Topología coherente

Topología determinada por familia de subespacios.

En topología , una topología coherente es una topología que está determinada únicamente por una familia de subespacios . En términos generales, un espacio topológico es coherente con una familia de subespacios si es una unión topológica de esos subespacios. A veces también se le llama topología débil generada por la familia de subespacios, una noción que es bastante diferente de la noción de topología débil generada por un conjunto de mapas. ^[1]

Definición

Sea un espacio topológico y sea una familia de subconjuntos de cada uno con su topología de subespacio inducida. (Normalmente será una cubierta de .) Entonces se dice que es coherente con (o determinado por ) ^[2] si la topología de se recupera como la que proviene de la topología final coinducida por los mapas de inclusión. Por definición, esta es la mejor topología en (el conjunto subyacente de) para el cual los mapas de inclusión son continuos . es coherente con si se cumple alguna de las dos condiciones equivalentes siguientes: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C=\left\{C_{\alpha }:\alpha \in A\right\}}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle X}$ $${\displaystyle i_{\alpha }:C_{\alpha }\to X\qquad \alpha \in A.}$$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C}$

• Un subconjunto está abierto si y sólo si está abierto para cada uno. ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U\cap C_{\alpha }}$ ${\displaystyle C_{\alpha }}$ ${\displaystyle \alpha \in A.}$
• Un subconjunto está cerrado si y sólo si está cerrado para cada ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U\cap C_{\alpha }}$ ${\displaystyle C_{\alpha }}$ ${\displaystyle \alpha \in A.}$

Dado un espacio topológico y cualquier familia de subespacios, existe una topología única en (el conjunto subyacente de) que es coherente con Esta topología, en general, será mejor que la topología dada en ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C.}$ ${\displaystyle X.}$

Ejemplos

• Un espacio topológico es coherente con toda cubierta abierta de Más generalmente, es coherente con cualquier familia de subconjuntos cuyos interiores cubren. Como ejemplos de esto, un espacio débilmente compacto localmente es coherente con la familia de sus subespacios compactos . Y un espacio conectado localmente es coherente con la familia de sus subconjuntos conectados. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$
• Un espacio topológico es coherente con cada cubierta cerrada localmente finita de ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$
• Un espacio discreto es coherente con cada familia de subespacios (incluida la familia vacía ).
• Un espacio topológico es coherente con una partición de si y sólo es homeomorfo a la unión disjunta de los elementos de la partición. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$
• Los espacios finitamente generados son aquellos determinados por la familia de todos los subespacios finitos .
• Los espacios generados de forma compacta (en el sentido de la Definición 1 de ese artículo) son aquellos determinados por la familia de todos los subespacios compactos .
• Un complejo CW es coherente con su familia de esqueletos. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle X_{n}.}$

Unión topológica

Sea una familia de espacios topológicos (no necesariamente disjuntos ) tales que las topologías inducidas concuerden en cada intersección Supongamos además que está cerrada para cada uno. Entonces la unión topológica es la unión teórica de conjuntos dotada de la topología final coinducida por los mapas de inclusión . Los mapas de inclusión serán entonces incrustaciones topológicas y serán coherentes con los subespacios. ${\displaystyle \left\{X_{\alpha }:\alpha \in A\right\}}$ ${\displaystyle X_{\alpha }\cap X_{\beta }.}$ ${\displaystyle X_{\alpha }\cap X_{\beta }}$ ${\displaystyle X_{\alpha }}$ ${\displaystyle \alpha ,\beta \in A.}$ ${\displaystyle X}$ $${\displaystyle X^{set}=\bigcup _{\alpha \in A}X_{\alpha }}$$ ${\displaystyle i_{\alpha }:X_{\alpha }\to X^{set}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \left\{X_{\alpha }\right\}.}$

Por el contrario, si es un espacio topológico y es coherente con una familia de subespacios que lo abarcan entonces es homeomorfo a la unión topológica de la familia. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \left\{C_{\alpha }\right\}}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \left\{C_{\alpha }\right\}.}$

Se puede formar la unión topológica de una familia arbitraria de espacios topológicos como se indicó anteriormente, pero si las topologías no concuerdan en las intersecciones, entonces las inclusiones no serán necesariamente incrustaciones.

