Topología de Alexandrov

En topología , una topología de Alexandrov es una topología en la que la intersección de cada familia de conjuntos abiertos es abierta. Es un axioma de la topología que la intersección de cada familia finita de conjuntos abiertos es abierta; en las topologías de Alexandrov se omite el calificador finito.

Un conjunto con una topología de Alexandrov se conoce como espacio Alexandrov-discreto o espacio finitamente generado .

Las topologías de Alexandrov están determinadas de forma única por sus preórdenes de especialización . De hecho, dado cualquier preorden ≤ en un conjunto X , existe una única topología de Alexandrov en X para la cual el preorden de especialización es ≤. Los conjuntos abiertos son simplemente los conjuntos superiores con respecto a ≤. Por lo tanto, las topologías de Alexandrov en X están en correspondencia biunívoca con los preórdenes en X.

Los espacios discretos de Alexandrov también se denominan espacios finitamente generados porque su topología está determinada de forma única por la familia de todos los subespacios finitos. Por lo tanto, los espacios discretos de Alexandrov pueden considerarse como una generalización de los espacios topológicos finitos .

Debido al hecho de que las imágenes inversas conmutan con uniones e intersecciones arbitrarias, la propiedad de ser un espacio Alexandrov-discreto se conserva bajo cocientes .

Los espacios Alexandrov-discretos reciben su nombre del topólogo ruso Pavel Alexandrov . No deben confundirse con los espacios Alexandrov más geométricos introducidos por el matemático ruso Aleksandr Danilovich Aleksandrov .

Caracterizaciones de las topologías de Alexandrov

Las topologías de Alexandrov tienen numerosas caracterizaciones. Sea X = < X , T > un espacio topológico. Entonces, los siguientes son equivalentes:

• Caracterizaciones de conjuntos abiertos y cerrados:
  • Conjunto abierto. Una intersección arbitraria de conjuntos abiertos en X es abierta.
  • Conjunto cerrado. Una unión arbitraria de conjuntos cerrados en X es cerrada.
• Caracterización del barrio:
  • Vecindario más pequeño. Cada punto de X tiene un vecindario más pequeño .
  • Filtro de vecindad. El filtro de vecindad de cada punto en X se cierra bajo intersecciones arbitrarias.
• Caracterizaciones algebraicas de interior y cierre:
  • Operador interior. El operador interior de X distribuye sobre intersecciones arbitrarias de subconjuntos.
  • Operador de cierre. El operador de cierre de X distribuye sobre uniones arbitrarias de subconjuntos.
• Caracterizaciones de preorden:
  • Preorden de especialización. T es la topología más fina consistente con el preorden de especialización de X , es decir, la topología más fina que da el preorden ≤ que satisface x ≤ y si y solo si x está en el cierre de { y } en X .
  • Conjunto abierto ascendente. Existe un preorden ≤ tal que los conjuntos abiertos de X son precisamente aquellos que están cerrados ascendentemente , es decir, si x está en el conjunto y x ≤ y, entonces y está en el conjunto. (Este preorden será precisamente el preorden de especialización).
  • Conjunto cerrado hacia abajo. Existe un preorden ≤ tal que los conjuntos cerrados de X son precisamente aquellos que están cerrados hacia abajo, es decir, si x está en el conjunto e y ≤ x , entonces y está en el conjunto. (Este preorden será precisamente el preorden de especialización).
  • Clausura descendente. Un punto x se encuentra en la clausura de un subconjunto S de X si y solo si hay un punto y en S tal que x ≤ y donde ≤ es el preorden de especialización, es decir, x se encuentra en la clausura de { y }.
• Generación finita y caracterizaciones teóricas de categorías:
  • Clausura finita. Un punto x se encuentra dentro de la clausura de un subconjunto S de X si y solo si existe un subconjunto finito F de S tal que x se encuentra dentro de la clausura de F. (Este subconjunto finito siempre puede elegirse como un singleton).
  • Subespacio finito. T es coherente con los subespacios finitos de X .
  • Mapa de inclusión finito. Los mapas de inclusión f _i  : X _i → X de los subespacios finitos de X forman un sumidero final.
  • Generación finita. X se genera finitamente, es decir, se encuentra en la envoltura final de los espacios finitos. (Esto significa que existe un sumidero final f _i  : X _i → X donde cada X _i es un espacio topológico finito).

Los espacios topológicos que satisfacen las caracterizaciones equivalentes anteriores se denominan espacios finitamente generados o espacios discretos de Alexandrov y su topología T se denomina topología de Alexandrov .

Equivalencia con conjuntos preordenados

La topología de Alexandrov en un conjunto preordenado

Dado un conjunto preordenado, podemos definir una topología de Alexandrov en X eligiendo los conjuntos abiertos como los conjuntos superiores : ${\displaystyle \mathbf {X} =\langle X,\leq \rangle }$ ${\displaystyle \tau }$

${\displaystyle \tau =\{\,G\subseteq X:\forall x,y\in X\ \ (x\in G\ \land \ x\leq y)\ \implies \ y\in G\,\}}$

Obtenemos así un espacio topológico . ${\displaystyle \mathbf {T} (\mathbf {X} )=\langle X,\tau \rangle }$

Los conjuntos cerrados correspondientes son los conjuntos inferiores :

${\displaystyle \{\,S\subseteq X:\forall x,y\in X\ \ (x\in S\ \land \ y\leq x)\ \implies \ y\in S\,\}}$

El preorden de especialización en un espacio topológico

Dado un espacio topológico X = < X , T > el preorden de especialización en X se define por:

x ≤ y si y sólo si x está en el cierre de { y }.

