Espacio Tychonoff

Tipo de espacio regular de Hausdorff

En topología y ramas relacionadas de las matemáticas , los espacios de Tychonoff y los espacios completamente regulares son tipos de espacios topológicos . Estas condiciones son ejemplos de axiomas de separación . Un espacio de Tychonoff es cualquier espacio completamente regular que también es un espacio de Hausdorff ; existen espacios completamente regulares que no son Tychonoff (es decir, no Hausdorff).

Paul Urysohn había utilizado la noción de espacio completamente regular en un artículo de 1925 ^[1] sin darle nombre. Pero fue Andrey Tychonoff quien introdujo la terminología completamente regular en 1930. ^[2]

Definiciones

Separación de un punto de un conjunto cerrado mediante una función continua.

Un espacio topológico se llama completamente regular si los puntos se pueden separar de conjuntos cerrados mediante funciones continuas de valor real (acotadas). En términos técnicos, esto significa: para cualquier conjunto cerrado y cualquier punto existe una función continua de valor real tal que y (de manera equivalente, se pueden elegir dos valores cualesquiera en lugar de e incluso exigir que sea una función acotada). ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A\subseteq X}$ ${\displaystyle x\in X\setminus A,}$ ${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f(x)=1}$ ${\displaystyle f\vert _{A}=0.}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle f}$

Un espacio topológico se llama espacio de Tychonoff (alternativamente: espacio T _3½ , o espacio T _π , o espacio completamente T ₃ ) si es un espacio de Hausdorff completamente regular .

Observación. Los espacios completamente regulares y los espacios de Tychonoff se relacionan mediante la noción de equivalencia de Kolmogorov . Un espacio topológico es Tychonoff si y sólo si es completamente regular y T 0 . Por otro lado, un espacio es completamente regular si y sólo si su cociente de Kolmogorov es Tychonoff.

Convenciones de nombres

En toda la literatura matemática se aplican diferentes convenciones cuando se trata del término "completamente regular" y los axiomas "T". Las definiciones de esta sección se encuentran en el uso típico moderno. Algunos autores, sin embargo, cambian los significados de los dos tipos de términos o utilizan todos los términos indistintamente. En Wikipedia, los términos "completamente regular" y "Tychonoff" se utilizan libremente y generalmente se evita la notación "T". Por lo tanto, en la literatura estándar se recomienda precaución para descubrir qué definiciones está utilizando el autor. Para más información sobre este tema, véase Historia de los axiomas de separación .

Ejemplos

Casi todos los espacios topológicos estudiados en el análisis matemático son Tychonoff, o al menos completamente regulares. Por ejemplo, la línea real es Tychonoff bajo la topología euclidiana estándar . Otros ejemplos incluyen:

• Todo espacio métrico es Tychonoff; todo espacio pseudométrico es completamente regular.
• Todo espacio regular localmente compacto es completamente regular y, por tanto, todo espacio de Hausdorff localmente compacto es Tychonoff.
• En particular, toda variedad topológica es Tychonoff.
• Todo conjunto totalmente ordenado con topología de orden es Tychonoff.
• Todo grupo topológico es completamente regular.
• Todo espacio pseudometrizable es completamente regular, pero no Tychonoff si el espacio no es Hausdorff.
• Todo espacio seminormado es completamente regular (tanto porque es pseudometrizable como porque es un espacio vectorial topológico , por tanto, un grupo topológico). Pero no será Tychonoff si la seminorma no es una norma.
• Generalizando tanto los espacios métricos como los grupos topológicos, todo espacio uniforme es completamente regular. Lo contrario también es cierto: todo espacio completamente regular es uniformizable.
• Todo complejo CW es Tychonoff.
• Todo espacio regular normal es completamente regular y todo espacio normal de Hausdorff es Tychonoff.
• El plano de Niemytzki es un ejemplo de un espacio de Tychonoff que no es normal .

