En topología y campos relacionados de las matemáticas , existen varias restricciones que a menudo se imponen sobre los tipos de espacios topológicos que se desean considerar. Algunas de estas restricciones vienen dadas por los axiomas de separación . A veces se les llama axiomas de separación de Tychonoff , en honor a Andrey Tychonoff .
Los axiomas de separación no son axiomas fundamentales como los de la teoría de conjuntos , sino más bien propiedades definitorias que pueden especificarse para distinguir ciertos tipos de espacios topológicos. Los axiomas de separación se indican con la letra "T" después del trennungsaxioma alemán ("axioma de separación"), y los subíndices numéricos crecientes denotan propiedades cada vez más fuertes.
Las definiciones precisas de los axiomas de separación han variado con el tiempo . Especialmente en la literatura más antigua, diferentes autores pueden tener definiciones diferentes de cada condición.
Antes de definir los axiomas de separación en sí, le damos un significado concreto al concepto de conjuntos (y puntos) separados en espacios topológicos . (Los conjuntos separados no son lo mismo que los espacios separados , definidos en la siguiente sección).
Los axiomas de separación tratan sobre el uso de medios topológicos para distinguir conjuntos disjuntos y puntos distintos . No basta con que los elementos de un espacio topológico sean distintos (es decir, desiguales ); es posible que queramos que sean topológicamente distinguibles . De manera similar, no es suficiente que los subconjuntos de un espacio topológico sean disjuntos; es posible que queramos que se separen (de varias maneras). Todos los axiomas de separación dicen, de una forma u otra, que los puntos o conjuntos que son distinguibles o separados en algún sentido débil también deben ser distinguibles o separados en algún sentido más fuerte.
Sea X un espacio topológico. Entonces dos puntos xey en X son topológicamente distinguibles si no tienen exactamente las mismas vecindades (o equivalentemente las mismas vecindades abiertas); es decir, al menos uno de ellos tiene una vecindad que no es vecindad del otro (o equivalentemente hay un conjunto abierto al que pertenece un punto pero no el otro). Es decir, al menos uno de los puntos no pertenece al cierre del otro .
Dos puntos x e y están separados si cada uno de ellos tiene una vecindad que no es vecindad del otro; es decir, ninguno pertenece al cierre del otro . De manera más general, dos subconjuntos A y B de X están separados si cada uno es disjunto del cierre del otro, aunque los cierres en sí no tienen por qué ser disjuntos. De manera equivalente, cada subconjunto se incluye en un conjunto abierto disjunto del otro subconjunto. Todas las condiciones restantes para la separación de conjuntos también se pueden aplicar a puntos (o a un punto y un conjunto) mediante el uso de conjuntos singleton. Los puntos x e y se considerarán separados, por vecindades, por vecindades cerradas, por una función continua, precisamente por una función, si y sólo si sus conjuntos singleton { x } y { y } están separados según el criterio correspondiente.
Los subconjuntos A y B están separados por barrios si tienen barrios separados. Están separados por barrios cerrados si tienen barrios cerrados separados. Están separados por una función continua si existe una función continua f desde el espacio X hasta la recta real R tal que A es un subconjunto de la preimagen f −1 ({0}) y B es un subconjunto de la preimagen f − 1 ({1}). Finalmente, están separados con precisión por una función continua si existe una función continua f de X a R tal que A es igual a la preimagen f −1 ({0}) y B es igual a f −1 ({1}).
Estas condiciones se dan en orden de fuerza creciente: dos puntos cualesquiera topológicamente distinguibles deben ser distintos, y dos puntos cualesquiera separados deben ser topológicamente distinguibles. Dos conjuntos cualesquiera separados deben ser disjuntos, dos conjuntos cualesquiera separados por vecindades deben estar separados, y así sucesivamente.
Todas estas definiciones utilizan esencialmente las definiciones preliminares anteriores.