Obtenemos así un conjunto preordenado W ( X ) = < X , ≤>.

Equivalencia entre preórdenes y topologías de Alexandrov

Para cada conjunto preordenado X = < X , ≤> siempre tenemos W ( T ( X )) = X , es decir, el preorden de X se recupera del espacio topológico T ( X ) como el preorden de especialización. Además, para cada espacio Alexandrov-discreto X , tenemos T ( W ( X )) = X , es decir, la topología Alexandrov de X se recupera como la topología inducida por el preorden de especialización.

Sin embargo, para un espacio topológico en general no tenemos T ( W ( X )) = X . Más bien, T ( W ( X )) será el conjunto X con una topología más fina que la de X (es decir, tendrá más conjuntos abiertos). La topología de T ( W ( X )) induce el mismo preorden de especialización que la topología original del espacio X y, de hecho, es la topología más fina en X con esa propiedad.

Equivalencia entre monotonía y continuidad

Dada una función monótona

f  :  X → Y

entre dos conjuntos preordenados (es decir, una función

f  :  X → Y

entre los conjuntos subyacentes tales que x  ≤  y en X implica f ( x ) ≤  f ( y ) en Y ), sea

T ( f ):  T ( X )→ T ( Y )

sea ​​la misma función que f considerada como una función entre los espacios de Alexandrov correspondientes. Entonces T ( f ) es una función continua .

Por el contrario, dado un mapa continuo

g :  X → Y

entre dos espacios topológicos, sea

W ( g ) :  W ( X ) → W ( Y )

sea ​​la misma función que g considerada como función entre los conjuntos preordenados correspondientes. Entonces W ( g ) es una función monótona.

Por lo tanto, una función entre dos conjuntos preordenados es monótona si y solo si es una función continua entre los espacios Alexandrov-discretos correspondientes. A la inversa, una función entre dos espacios Alexandrov-discretos es continua si y solo si es una función monótona entre los conjuntos preordenados correspondientes.

Sin embargo, observe que en el caso de topologías distintas a la topología de Alexandrov, podemos tener una función entre dos espacios topológicos que no es continua pero que, sin embargo, sigue siendo una función monótona entre los conjuntos preordenados correspondientes. (Para ver esto, considere un espacio no discreto de Alexandrov X y considere la función identidad i  :  X → T ( W ( X )).)

Descripción teórica de categorías de la equivalencia

Sea Set la categoría de conjuntos y aplicaciones . Sea Top la categoría de espacios topológicos y aplicaciones continuas ; y sea Pro la categoría de conjuntos preordenados y funciones monótonas . Entonces

T  :  Pro → Superior y

W  :  Superior → Pro

son funtores concretos sobre Conjunto que son adjuntos izquierdo y derecho respectivamente.

Sea Alx la subcategoría completa de Top que consta de los espacios discretos de Alexandrov. Entonces, las restricciones

T  :  Pro → Alx y

W  :  Alx → Pro

son isomorfismos concretos inversos sobre el conjunto .

Alx es de hecho una subcategoría bicorreflectiva de Top con bicorreflector T ◦ W  :  Top → Alx . Esto significa que dado un espacio topológico X , la función identidad

yo  :  T ( W ( X ))→ X

es continua y para cada mapa continuo

f  :  Y → X

donde Y es un espacio Alexandrov-discreto, la composición

i  ⁻¹ ◦ f  :  Y → T ( W ( X ))

es continua

Relación con la construcción de álgebras modales a partir de marcos modales

Dado un conjunto preordenado X , el operador interior y el operador de cierre de T ( X ) están dados por:

Int ( S ) = { x  ∈ S : para todo y  ∈ X, x  ≤  y implica y  ∈ S }, y

Cl ( S ) = { x  ∈ X : existe un y  ∈ S con x  ≤  y }

para todo S  ⊆  X.

Considerando que el operador interior y el operador de clausura son operadores modales en el conjunto potencia del álgebra booleana de X , esta construcción es un caso especial de la construcción de un álgebra modal a partir de un marco modal , es decir, de un conjunto con una única relación binaria . (La última construcción es en sí misma un caso especial de una construcción más general de un álgebra compleja a partir de una estructura relacional , es decir, un conjunto con relaciones definidas en él). La clase de álgebras modales que obtenemos en el caso de un conjunto preordenado es la clase de álgebras interiores : las abstracciones algebraicas de espacios topológicos.

Propiedades

Todo subespacio de un espacio Alexandrov-discreto es Alexandrov-discreto. ^[1]

El producto de dos espacios Alexandrov-discretos es Alexandrov-discreto. ^[2]

Toda topología de Alexandrov es, en primer lugar, contable .

