Topología final

La mejor topología que hace que algunas funciones sean continuas

En topología general y áreas relacionadas de las matemáticas , la topología final ^[1] (o topología coinducida , ^[2] fuerte , colimit o inductiva ^[3] ) en un conjunto con respecto a una familia de funciones desde espacios topológicos hasta es la mejor topología que hace que todas esas funciones sean continuas . ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X}$

La topología del cociente en un espacio cociente es una topología final, con respecto a una única función sobreyectiva, a saber, el mapa de cocientes. La topología de unión disjunta es la topología final con respecto a los mapas de inclusión . La topología final es también la topología de la que está dotado todo límite directo en la categoría de espacios topológicos , y es en el contexto de límites directos donde a menudo aparece la topología final. Una topología es coherente con algún conjunto de subespacios si y sólo si es la topología final inducida por las inclusiones naturales.

La noción dual es la topología inicial , que para una determinada familia de funciones de un conjunto en espacios topológicos es la topología más burda que hace que esas funciones sean continuas. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Definición

Dado un conjunto y una familia indexada de espacios topológicos con funciones asociadas, la topología final inducida por la familia de funciones es la mejor topología tal que ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \left(Y_{i},\upsilon _{i}\right)}$ $${\displaystyle f_{i}:Y_{i}\to X,}$$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}:=\left\{f_{i}:i\in I\right\}}$ ${\displaystyle \tau _{\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle X}$ $${\displaystyle f_{i}:\left(Y_{i},\upsilon _{i}\right)\to \left(X,\tau _{\mathcal {F}}\right)}$$

es continuo para cada uno . ${\displaystyle i\in I}$

Explícitamente, la topología final se puede describir de la siguiente manera:

un subconjunto de está abierto en la topología final (es decir, ) si y solo si está abierto para cada uno . ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \left(X,\tau _{\mathcal {F}}\right)}$ ${\displaystyle U\in \tau _{\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle f_{i}^{-1}(U)}$ ${\displaystyle \left(Y_{i},\upsilon _{i}\right)}$ ${\displaystyle i\in I}$

Los subconjuntos cerrados tienen una caracterización análoga:

un subconjunto de está cerrado en la topología final si y sólo si está cerrado para cada uno . ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \left(X,\tau _{\mathcal {F}}\right)}$ ${\displaystyle f_{i}^{-1}(C)}$ ${\displaystyle \left(Y_{i},\upsilon _{i}\right)}$ ${\displaystyle i\in I}$

La familia de funciones que induce la topología final suele ser un conjunto de funciones. Pero se puede realizar la misma construcción si se trata de una clase adecuada de funciones, y el resultado todavía está bien definido en la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel . En ese caso siempre hay una subfamilia de con un conjunto, de modo que las topologías finales inducidas por y por coinciden. Para obtener más información sobre esto, consulte, por ejemplo, la discusión aquí. ^[4] Como ejemplo, una variante comúnmente utilizada de la noción de espacio generado de forma compacta se define como la topología final con respecto a una clase adecuada de funciones. ^[5] ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$

Ejemplos

El caso especial importante en el que la familia de mapas consta de un único mapa sobreyectivo se puede caracterizar completamente utilizando la noción de mapa cociente . Una función sobreyectiva entre espacios topológicos es un mapa cociente si y sólo si la topología coincide con la topología final inducida por la familia . En particular: la topología del cociente es la topología final en el espacio del cociente inducido por el mapa del cociente . ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle f:(Y,\upsilon )\to \left(X,\tau \right)}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \tau _{\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}=\{f\}}$

La topología final en un conjunto inducido por una familia de mapas con valores puede verse como una generalización de gran alcance de la topología del cociente, donde se pueden usar múltiples mapas en lugar de solo uno y donde no es necesario que estos mapas sean sobrejecciones. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Dados espacios topológicos , la topología de unión disjunta sobre la unión disjunta es la topología final sobre la unión disjunta inducida por las inyecciones naturales. ${\displaystyle X_{i}}$ ${\displaystyle \coprod _{i}X_{i}}$

