero se acerca a cero. Sin embargo, la distancia discreta de un número a cero satisface las otras propiedades de una norma, a saber, la desigualdad triangular y la precisión positiva. Cuando se aplica componente a vectores, la distancia discreta desde cero se comporta como una "norma" no homogénea, que cuenta el número de componentes distintos de cero en su argumento vectorial; De nuevo, esta "norma" no homogénea es discontinua.

En procesamiento de señales y estadística , David Donoho se refirió a la " norma " cero entre comillas. Siguiendo la notación de Donoho, la "norma" cero de es simplemente el número de coordenadas distintas de cero o la distancia de Hamming del vector desde cero. Cuando esta "norma" se localiza en un conjunto acotado, es el límite de -normas cuando se aproxima a 0. Por supuesto, la "norma" cero no es verdaderamente una norma, porque no es homogénea positiva . De hecho, ni siquiera es una norma F en el sentido descrito anteriormente, ya que es discontinua, conjunta y solidariamente, con respecto al argumento escalar en la multiplicación escalar-vectorial y con respecto a su argumento vectorial.Abusando de terminología , algunos ingenieros ^{[ ¿quién? ]} omite las comillas de Donoho y llama inapropiadamente norma a la función de número de ceros , haciéndose eco de la notación del espacio de Lebesgue de funciones medibles . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle L^{0}}$

Dimensiones infinitas

La generalización de las normas anteriores a un número infinito de componentes conduce a y espacios con normas. ${\displaystyle \ell ^{p}}$ ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle p\geq 1\,,}$

$${\displaystyle \|x\|_{p}={\bigg (}\sum _{i\in \mathbb {N} }\left|x_{i}\right|^{p}{\bigg )}^{1/p}{\text{ and }}\ \|f\|_{p,X}={\bigg (}\int _{X}|f(x)|^{p}~\mathrm {d} x{\bigg )}^{1/p}}$$

para secuencias y funciones de valores complejos respectivamente , que pueden generalizarse aún más (ver Medida de Haar ). Estas normas también son válidas en el límite como , dando una norma suprema , y ​​se llaman y ${\displaystyle X\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle p\rightarrow +\infty }$ ${\displaystyle \ell ^{\infty }}$ ${\displaystyle L^{\infty }\,.}$

Cualquier producto interno induce de forma natural la norma. ${\textstyle \|x\|:={\sqrt {\langle x,x\rangle }}.}$

Se pueden encontrar otros ejemplos de espacios vectoriales normados de dimensión infinita en el artículo sobre el espacio de Banach .

Generalmente, estas normas no dan las mismas topologías. Por ejemplo, un espacio de dimensión infinita proporciona una topología estrictamente más fina que un espacio de dimensión infinita cuando ${\displaystyle \ell ^{p}}$ ${\displaystyle \ell ^{q}}$ ${\displaystyle p<q\,.}$

Normas compuestas

Se pueden construir otras normas combinando lo anterior; Por ejemplo ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

$${\displaystyle \|x\|:=2\left|x_{1}\right|+{\sqrt {3\left|x_{2}\right|^{2}+\max(\left|x_{3}\right|,2\left|x_{4}\right|)^{2}}}}$$

${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}.}$

Para cualquier norma y cualquier transformación lineal inyectiva podemos definir una nueva norma de igual a ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle x,}$

$${\displaystyle \|Ax\|.}$$

paralelogramo ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$

En 3D, esto es similar pero diferente para la norma 1 ( octaedros ) y la norma máxima ( prismas con base de paralelogramo).

Hay ejemplos de normas que no están definidas por fórmulas "de entrada". Por ejemplo, la funcional de Minkowski de un cuerpo convexo centralmente simétrico en (centrado en cero) define una norma en (ver § Clasificación de seminormas: conjuntos absorbentes absolutamente convexos a continuación). ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Todas las fórmulas anteriores también producen normas sin modificaciones. ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$

También existen normas sobre espacios de matrices (con entradas reales o complejas), las llamadas normas matriciales .