Toda topología de Alexandrov es localmente compacta en el sentido de que cada punto tiene una base local de vecindades compactas, ya que la vecindad más pequeña de un punto es siempre compacta. ^[3] En efecto, si es la vecindad (abierta) más pequeña de un punto , en sí misma con la topología de subespacio cualquier cobertura abierta de contiene una vecindad de incluida en . Tal vecindad es necesariamente igual a , por lo que la cobertura abierta admite como una subcobertura finita. ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \{U\}}$

Cada topología de Alexandrov está conectada localmente por rutas . ^{[4] [5]}

Historia

Los espacios de Alexandrov fueron introducidos por primera vez en 1937 por PS Alexandrov bajo el nombre de espacios discretos , donde proporcionó las caracterizaciones en términos de conjuntos y vecindades. ^[6] El nombre de espacios discretos luego pasó a usarse para espacios topológicos en los que cada subconjunto es abierto y el concepto original quedó olvidado en la literatura topológica. Por otro lado, los espacios de Alexandrov jugaron un papel relevante en los estudios pioneros de Øystein Ore sobre sistemas de cierre y sus relaciones con la teoría de redes y la topología. ^[7]

Con el avance de la topología categórica en la década de 1980, se redescubrieron los espacios de Alexandrov cuando se aplicó el concepto de generación finita a la topología general y se adoptó para ellos el nombre de espacios finitamente generados . Los espacios de Alexandrov también se redescubrieron aproximadamente al mismo tiempo en el contexto de las topologías resultantes de la semántica denotacional y la teoría de dominios en la informática .

En 1966, Michael C. McCord y AK Steiner observaron de forma independiente una equivalencia entre conjuntos parcialmente ordenados y espacios que eran precisamente las versiones T 0 de los espacios que Alexandrov había introducido. ^{[8] [9]} PT Johnstone se refirió a estas topologías como topologías de Alexandrov . ^[10] FG Arenas propuso de forma independiente este nombre para la versión general de estas topologías. ^[11] McCord también demostró que estos espacios son homotópicamente débiles equivalentes al complejo de orden del conjunto parcialmente ordenado correspondiente. Steiner demostró que la equivalencia es un isomorfismo reticular contravariante que preserva los encuentros y uniones arbitrarios, así como la complementación.

También fue un resultado bien conocido en el campo de la lógica modal que existe una equivalencia entre espacios topológicos finitos y preórdenes en conjuntos finitos (los marcos modales finitos para la lógica modal S4 ). A. Grzegorczyk observó que esto se extendía a una equivalencia entre lo que él denominó espacios totalmente distributivos y preórdenes. C. Naturman observó que estos espacios eran los espacios Alexandrov-discretos y extendió el resultado a una equivalencia de teoría de categorías entre la categoría de espacios Alexandrov-discretos y aplicaciones continuas (abiertas), y la categoría de preórdenes y aplicaciones monótonas (acotadas), proporcionando las caracterizaciones de preorden así como las caracterizaciones algebraicas interiores y de clausura . ^[12]

Una investigación sistemática de estos espacios desde el punto de vista de la topología general, que había sido descuidada desde el artículo original de Alexandrov, fue retomada por FG Arenas. ^[11]

Véase también

• P -espacio , un espacio que satisface la condición más débil de que las intersecciones numerables de conjuntos abiertos son abiertas

Referencias

1. Speer 2007, Teorema 7.
2. Arenas 1999, Teorema 2.2.
3. Speer, Timothy (16 de agosto de 2007). "Un breve estudio de los espacios de Alexandroff". arXiv : 0708.2136 [math.GN].Teorema 5
4. "¿Los vecindarios mínimos en una topología de Alexandrov están conectados por caminos?". Mathematics Stack Exchange .
5. Arenas 1999, Teorema 2.8.
6. Alexandroff, P. (1937). "Diskrete Räume". Estera. SB . Nueva Serie (en alemán). 2 : 501–518.
7. O. Ore, Algunos estudios sobre relaciones de clausura , Duke Math. J. 10 (1943), 761–785. Véase Marcel Erné, Closure , en Frédéric Mynard, Elliott Pearl (Editores), Beyond Topology , Contemporary mathematics vol. 486, American Mathematical Society, 2009, p.170ff.
8. McCord, MC (1966). "Homología singular y grupos de homotopía de espacios topológicos finitos". Duke Mathematical Journal . 33 (3): 465–474. doi :10.1215/S0012-7094-66-03352-7.
9. Steiner, AK (1966). "El entramado de topologías: estructura y complementación". Transacciones de la American Mathematical Society . 122 (2): 379–398. doi : 10.2307/1994555 . ISSN  0002-9947. JSTOR  1994555.
10. Johnstone, PT (1986). Espacios de piedra (1.ª edición de bolsillo). Nueva York: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-33779-3.
11. Arenas, FG (1999). "Espacios de Alexandroff" (PDF) . Acta Math. Univ. Comenianae . 68 (1): 17–25.
12. Naturman, CA (1991). Álgebras interiores y topología . Tesis doctoral, Departamento de Matemáticas de la Universidad de Ciudad del Cabo.