Hay espacios regulares de Hausdorff que no son completamente regulares, pero estos ejemplos son complicados de construir. Uno de ellos es el llamado sacacorchos de Tychonoff , ^{[3] [4]} que contiene dos puntos tales que cualquier función continua de valor real en el espacio tiene el mismo valor en estos dos puntos. Una construcción aún más complicada comienza con el sacacorchos de Tychonoff y construye un espacio regular de Hausdorff llamado sacacorchos condensado de Hewitt , ^{[5] [6]} que no es completamente regular en un sentido más fuerte, es decir, cada función continua de valor real en el espacio es constante. .

Propiedades

Preservación

La regularidad completa y la propiedad Tychonoff se comportan bien con respecto a las topologías iniciales . Específicamente, la regularidad completa se preserva al tomar topologías iniciales arbitrarias y la propiedad Tychonoff se preserva al tomar topologías iniciales con separación de puntos. Resulta que:

• Cada subespacio de un espacio completamente regular o de Tychonoff tiene la misma propiedad.
• Un espacio de producto no vacío es completamente regular (respectivamente Tychonoff) si y sólo si cada espacio de factor es completamente regular (respectivamente Tychonoff).

Como todos los axiomas de separación, la regularidad completa no se conserva tomando topologías finales . En particular, los cocientes de espacios completamente regulares no necesitan ser regulares . Los cocientes de los espacios de Tychonoff ni siquiera necesitan ser Hausdorff , siendo un contraejemplo elemental la recta con dos orígenes . Hay cocientes cerrados del plano de Moore que proporcionan contraejemplos.

Funciones continuas de valor real

Para cualquier espacio topológico, denotemos la familia de funciones continuas de valor real y sea el subconjunto de funciones continuas de valor real acotadas . ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle C(X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C_{b}(X)}$

Los espacios completamente regulares se pueden caracterizar por el hecho de que su topología está completamente determinada por o En particular: ${\displaystyle C(X)}$ ${\displaystyle C_{b}(X).}$

• Un espacio es completamente regular si y sólo si tiene la topología inicial inducida por o ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C(X)}$ ${\displaystyle C_{b}(X).}$
• Un espacio es completamente regular si y sólo si cada conjunto cerrado puede escribirse como la intersección de una familia de conjuntos de ceros en (es decir, los conjuntos de ceros forman una base para los conjuntos cerrados de ). ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$
• Un espacio es completamente regular si y sólo si los conjuntos cocero de forman una base para la topología de ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$

Dado un espacio topológico arbitrario, existe una forma universal de asociar un espacio completamente regular con Sea ρ la topología inicial inducida por o, equivalentemente, la topología generada por la base de conjuntos cocero en Entonces ρ será la topología completamente regular más fina de que es más burdo que Esta construcción es universal en el sentido de que cualquier función continua ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle (X,\tau ).}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C_{\tau }(X)}$ ${\displaystyle (X,\tau ).}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \tau .}$

$${\displaystyle f:(X,\tau )\to Y}$$

la teoría de categoríasfunctordeja juntoCRegArribaCRegsubcategoría reflexivaTopcategoría de espacios topológicoslos cocientes de Kolmogorov ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle (X,\rho ).}$ ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle (X,\rho )}$

Se puede demostrar que en la construcción anterior los anillos y normalmente solo se estudian para espacios completamente regulares. ${\displaystyle C_{\tau }(X)=C_{\rho }(X)}$ ${\displaystyle C(X)}$ ${\displaystyle C_{b}(X)}$ ${\displaystyle X.}$

La categoría de espacios de Tychonoff reales compactos es antiequivalente a la categoría de los anillos (donde es real compacto) junto con los homomorfismos de anillos como mapas. Por ejemplo, se puede reconstruir desde cuándo es compacto (real). Por tanto, la teoría algebraica de estos anillos es objeto de intensos estudios. Una amplia generalización de esta clase de anillos que todavía se parece a muchas propiedades de los espacios de Tychonoff, pero que también es aplicable en geometría algebraica real , es la clase de anillos cerrados reales . ${\displaystyle C(X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C(X)}$ ${\displaystyle X}$

Incrustaciones

Los espacios de Tychonoff son precisamente aquellos espacios que pueden encajarse en espacios compactos de Hausdorff . Más precisamente, para cada espacio de Tychonoff existe un espacio compacto de Hausdorff que es homeomorfo a un subespacio de ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle K.}$

