En topología y campos relacionados de las matemáticas , un espacio topológico X se llama espacio regular si cada subconjunto cerrado C de X y un punto p no contenido en C admiten vecindades abiertas no superpuestas . [1] Por lo tanto, p y C pueden separarse por vecindades. Esta condición se conoce como Axioma T 3 . El término " espacio T 3 " generalmente significa "un espacio regular de Hausdorff ". Estas condiciones son ejemplos de axiomas de separación .
Un espacio topológico X es un espacio regular si, dado cualquier conjunto cerrado F y cualquier punto x que no pertenezca a F , existe una vecindad U de x y una vecindad V de F que son disjuntas . En pocas palabras, debe ser posible separar x y F con vecindades disjuntas.
AT 3 espacio oEl espacio regular de Hausdorff es un espacio topológico que es a la vez regular y unespacio de Hausdorff. (Un espacio de Hausdorff o espacio T2es un espacio topológico en el que dos puntos distintos cualesquiera están separados por vecindades.) Resulta que un espacio es T3si y sólo si es regular y T0. (AT0oespacio de Kolmogoroves un espacio topológico en el que dos puntos distintos sontopológicamente distinguibles, es decir, para cada par de puntos distintos, al menos uno de ellos tiene unavecindad abiertaque no contiene al otro.) De hecho, si un espacio es Hausdorff entonces es T0, y cada espacio regular T0es Hausdorff: dados dos puntos distintos, al menos uno de ellos no alcanza el cierre del otro, por lo que (por regularidad) existen vecindades disjuntas que separan un punto de (el cierre del otro.
Aunque las definiciones presentadas aquí para "regular" y "T 3 " no son infrecuentes, existe una variación significativa en la literatura: algunos autores cambian las definiciones de "regular" y "T 3 " tal como se usan aquí, o usan ambos términos. indistintamente. Este artículo utiliza el término "regular" libremente, pero normalmente dirá "Hausdorff normal", que es inequívoco, en lugar del menos preciso "T 3 ". Para más información sobre este tema, véase Historia de los axiomas de separación .
AEl espacio localmente regular es un espacio topológico donde cada punto tiene una vecindad abierta que es regular. Todo espacio regular es localmente regular, pero lo contrario no es cierto. Un ejemplo clásico de un espacio localmente regular que no lo es es lalínea de ojos saltones.
Un espacio regular es necesariamente también preregular , es decir, dos puntos cualesquiera topológicamente distinguibles pueden estar separados por vecindades. Dado que un espacio de Hausdorff es lo mismo que un espacio T 0 preregular , un espacio regular que también es T 0 debe ser Hausdorff (y por tanto T 3 ). De hecho, un espacio regular de Hausdorff satisface la condición ligeramente más fuerte T 2½ . (Sin embargo, dicho espacio no tiene por qué ser completamente Hausdorff ). Por lo tanto, la definición de T 3 puede citar T 0 , T 1 o T 2½ en lugar de T 2 (Hausdorffness); todos son equivalentes en el contexto de espacios regulares.
Hablando más teóricamente, las condiciones de regularidad y T 3 están relacionadas mediante cocientes de Kolmogorov . Un espacio es regular si y sólo si su cociente de Kolmogorov es T 3 ; y, como se mencionó, un espacio es T 3 si y solo si es regular y T 0 . Por lo tanto, normalmente se puede suponer que un espacio regular encontrado en la práctica es T 3 , reemplazando el espacio con su cociente de Kolmogorov.
Hay muchos resultados para espacios topológicos que son válidos tanto para espacios regulares como para espacios de Hausdorff. La mayoría de las veces, estos resultados son válidos para todos los espacios preregulares; se enumeraron por separado para los espacios regulares y de Hausdorff porque la idea de los espacios preregulares surgió más tarde. Por otro lado, los resultados que realmente tienen que ver con la regularidad generalmente no se aplican también a los espacios de Hausdorff no regulares.
Hay muchas situaciones en las que otra condición de los espacios topológicos (como normalidad , pseudonormalidad , paracompacidad o compacidad local ) implicará regularidad si se satisface algún axioma de separación más débil, como la preregularidad. [2] Estas condiciones suelen presentarse en dos versiones: una versión normal y una versión de Hausdorff. Aunque los espacios de Hausdorff generalmente no son regulares, un espacio de Hausdorff que también sea (digamos) localmente compacto será regular, porque cualquier espacio de Hausdorff es preregular. Por lo tanto, desde cierto punto de vista, la regularidad no es realmente el problema aquí y podríamos imponer una condición más débil para obtener el mismo resultado. Sin embargo, las definiciones todavía suelen formularse en términos de regularidad, ya que esta condición es más conocida que cualquier otra más débil.
La mayoría de los espacios topológicos estudiados en el análisis matemático son regulares; de hecho, suelen ser completamente regulares , lo cual es una condición más fuerte. Los espacios regulares también deben contrastarse con los espacios normales .
Un espacio de dimensión cero con respecto a la pequeña dimensión inductiva tiene una base que consta de conjuntos abiertos . Cada uno de esos espacios es regular.
Como se describió anteriormente, cualquier espacio completamente regular es regular, y cualquier espacio T 0 que no sea Hausdorff (y por tanto no preregular) no puede ser regular. La mayoría de los ejemplos de espacios regulares y no regulares estudiados en matemáticas se pueden encontrar en esos dos artículos. Por otro lado, los espacios que son regulares pero no completamente regulares, o preregulares pero no regulares, generalmente se construyen sólo para proporcionar contraejemplos a conjeturas, mostrando los límites de posibles teoremas . Por supuesto, uno puede encontrar fácilmente espacios regulares que no son T 0 y, por lo tanto, no son de Hausdorff, como un espacio indiscreto , pero estos ejemplos proporcionan más información sobre el axioma T 0 que sobre la regularidad. Un ejemplo de espacio regular que no lo es del todo regular es el sacacorchos de Tychonoff.
Los espacios más interesantes en matemáticas que son regulares también satisfacen alguna condición más fuerte. Por lo tanto, los espacios regulares generalmente se estudian para encontrar propiedades y teoremas, como los que se muestran a continuación, que en realidad se aplican a espacios completamente regulares, generalmente en el análisis.
Existen espacios de Hausdorff que no son regulares. Un ejemplo es el conjunto R con la topología generada por conjuntos de la forma U — C , donde U es un conjunto abierto en el sentido habitual y C es un subconjunto fijo no cerrado de R con interior vacío.
Supongamos que X es un espacio regular. Entonces, dado cualquier punto x y vecindad G de x , existe una vecindad cerrada E de x que es un subconjunto de G. En términos más elegantes, las vecindades cerradas de x forman una base local en x . De hecho, esta propiedad caracteriza a los espacios regulares; Si las vecindades cerradas de cada punto en un espacio topológico forman una base local en ese punto, entonces el espacio debe ser regular.
Tomando los interiores de estos barrios cerrados, vemos que los conjuntos abiertos regulares forman una base para los conjuntos abiertos del espacio regular X. Esta propiedad es en realidad más débil que la regularidad; un espacio topológico cuyos conjuntos abiertos regulares forman una base es semirregular .