También se puede describir la unión topológica mediante la unión disjunta . Específicamente, si es una unión topológica de la familia entonces es homeomorfa al cociente de la unión disjunta de la familia por la relación de equivalencia para todos ; eso es, ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \left\{X_{\alpha }\right\},}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \left\{X_{\alpha }\right\}}$ $${\displaystyle (x,\alpha )\sim (y,\beta )\Leftrightarrow x=y}$$ ${\displaystyle \alpha ,\beta \in A.}$ $${\displaystyle X\cong \coprod _{\alpha \in A}X_{\alpha }/\sim .}$$

Si todos los espacios son disjuntos, entonces la unión topológica es solo la unión disjunta. ${\displaystyle \left\{X_{\alpha }\right\}}$

Supongamos ahora que el conjunto A está dirigido de forma compatible con la inclusión: siempre que . Luego hay un mapa único desde hasta que de hecho es un homeomorfismo. Aquí está el límite directo (inductivo) ( colimit ) de en la categoría Top . ${\displaystyle \alpha \leq \beta }$ ${\displaystyle X_{\alpha }\subset X_{\beta }}$ ${\displaystyle \varinjlim X_{\alpha }}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \varinjlim X_{\alpha }}$ ${\displaystyle \left\{X_{\alpha }\right\}}$

Propiedades

Seamos coherentes con una familia de subespacios Una función de a un espacio topológico es continua si y sólo si las restricciones son continuas para cada uno. Esta propiedad universal caracteriza las topologías coherentes en el sentido de que un espacio es coherente con si y sólo si esta propiedad se cumple para todos los espacios y todas las funciones ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \left\{C_{\alpha }\right\}.}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ $${\displaystyle f{\big \vert }_{C_{\alpha }}:C_{\alpha }\to Y\,}$$ ${\displaystyle \alpha \in A.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f:X\to Y.}$

Sea determinado por una cubierta Entonces ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C=\{C_{\alpha }\}.}$

• Si es un refinamiento de una cobertura , entonces está determinado por En particular, si es una subcobertura de está determinada por ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle D,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle D.}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle D,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle D.}$
• Si es un refinamiento de y cada uno está determinado por la familia de todos los contenidos en entonces está determinado por ${\displaystyle D=\{D_{\beta }\}}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C_{\alpha }}$ ${\displaystyle D_{\beta }}$ ${\displaystyle C_{\alpha }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle D.}$
• Sea un subespacio abierto o cerrado de o, más generalmente, un subconjunto localmente cerrado de Entonces está determinado por ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \left\{Y\cap C_{\alpha }\right\}.}$
• Sea un mapa de cocientes . Entonces está determinado por ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \left\{f(C_{\alpha })\right\}.}$

Sea un mapa sobreyectivo y supongamos que está determinado por Para cada uno sea la restricción de a Entonces ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \left\{D_{\alpha }:\alpha \in A\right\}.}$ ${\displaystyle \alpha \in A}$ ${\textstyle f_{\alpha }:f^{-1}(D_{\alpha })\to D_{\alpha }\,}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f^{-1}(D_{\alpha }).}$

• Si es continuo y cada uno es un mapa cociente, entonces es un mapa cociente. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f_{\alpha }}$ ${\displaystyle f}$
• ${\displaystyle f}$es un mapa cerrado (rep. mapa abierto ) si y solo si cada uno está cerrado (rep. abierto). ${\displaystyle f_{\alpha }}$

Dado un espacio topológico y una familia de subespacios, existe una topología única que es coherente con La topología es más fina que la topología original y estrictamente más fina si no era coherente con Pero las topologías e inducen la misma topología subespacial en cada uno de los familia Y la topología siempre es coherente con ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle C=\{C_{\alpha }\}}$ ${\displaystyle \tau _{C}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C.}$ ${\displaystyle \tau _{C}}$ ${\displaystyle \tau ,}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle C.}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \tau _{C}}$ ${\displaystyle C_{\alpha }}$ ${\displaystyle C.}$ ${\displaystyle \tau _{C}}$ ${\displaystyle C.}$

Como ejemplo de esta última construcción, si es la colección de todos los subespacios compactos de un espacio topológico, la topología resultante define la k-ificación de los espacios y tienen los mismos conjuntos compactos, con las mismas topologías de subespacios inducidas sobre ellos. Y la k-ificación se genera de forma compacta. ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle (X,\tau ),}$ ${\displaystyle \tau _{C}}$ ${\displaystyle kX}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle kX}$ ${\displaystyle kX}$

Ver también

• Topología final  : la mejor topología que hace que algunas funciones sean continuas

Notas

1. Willard, pág. 69
2. tiene la topología débil generada por Este es un nombre potencialmente confuso ya que diferentes autores utilizan los adjetivos débil y fuerte con significados opuestos. En el uso moderno, el término topología débil es sinónimo de topología inicial y topología fuerte es sinónimo de topología final . Es la topología final la que se discute aquí. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C.}$

Referencias

• Tanaka, Yoshio (2004). "Espacios de cociente y descomposiciones". En KP Hart; J. Nagata; JE Vaughan (eds.). Enciclopedia de Topología General . Ámsterdam: Elsevier Science. págs. 43–46. ISBN 0-444-50355-2.
• Willard, Stephen (1970). Topología general . Reading, Massachusetts: Addison-Wesley. ISBN 0-486-43479-6. (Edición de Dover).