De hecho, siempre se puede elegir ser un cubo de Tychonoff (es decir, un producto posiblemente infinito de intervalos unitarios ). Todo cubo de Tychonoff es compacto de Hausdorff como consecuencia del teorema de Tychonoff . Dado que cada subespacio de un espacio compacto de Hausdorff es Tychonoff, se tiene: ${\displaystyle K}$

Un espacio topológico es Tychonoff si y sólo si puede ser incrustado en un cubo de Tychonoff .

Compactificaciones

De particular interés son aquellas incrustaciones donde la imagen de es densa se denominan compactaciones de Hausdorff. Dada cualquier incrustación de un espacio de Tychonoff en un espacio compacto de Hausdorff, el cierre de la imagen de in es una compactificación de. En el mismo artículo de 1930 ^[2] donde Tychonoff definió espacios completamente regulares, también demostró que cada espacio de Tychonoff tiene una compactación de Hausdorff. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle K;}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle X.}$

Entre esas compactaciones de Hausdorff, hay una única "más general", la compactificación de Stone-Čech. Se caracteriza por la propiedad universal de que, dado un mapa continuo desde cualquier otro espacio compacto de Hausdorff, hay un mapa continuo único que se extiende en el sentido de que es la composición de y ${\displaystyle \beta X.}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle g:\beta X\to Y}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle j.}$

Estructuras uniformes

La regularidad completa es exactamente la condición necesaria para la existencia de estructuras uniformes en un espacio topológico. En otras palabras, todo espacio uniforme tiene una topología completamente regular y todo espacio completamente regular es uniformizable . Un espacio topológico admite una estructura uniforme separada si y sólo si es Tychonoff. ${\displaystyle X}$

Dado un espacio completamente regular, generalmente hay más de una uniformidad que es compatible con la topología de Sin embargo, siempre habrá una uniformidad compatible más fina, llamada uniformidad fina. Si es Tychonoff, entonces se puede elegir la estructura uniforme de modo que se convierta en la finalización del espacio uniforme ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \beta X}$ ${\displaystyle X.}$

Ver también

• Compactificación de Stone-Čech  : un mapa universal desde un espacio topológico X a un espacio compacto de Hausdorff βX, de modo que cualquier mapa de X a un espacio compacto de Hausdorff factoriza a través de βX de forma única; si X es Tychonoff, entonces X es un subespacio denso de βXPáginas que muestran descripciones de wikidata como alternativa

Citas

1. Urysohn, Paul (1925). "Über die Mächtigkeit der zusammenhängenden Mengen". Annalen Matemáticas . 94 (1): 262–295. doi :10.1007/BF01208659.Ver páginas 291 y 292.
2. Tychonoff, A. (1930). "Über die topologische Erweiterung von Räumen". Annalen Matemáticas . 102 (1): 544–561. doi :10.1007/BF01782364.
3. Willard 1970, Problema 18G.
4. Steen y Seebach 1995, ejemplo 90.
5. Steen y Seebach 1995, ejemplo 92.
6. Hewitt, Edwin (1946). "Sobre dos problemas de Urysohn". Anales de Matemáticas . 47 (3): 503–509. doi :10.2307/1969089.

Bibliografía

• Gillman, Leonard ; Jerison, Meyer (1960). Anillos de funciones continuas. Textos de Posgrado en Matemáticas, No. 43 (reimpresión de Dover ed.). Nueva York: Springer-Verlag. pag. xiii. ISBN 978-048681688-3.
• Steen, Lynn Arturo ; Seebach, J. Arthur Jr. (1995) [1978]. Contraejemplos en topología ( reimpresión de Dover de 1978 ed.). Berlín, Nueva York: Springer-Verlag . ISBN 978-0-486-68735-3. SEÑOR  0507446.
• Willard, Stephen (1970). Topología general (reimpresión de Dover ed.). Reading, Massachusetts: Compañía editorial Addison-Wesley. ISBN 0-486-43479-6.