En álgebra abstracta

Sea una extensión finita de un campo de grado inseparable y tenga cierre algebraico . Si las distintas incrustaciones de son entonces la norma teórica de Galois de un elemento es el valor . Como esa función es homogénea de grado , la norma teórica de Galois no es una norma en el sentido de este artículo. Sin embargo, la raíz -ésima de la norma (suponiendo que el concepto tenga sentido) es una norma. ^[dieciséis] ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle p^{\mu },}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle K.}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \left\{\sigma _{j}\right\}_{j},}$ ${\displaystyle \alpha \in E}$ ${\textstyle \left(\prod _{j}{\sigma _{k}(\alpha )}\right)^{p^{\mu }}.}$ ${\displaystyle [E:k]}$ ${\displaystyle [E:k]}$

Álgebras de composición

El concepto de norma en álgebras de composición no comparte las propiedades habituales de una norma ya que se permiten vectores nulos . Un álgebra de composición consta de un álgebra sobre un campo, una involución y una forma cuadrática llamada "norma". ${\displaystyle N(z)}$ ${\displaystyle (A,{}^{*},N)}$ ${\displaystyle A,}$ ${\displaystyle {}^{*},}$ ${\displaystyle N(z)=zz^{*}}$

El rasgo característico de las álgebras de composición es la propiedad de homomorfismo de : para el producto de dos elementos y del álgebra de composición, su norma satisface. En el caso de las álgebras de división y la norma del álgebra de composición es el cuadrado de la norma comentada anteriormente. En esos casos la norma es una forma cuadrática definida . En las álgebras divididas la norma es una forma cuadrática isotrópica . ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle wz}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle N(wz)=N(w)N(z).}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ,}$ ${\displaystyle \mathbb {H} ,}$ ${\displaystyle \mathbb {O} }$

Propiedades

Para cualquier norma en un espacio vectorial se cumple la desigualdad del triángulo inverso : ${\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle X,}$

$${\displaystyle p(x\pm y)\geq |p(x)-p(y)|{\text{ for all }}x,y\in X.}$$

transpuesta^[17] ${\displaystyle u:X\to Y}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle u}$

Para las normas , tenemos la desigualdad de Hölder ^[18] ${\displaystyle L^{p}}$

$${\displaystyle |\langle x,y\rangle |\leq \|x\|_{p}\|y\|_{q}\qquad {\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}=1.}$$

desigualdad de Cauchy-Schwarz^[18]

$${\displaystyle \left|\langle x,y\rangle \right|\leq \|x\|_{2}\|y\|_{2}.}$$

Ilustraciones de círculos unitarios en diferentes normas.

Toda norma es una seminorma y por tanto satisface todas las propiedades de esta última . A su vez, toda seminorma es una función sublineal y, por tanto, satisface todas las propiedades de esta última . En particular, toda norma es una función convexa .

Equivalencia

El concepto de círculo unitario (el conjunto de todos los vectores de la norma 1) es diferente en diferentes normas: para la norma 1, el círculo unitario es un cuadrado orientado como un diamante; para la norma 2 (norma euclidiana), es el conocido círculo unitario ; mientras que para la norma infinita, es un cuadrado alineado con su eje. Para cualquier norma, es una superelipse con ejes congruentes (consulte la ilustración adjunta). Debido a la definición de la norma, el círculo unitario debe ser convexo y centralmente simétrico (por lo tanto, por ejemplo, la bola unitaria puede ser un rectángulo pero no un triángulo, y para una norma -). ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p\geq 1}$ ${\displaystyle p}$

En términos del espacio vectorial, la seminorma define una topología en el espacio, y esta es una topología de Hausdorff precisamente cuando la seminorma puede distinguir entre distintos vectores, lo que nuevamente equivale a que la seminorma sea una norma. La topología así definida (ya sea por una norma o una seminorma) puede entenderse en términos de secuencias o conjuntos abiertos. Se dice que una secuencia de vectores converge normalmente si como Equivalentemente, la topología consta de todos los conjuntos que pueden representarse como una unión de bolas abiertas . Si es un espacio normado entonces ^[19] ${\displaystyle \{v_{n}\}}$ ${\displaystyle v,}$ ${\displaystyle \left\|v_{n}-v\right\|\to 0}$ ${\displaystyle n\to \infty .}$ ${\displaystyle (X,\|\cdot \|)}$ ${\displaystyle \|x-y\|=\|x-z\|+\|z-y\|{\text{ for all }}x,y\in X{\text{ and }}z\in [x,y].}$

