En topología , una disciplina dentro de las matemáticas, un espacio de Urysohn , o espacio T 2½ , es un espacio topológico en el que dos puntos distintos pueden estar separados por vecindades cerradas . Un espacio completamente de Hausdorff , o funcionalmente un espacio de Hausdorff , es un espacio topológico en el que dos puntos distintos pueden estar separados por una función continua . Estas condiciones son axiomas de separación que son algo más fuertes que el más familiar axioma T 2 de Hausdorff .
Supongamos que X es un espacio topológico . Sean x e y puntos en X .
Un espacio de Urysohn , también llamado espacio T 2½ , es un espacio en el que dos puntos distintos cualesquiera pueden estar separados por vecindades cerradas.
Un espacio completamente de Hausdorff , o funcionalmente un espacio de Hausdorff , es un espacio en el que dos puntos distintos pueden estar separados por una función continua.
El estudio de los axiomas de separación es conocido por los conflictos con las convenciones de nomenclatura utilizadas. Las definiciones utilizadas en este artículo son las dadas por Willard (1970) y son las definiciones más modernas. Steen y Seebach (1970) y varios otros autores invierten la definición de espacios completamente de Hausdorff y espacios de Urysohn. Los lectores de libros de texto sobre topología deben asegurarse de comprobar las definiciones utilizadas por el autor. Consulte Historia de los axiomas de separación para obtener más información sobre este tema.
Dos puntos cualesquiera que puedan estar separados por una función pueden estar separados por vecindades cerradas. Si pueden separarse mediante barrios cerrados, entonces claramente pueden separarse por barrios. De ello se deduce que todo espacio completamente de Hausdorff es Urysohn y todo espacio de Urysohn es Hausdorff .
También se puede demostrar que todo espacio regular de Hausdorff es Urysohn y cada espacio de Tychonoff (= espacio de Hausdorff completamente regular) es completamente Hausdorff. En resumen tenemos las siguientes implicaciones:
Se pueden encontrar contraejemplos que muestran que ninguna de estas implicaciones se invierte. [1]
La topología de extensión contable es la topología sobre la línea real generada por la unión de la topología euclidiana habitual y la topología contable . Los conjuntos son abiertos en esta topología si y sólo si son de la forma U \ A donde U es abierto en la topología euclidiana y A es contable . Este espacio es completamente Hausdorff y Urysohn, pero no regular (y por tanto no es Tychonoff).
Existen espacios que son Hausdorff pero no Urysohn, y espacios que son Urysohn pero no completamente Hausdorff o Hausdorff regular. Los ejemplos no son triviales; para más detalles, consulte Steen y Seebach.