Dada una familia de topologías en un conjunto fijo, la topología final con respecto a los mapas de identidad como rangos superiores es el mínimo (o encuentro) de estas topologías en la red de topologías. Es decir , la topología final es igual a la intersección ${\displaystyle \left(\tau _{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {id} _{\tau _{i}}:\left(X,\tau _{i}\right)\to X}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle I,}$ ${\displaystyle \tau ,}$ ${\displaystyle \left(\tau _{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\textstyle \tau =\bigcap _{i\in I}\tau _{i}.}$

Dado un espacio topológico y una familia de subconjuntos de cada uno de los cuales tiene la topología de subespacio , la topología final inducida por todos los mapas de inclusión de en es más fina (o igual) que la topología original en El espacio se llama coherente con la familia de subespacios si la topología final coincide con la topología original. En ese caso, un subconjunto estará abierto exactamente cuando la intersección esté abierta para cada uno (consulte el artículo sobre topología coherente para obtener más detalles sobre esta noción y más ejemplos). Como caso particular, Una de las nociones de espacio generado de forma compacta puede caracterizarse como una cierta topología coherente. ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}=\{C_{i}:i\in I\}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \tau _{\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle C_{i}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle \tau _{\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle \tau .}$ ${\displaystyle U\subseteq X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U\cap C_{i}}$ ${\displaystyle C_{i}}$ ${\displaystyle i\in I.}$

El límite directo de cualquier sistema directo de espacios y mapas continuos es el límite directo de la teoría de conjuntos junto con la topología final determinada por los morfismos canónicos. Explícitamente, esto significa que si es un sistema directo en la categoría Top de espacios topológicos y si es un límite directo de en la categoría Conjunto de todos los conjuntos , entonces al dotarlo de la topología final inducida por se convierte en el límite directo de en la categoría Top . ${\displaystyle \operatorname {Sys} _{Y}=\left(Y_{i},f_{ji},I\right)}$ ${\displaystyle \left(X,\left(f_{i}\right)_{i\in I}\right)}$ ${\displaystyle \operatorname {Sys} _{Y}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \tau _{\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}:=\left\{f_{i}:i\in I\right\},}$ ${\displaystyle \left(\left(X,\tau _{\mathcal {F}}\right),\left(f_{i}\right)_{i\in I}\right)}$ ${\displaystyle \operatorname {Sys} _{Y}}$

El espacio étalé de una gavilla está topologíado por una topología final.

Un primer espacio de Hausdorff contable está localmente conectado por caminos si y sólo si es igual a la topología final inducida por el conjunto de todos los mapas continuos donde dicho mapa se llama camino en ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C\left([0,1];X\right)}$ ${\displaystyle [0,1]\to (X,\tau ),}$ ${\displaystyle (X,\tau ).}$

Si un espacio vectorial topológico localmente convexo de Hausdorff es un espacio de Fréchet-Urysohn , entonces es igual a la topología final inducida por el conjunto de todos los arcos en los que, por definición, hay caminos continuos que también son incrustaciones topológicas . ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {Arc} \left([0,1];X\right)}$ ${\displaystyle (X,\tau ),}$ ${\displaystyle [0,1]\to (X,\tau )}$

Propiedades

Caracterización mediante mapas continuos.

Dadas funciones desde espacios topológicos hasta el conjunto , la topología final con respecto a estas funciones satisface la siguiente propiedad: ${\displaystyle f_{i}:Y_{i}\to X,}$ ${\displaystyle Y_{i}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f_{i}}$

una función desde hasta algún espacio es continua si y sólo si es continua para cada ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle g\circ f_{i}}$ ${\displaystyle i\in I.}$

Propiedad característica de la topología final.