Muchos de estos nombres tienen significados alternativos en parte de la literatura matemática ; por ejemplo, los significados de "normal" y "T 4 " a veces se intercambian, de manera similar "regular" y "T 3 ", etc. Muchos de los conceptos también tienen varios nombres; sin embargo, el que aparece primero siempre tiene menos probabilidades de ser ambiguo.
La mayoría de estos axiomas tienen definiciones alternativas con el mismo significado; Las definiciones dadas aquí caen en un patrón consistente que relaciona las diversas nociones de separación definidas en la sección anterior. Otras posibles definiciones se pueden encontrar en los artículos individuales.
En todas las definiciones siguientes, X es nuevamente un espacio topológico .
La siguiente tabla resume los axiomas de separación así como las implicaciones entre ellos: las celdas que se fusionan representan propiedades equivalentes, cada axioma implica las de las celdas de su izquierda, y si asumimos el axioma T 1 , entonces cada axioma también implica el los de las celdas superiores (por ejemplo, todos los espacios T 1 normales también son completamente regulares).
El axioma T 0 es especial porque no sólo puede sumarse a una propiedad (de modo que completamente regular más T 0 es Tychonoff) sino también restarse de una propiedad (de modo que Hausdorff menos T 0 es R 1 ), de una manera bastante sentido preciso; consulte el cociente de Kolmogorov para obtener más información. Cuando se aplica a los axiomas de separación, esto conduce a las relaciones en la tabla a continuación a la izquierda. En esta tabla, se va del lado derecho al lado izquierdo sumando el requisito de T 0 , y se va del lado izquierdo al lado derecho eliminando ese requisito, utilizando la operación del cociente de Kolmogorov. (Los nombres entre paréntesis que figuran en el lado izquierdo de esta tabla son generalmente ambiguos o al menos menos conocidos; pero se utilizan en el diagrama siguiente).
Además de la inclusión o exclusión de T 0 , las relaciones entre los axiomas de separación se indican en el diagrama de la derecha. En este diagrama, la versión no T 0 de una condición está en el lado izquierdo de la barra y la versión T 0 está en el lado derecho. Las letras se utilizan para abreviaturas de la siguiente manera: "P" = "perfectamente", "C" = "completamente", "N" = "normal" y "R" (sin subíndice) = "regular". Una viñeta indica que no hay ningún nombre especial para un espacio en ese lugar. El guión en la parte inferior indica que no hay condición.
Se pueden combinar dos propiedades usando este diagrama siguiendo el diagrama hacia arriba hasta que ambas ramas se encuentren. Por ejemplo, si un espacio es completamente normal ("CN") y completamente Hausdorff ("CT 2 "), entonces, siguiendo ambas ramas hacia arriba, se encuentra el punto "•/T 5 ". Dado que los espacios completamente Hausdorff son T 0 (aunque los espacios completamente normales pueden no serlo), se toma el lado T 0 de la barra, por lo que un espacio completamente normal y completamente Hausdorff es lo mismo que un espacio T 5 (conocido de manera menos ambigua como completamente espacio normal de Hausdorff, como se puede ver en la tabla superior).
Como se puede ver en el diagrama, normal y R 0 juntos implican una serie de otras propiedades, ya que la combinación de las dos propiedades conduce a través de muchos nodos en la rama del lado derecho. Dado que la regularidad es la más conocida de ellas, los espacios que son a la vez normales y R 0 suelen denominarse "espacios regulares normales". De manera algo similar, las personas que desean evitar la notación ambigua "T" suelen denominar espacios que son tanto normales como T 1 "espacios normales de Hausdorff". Estas convenciones se pueden generalizar a otros espacios regulares y espacios de Hausdorff.
[NB: Este diagrama no refleja que los espacios perfectamente normales sean siempre regulares; los editores están trabajando en esto ahora.]
Hay algunas otras condiciones en los espacios topológicos que a veces se clasifican con los axiomas de separación, pero no encajan tan completamente con los axiomas de separación habituales. Aparte de sus definiciones, no se analizan aquí; ver sus artículos individuales.