Dos normas y en un espacio vectorial se llaman ${\displaystyle \|\cdot \|_{\alpha }}$ ${\displaystyle \|\cdot \|_{\beta }}$ ${\displaystyle X}$equivalente si inducen la misma topología,^[9]lo que sucede si y sólo si existen números reales positivosytales que para todos ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle x\in X}$

$${\displaystyle C\|x\|_{\alpha }\leq \|x\|_{\beta }\leq D\|x\|_{\alpha }.}$$

^[20] ${\displaystyle p>r\geq 1}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n},}$

$${\displaystyle \|x\|_{p}\leq \|x\|_{r}\leq n^{(1/r-1/p)}\|x\|_{p}.}$$

En particular,

$${\displaystyle \|x\|_{2}\leq \|x\|_{1}\leq {\sqrt {n}}\|x\|_{2}}$$

$${\displaystyle \|x\|_{\infty }\leq \|x\|_{2}\leq {\sqrt {n}}\|x\|_{\infty }}$$

$${\displaystyle \|x\|_{\infty }\leq \|x\|_{1}\leq n\|x\|_{\infty },}$$

$${\displaystyle \|x\|_{\infty }\leq \|x\|_{2}\leq \|x\|_{1}\leq {\sqrt {n}}\|x\|_{2}\leq n\|x\|_{\infty }.}$$

Las normas equivalentes definen las mismas nociones de continuidad y convergencia y, para muchos propósitos, no es necesario distinguirlas. Para ser más precisos, la estructura uniforme definida por normas equivalentes en el espacio vectorial es uniformemente isomorfa .

Clasificación de seminormas: conjuntos absorbentes absolutamente convexos.

Todas las seminormas en un espacio vectorial se pueden clasificar en términos de subconjuntos absorbentes absolutamente convexos de A cada subconjunto le corresponde una seminorma llamada calibre de definida como ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle p_{A}}$ ${\displaystyle A,}$

$${\displaystyle p_{A}(x):=\inf\{r\in \mathbb {R} :r>0,x\in rA\}}$$

mínimo ${\displaystyle \inf _{}}$

$${\displaystyle \left\{x\in X:p_{A}(x)<1\right\}~\subseteq ~A~\subseteq ~\left\{x\in X:p_{A}(x)\leq 1\right\}.}$$

Cualquier espacio vectorial topológico localmente convexo tiene una base local que consta de conjuntos absolutamente convexos. Un método común para construir dicha base es utilizar una familia de seminormas que separan puntos : la colección de todas las intersecciones finitas de conjuntos convierte el espacio en un espacio vectorial topológico localmente convexo de modo que cada p es continuo . ${\displaystyle (p)}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \{p<1/n\}}$

Este método se utiliza para diseñar topologías débiles y débiles* .

caso normal:

Supongamos ahora que contiene un único puesto que se separa , es una norma y su unidad abierta es la bola . Entonces es una vecindad acotada absolutamente convexa de 0 y es continua. ${\displaystyle (p)}$ ${\displaystyle p:}$ ${\displaystyle (p)}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle A=\{p<1\}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle p=p_{A}}$

Lo contrario se debe a Andrey Kolmogorov : cualquier espacio vectorial topológico localmente convexo y localmente acotado es normal . Precisamente:

Si es una vecindad acotada absolutamente convexa de 0, el calibre (por lo que es una norma. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle g_{X}}$ ${\displaystyle X=\{g_{X}<1\}}$

Ver también

• Norma asimétrica  – Generalización del concepto de norma
• F-seminorm  : un espacio vectorial topológico cuya topología se puede definir mediante una métricaPages displaying short descriptions of redirect targets
• norma de gowers
• Norma Kadec  : todos los espacios de Banach separables y de dimensión infinita son homeomórficosPages displaying short descriptions of redirect targets
• Análisis espectral de mínimos cuadrados  : método de cálculo de la periodicidad
• Distancia de Mahalanobis  - Medida estadística de distancia
• Magnitud (matemáticas)  : propiedad que determina la comparación y el orden
• Norma matricial  : norma en un espacio vectorial de matrices
• Distancia de Minkowski  : métrica matemática en el espacio vectorial normado
• Funcional de Minkowski  – Función hecha a partir de un conjunto
• Norma del operador  – Medida del "tamaño" de los operadores lineales
• Paranorm  : un espacio vectorial topológico cuya topología se puede definir mediante una métrica.Pages displaying short descriptions of redirect targets
• Relación de normas y métricas  – Espacio matemático con noción de distanciaPages displaying short descriptions of redirect targets
• Seminorma  : función de valor real no negativo en un espacio vectorial real o complejo que satisface la desigualdad del triángulo y es absolutamente homogéneaPages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Función sublineal  - Tipo de función en álgebra lineal

Referencias

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