Esta propiedad caracteriza la topología final en el sentido de que si una topología on satisface la propiedad anterior para todos los espacios y todas las funciones , entonces la topología on es la topología final con respecto a la ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle g:X\to Z}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f_{i}.}$

Comportamiento bajo composición

Supongamos que es una familia de mapas, y para cada uno la topología es la topología final inducida por alguna familia de mapas valorada en . Entonces la topología final inducida por es igual a la topología final inducida por los mapas ${\displaystyle {\mathcal {F}}:=\left\{f_{i}:Y_{i}\to X\mid i\in I\right\}}$ ${\displaystyle i\in I,}$ ${\displaystyle \upsilon _{i}}$ ${\displaystyle Y_{i}}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}_{i}}$ ${\displaystyle Y_{i}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \left\{f_{i}\circ g~:~i\in I{\text{ and }}g\in {\cal {G_{i}}}\right\}.}$

Como consecuencia: si la topología final es inducida por la familia y si cualquier mapa sobreyectivo se valora en algún espacio topológico, entonces es un mapa cociente si y sólo si tiene la topología final inducida por los mapas. ${\displaystyle \tau _{\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}:=\left\{f_{i}:i\in I\right\}}$ ${\displaystyle \pi :X\to (S,\sigma )}$ ${\displaystyle (S,\sigma ),}$ ${\displaystyle \pi :\left(X,\tau _{\mathcal {F}}\right)\to (S,\sigma )}$ ${\displaystyle (S,\sigma )}$ ${\displaystyle \left\{\pi \circ f_{i}~:~i\in I\right\}.}$

Por la propiedad universal de la topología de unión disjunta sabemos que dada cualquier familia de mapas continuos existe un mapa continuo único que es compatible con las inyecciones naturales. Si la familia de mapas cubre (es decir, cada uno se encuentra en la imagen de alguno ), entonces el mapa será un mapa cociente si y sólo si tiene la topología final inducida por los mapas. ${\displaystyle f_{i}:Y_{i}\to X,}$ $${\displaystyle f:\coprod _{i}Y_{i}\to X}$$ ${\displaystyle f_{i}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle f_{i}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f_{i}.}$

Efectos de cambiar la familia de mapas

En todo momento, sea una familia de mapas con valores en los que cada mapa tenga la forma y denote la topología final inducida por La definición de la topología final garantiza que para cada índice el mapa sea continuo . ${\displaystyle {\mathcal {F}}:=\left\{f_{i}:i\in I\right\}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f_{i}:\left(Y_{i},\upsilon _{i}\right)\to X}$ ${\displaystyle \tau _{\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}.}$ ${\displaystyle i,}$ ${\displaystyle f_{i}:\left(Y_{i},\upsilon _{i}\right)\to \left(X,\tau _{\mathcal {F}}\right)}$

Para cualquier subconjunto, la topología final será más fina que (y posiblemente igual a) la topología ; es decir, implica dónde podría mantenerse la igualdad de conjuntos incluso si es un subconjunto adecuado de ${\displaystyle {\mathcal {S}}\subseteq {\mathcal {F}},}$ ${\displaystyle \tau _{\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \tau _{\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}\subseteq {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \tau _{\mathcal {F}}\subseteq \tau _{\mathcal {S}},}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}.}$

Si alguna topología es tal que y es continua para cada índice, entonces debe ser estrictamente más burda que (lo que significa que y esto se escribirá ) y, además, para cualquier subconjunto la topología también será estrictamente más burda que la topología final que induce a (porque ); eso es, ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \tau \neq \tau _{\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle f_{i}:\left(Y_{i},\upsilon _{i}\right)\to (X,\tau )}$ ${\displaystyle i\in I,}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \tau _{\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \tau \subseteq \tau _{\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \tau \neq \tau _{\mathcal {F}};}$ ${\displaystyle \tau \subsetneq \tau _{\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}\subseteq {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \tau _{\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \tau _{\mathcal {F}}\subseteq \tau _{\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle \tau \subsetneq \tau _{\mathcal {S}}.}$

Supongamos que, además, hay una familia indexada de mapas valorados cuyos dominios son espacios topológicos. Si cada es continuo, agregar estos mapas a la familia no cambiará la topología final , es decir, explícitamente, esto significa que la topología final inducida por la "familia extendida" es igual a la topología final inducida por la familia original. Sin embargo, si hubiera existido incluso un solo mapa que no fuera continuo, entonces la topología final inducida por la "familia extendida" sería necesariamente más burda. que la topología final inducida por eso (consulte esta nota al pie ^{[nota 1]} para obtener una explicación). ${\displaystyle {\mathcal {G}}:=\left\{g_{a}:a\in A\right\}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle g_{a}:Z_{a}\to X}$ ${\displaystyle \left(Z_{a},\zeta _{a}\right).}$ ${\displaystyle g_{a}:\left(Z_{a},\zeta _{a}\right)\to \left(X,\tau _{\mathcal {F}}\right)}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle X;}$ ${\displaystyle \tau _{{\mathcal {F}}\cup {\mathcal {G}}}=\tau _{\mathcal {F}}.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}\cup {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle \tau _{\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}=\left\{f_{i}:i\in I\right\}.}$ ${\displaystyle g_{a_{0}}}$ ${\displaystyle g_{a_{0}}:\left(Z_{a_{0}},\zeta _{a_{0}}\right)\to \left(X,\tau _{\mathcal {F}}\right)}$ ${\displaystyle \tau _{{\mathcal {F}}\cup {\mathcal {G}}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}\cup {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle \tau _{\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}};}$ ${\displaystyle \tau _{{\mathcal {F}}\cup {\mathcal {G}}}\subsetneq \tau _{\mathcal {F}}}$

Topología final sobre el límite directo de espacios euclidianos de dimensión finita

Denotamos el espacio de secuencias finitas , donde denota el espacio de todas las secuencias reales . Para cada número natural, denotemos el espacio euclidiano habitual dotado de la topología euclidiana y denotemos el mapa de inclusión definido por para que su imagen sea y, en consecuencia, $${\displaystyle \mathbb {R} ^{\infty }~:=~\left\{\left(x_{1},x_{2},\ldots \right)\in \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }~:~{\text{ all but finitely many }}x_{i}{\text{ are equal to }}0\right\},}$$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} ,}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{n}}:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{\infty }}$ ${\displaystyle \operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{n}}\left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right):=\left(x_{1},\ldots ,x_{n},0,0,\ldots \right)}$ $${\displaystyle \operatorname {Im} \left(\operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{n}}\right)=\left\{\left(x_{1},\ldots ,x_{n},0,0,\ldots \right)~:~x_{1},\ldots ,x_{n}\in \mathbb {R} \right\}=\mathbb {R} ^{n}\times \left\{(0,0,\ldots )\right\}}$$ $${\displaystyle \mathbb {R} ^{\infty }=\bigcup _{n\in \mathbb {N} }\operatorname {Im} \left(\operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{n}}\right).}$$

Dote al conjunto con la topología final inducida por la familia de todos los mapas de inclusión. Con esta topología, se convierte en un espacio vectorial topológico secuencial localmente convexo de Hausdorff completo que no es un espacio de Fréchet-Urysohn . La topología es estrictamente más fina que la topología subespacial inducida por donde está dotada de su topología de producto habitual . Dotar a la imagen de la topología final inducida en ella por la biyección , es decir, está dotada de la topología euclidiana transferida a ella desde vía. Esta topología es igual a la topología subespacial inducida en ella por Un subconjunto es abierto (respectivamente, cerrado) en si y solo si para cada el conjunto es un subconjunto abierto (respectivamente, cerrado) de La topología es coherente con la familia de subespacios Esto lo convierte en un espacio LB. En consecuencia, si y es una secuencia en entonces en si y sólo si existe algo tal que ambos y estén contenidos en y en ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\infty }}$ ${\displaystyle \tau ^{\infty }}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}:=\left\{\;\operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{n}}~:~n\in \mathbb {N} \;\right\}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\infty }}$ ${\displaystyle \tau ^{\infty }}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\infty }}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {N} },}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }}$ ${\displaystyle \operatorname {Im} \left(\operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{n}}\right)}$ ${\displaystyle \operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{n}}:\mathbb {R} ^{n}\to \operatorname {Im} \left(\operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{n}}\right);}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{n}}.}$ ${\displaystyle \operatorname {Im} \left(\operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{n}}\right)}$ ${\displaystyle \left(\mathbb {R} ^{\infty },\tau ^{\infty }\right).}$ ${\displaystyle S\subseteq \mathbb {R} ^{\infty }}$ ${\displaystyle \left(\mathbb {R} ^{\infty },\tau ^{\infty }\right)}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} ,}$ ${\displaystyle S\cap \operatorname {Im} \left(\operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{n}}\right)}$ ${\displaystyle \operatorname {Im} \left(\operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{n}}\right).}$ ${\displaystyle \tau ^{\infty }}$ ${\displaystyle \mathbb {S} :=\left\{\;\operatorname {Im} \left(\operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{n}}\right)~:~n\in \mathbb {N} \;\right\}.}$ ${\displaystyle \left(\mathbb {R} ^{\infty },\tau ^{\infty }\right)}$ ${\displaystyle v\in \mathbb {R} ^{\infty }}$ ${\displaystyle v_{\bullet }}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\infty }}$ ${\displaystyle v_{\bullet }\to v}$ ${\displaystyle \left(\mathbb {R} ^{\infty },\tau ^{\infty }\right)}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle v_{\bullet }}$ ${\displaystyle \operatorname {Im} \left(\operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{n}}\right)}$ ${\displaystyle v_{\bullet }\to v}$ ${\displaystyle \operatorname {Im} \left(\operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{n}}\right).}$

A menudo, para cada uno se utiliza el mapa de inclusión para identificar con su imagen de forma explícita, los elementos y se identifican juntos. Bajo esta identificación, se convierte en un límite directo del sistema directo donde para cada mapa está el mapa de inclusión definido por donde hay ceros finales. ${\displaystyle n\in \mathbb {N} ,}$ ${\displaystyle \operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{n}}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \operatorname {Im} \left(\operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{n}}\right)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\infty };}$ ${\displaystyle \left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right)\in \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \left(x_{1},\ldots ,x_{n},0,0,0,\ldots \right)}$ ${\displaystyle \left(\left(\mathbb {R} ^{\infty },\tau ^{\infty }\right),\left(\operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{n}}\right)_{n\in \mathbb {N} }\right)}$ ${\displaystyle \left(\left(\mathbb {R} ^{n}\right)_{n\in \mathbb {N} },\left(\operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{m}}^{\mathbb {R} ^{n}}\right)_{m\leq n{\text{ in }}\mathbb {N} },\mathbb {N} \right),}$ ${\displaystyle m\leq n,}$ ${\displaystyle \operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{m}}^{\mathbb {R} ^{n}}:\mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{m}}^{\mathbb {R} ^{n}}\left(x_{1},\ldots ,x_{m}\right):=\left(x_{1},\ldots ,x_{m},0,\ldots ,0\right),}$ ${\displaystyle n-m}$

Descripción categórica

En el lenguaje de la teoría de categorías , la construcción final de la topología se puede describir de la siguiente manera. Sea un funtor de una categoría discreta a la categoría de espacios topológicos Top que selecciona los espacios para Sea el funtor diagonal de Top a la categoría de functor Top ^J (este funtor envía cada espacio al funtor constante a ). La categoría de coma es entonces la categoría de coconos de, es decir, objetos en pares donde hay una familia de mapas continuos para If es el funtor olvidadizo de Top a Set y Δ′ es el funtor diagonal de Set a Set ^J, entonces la categoría de coma es la categoría de todos los co-conos de La construcción de la topología final puede entonces describirse como un funtor de a Este funtor se deja adjunto al funtor olvidadizo correspondiente. ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle Y_{i}}$ ${\displaystyle i\in J.}$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (Y\,\downarrow \,\Delta )}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle (Y\,\downarrow \,\Delta )}$ ${\displaystyle (X,f)}$ ${\displaystyle f=(f_{i}:Y_{i}\to X)_{i\in J}}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \left(UY\,\downarrow \,\Delta ^{\prime }\right)}$ ${\displaystyle UY.}$ ${\displaystyle \left(UY\,\downarrow \,\Delta ^{\prime }\right)}$ ${\displaystyle (Y\,\downarrow \,\Delta ).}$

Ver también

• Límite directo  : caso especial de colimit en la teoría de categorías
• Topología inducida  – Topología heredadaPages displaying short descriptions of redirect targets
• Topología inicial  : topología más gruesa que hace que ciertas funciones sean continuas
• espacio LB
• Espacio LF  - Espacio vectorial topológico

Notas

1. Por definición, el mapa que no es continuo significa que existe al menos un conjunto abierto que no está abierto en En contraste, por definición de la topología final el mapa debe ser continuo. Entonces, la razón por la cual debe ser estrictamente más burda, en lugar de estrictamente más fina, es porque el hecho de que el mapa no sea continuo requiere que uno o más subconjuntos abiertos de sean "eliminados" para que se vuelva continuo. Por lo tanto , sólo se "eliminan" algunos conjuntos abiertos de ${\displaystyle g_{a_{0}}:\left(Z_{a_{0}},\zeta _{a_{0}}\right)\to \left(X,\tau _{\mathcal {F}}\right)}$ ${\displaystyle U\in \tau _{\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle g_{a_{0}}^{-1}(U)}$ ${\displaystyle \left(Z_{a_{0}},\zeta _{a_{0}}\right).}$ ${\displaystyle \tau _{{\mathcal {F}}\cup \{g_{a_{0}}\}},}$ ${\displaystyle g_{a_{0}}:\left(Z_{a_{0}},\zeta _{a_{0}}\right)\to \left(X,\tau _{{\mathcal {F}}\cup \{g_{a_{0}}\}}\right)}$ ${\displaystyle \tau _{{\mathcal {F}}\cup {\mathcal {G}}}}$ ${\displaystyle \tau _{\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle g_{a_{0}}:\left(Z_{a_{0}},\zeta _{a_{0}}\right)\to \left(X,\tau _{\mathcal {F}}\right)}$ ${\displaystyle \tau _{\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle g_{a_{0}}}$ ${\displaystyle \tau _{{\mathcal {F}}\cup \{g_{a_{0}}\}}}$ ${\displaystyle \tau _{\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \tau _{\mathcal {F}}.}$

Citas

1. Bourbaki, Nicolás (1989). Topología general . Berlín: Springer-Verlag. pag. 32.ISBN​ 978-3-540-64241-1.
2. Singh, Tej Bahadur (5 de mayo de 2013). Elementos de topología. Prensa CRC. ISBN 9781482215663. Consultado el 21 de julio de 2020 .
3. Császár, Ákos (1978). Topología general . Bristol [Inglaterra]: A. Hilger. pag. 317.ISBN​ 0-85274-275-4.
4. "Establecer cuestiones teóricas en la definición del espacio k o topología final con una clase adecuada de funciones". Intercambio de pilas de matemáticas .
5. Brown 2006, Sección 5.9, p. 182.

Referencias

• Brown, Ronald (junio de 2006). Topología y grupoides . North Charleston: CreateSpace. ISBN 1-4196-2722-8.
• Willard, Stephen (1970). Topología general . Serie Addison-Wesley en Matemáticas. Lectura, MA: Addison-Wesley. ISBN 9780201087079. Zbl  0205.26601.. (Proporciona una breve introducción general en la sección 9 y el Ejercicio 9H)
• Willard, Stephen (2004) [1970]. Topología general. Mineola, Nueva York : Publicaciones de Dover . ISBN 978-0-486-43479-7. OCLC  115240.