Espacio cociente (topología)

Construcción del espacio topológico.

Ilustración de la construcción de una esfera topológica como espacio cociente de un disco , pegando en un solo punto los puntos (en azul) del límite del disco.

En topología y áreas relacionadas de las matemáticas , el espacio cociente de un espacio topológico bajo una relación de equivalencia dada es un nuevo espacio topológico construido dotando al conjunto cociente del espacio topológico original con la topología cociente , es decir, con la topología más fina que hace Continúa el mapa de proyección canónico (la función que mapea apunta a sus clases de equivalencia ). En otras palabras, un subconjunto de un espacio cociente está abierto si y sólo si su preimagen bajo el mapa de proyección canónica está abierta en el espacio topológico original.

Intuitivamente hablando, los puntos de cada clase de equivalencia se identifican o "pegan" para formar un nuevo espacio topológico. Por ejemplo, identificar los puntos de una esfera que pertenecen al mismo diámetro produce el plano proyectivo como un espacio cociente.

Definición

Sea un espacio topológico y sea una relación de equivalencia en El conjunto cociente es el conjunto de clases de equivalencia de elementos de La clase de equivalencia de se denota ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \sim }$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle Y=X/{\sim }}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle [x].}$

La construcción de define una sobreyección canónica , como se analiza a continuación, es un mapeo de cociente, comúnmente llamado mapa de cociente canónico, o mapa de proyección canónica, asociado a ${\displaystyle Y}$ ${\textstyle q:X\ni x\mapsto [x]\in Y.}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle X/{\sim }.}$

El espacio cociente inferior es el conjunto equipado con la topología del cociente , cuyos conjuntos abiertos son aquellos subconjuntos cuya preimagen es abierta . En otras palabras, está abierto en la topología del cociente si y sólo si está abierto en De manera similar, un subconjunto está cerrado si y sólo si está cerrado en ${\displaystyle \sim }$ ${\displaystyle Y}$ ${\textstyle U\subseteq Y}$ ${\displaystyle q^{-1}(U)}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X/{\sim }}$ ${\textstyle \{x\in X:[x]\in U\}}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle S\subseteq Y}$ ${\displaystyle \{x\in X:[x]\in S\}}$ ${\displaystyle X.}$

La topología del cociente es la topología final del conjunto del cociente, con respecto al mapa. ${\displaystyle x\mapsto [x].}$

mapa de cociente

Un mapa es un mapa cociente (a veces llamado mapa de identificación ^[1] ) si es sobreyectivo y está equipado con la topología final inducida por. Esta última condición admite dos formulaciones más elementales: un subconjunto es abierto (cerrado) si y sólo si está abierto (o cerrado). Todo mapa de cocientes es continuo, pero no todo mapa continuo es un mapa de cocientes. ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f.}$ ${\displaystyle V\subseteq Y}$ ${\displaystyle f^{-1}(V)}$

Conjuntos saturados

Un subconjunto de se llama saturado (con respecto a ) si tiene la forma de algún conjunto que es verdadero si y sólo si La asignación establece una correspondencia uno a uno (cuya inversa es ) entre subconjuntos de y subconjuntos saturados de Con Según esta terminología, una sobreyección es una aplicación de cociente si y solo si para cada subconjunto saturado de está abierto en si y solo si está abierto en En particular, los subconjuntos abiertos de que no están saturados no tienen impacto sobre si la función es una aplicación de cociente ( o, de hecho, continua: una función es continua si y sólo si, para cada tal saturado que está abierto en , el conjunto es abierto en ). ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle S=f^{-1}(T)}$ ${\displaystyle T,}$ ${\displaystyle f^{-1}(f(S))=S.}$ ${\displaystyle T\mapsto f^{-1}(T)}$ ${\displaystyle S\mapsto f(S)}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle Y=f(X)}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f(S)}$ ${\displaystyle Y.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\textstyle S\subseteq X}$ ${\displaystyle f(S)}$ ${\textstyle f(X)}$ ${\displaystyle S}$ ${\textstyle X}$

De hecho, si es una topología y es cualquier mapa, entonces el conjunto de todos los subconjuntos saturados de forma una topología. Si también es un espacio topológico, entonces es un mapa cociente (respectivamente, continuo ) si y sólo si lo mismo es cierto para ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle \tau _{f}}$ ${\displaystyle U\in \tau }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f:(X,\tau )\to Y}$ ${\displaystyle f:\left(X,\tau _{f}\right)\to Y.}$

Caracterización del cociente espacial de fibras.

Dada una relación de equivalencia , on denota la clase de equivalencia de un punto por y let denota el conjunto de clases de equivalencia. El mapa que envía puntos a sus clases de equivalencia (es decir, está definido por para cada ) se llama mapa canónico . Es un mapa sobreyectivo y para todos si y solo si en consecuencia, para todos En particular, esto muestra que el conjunto de clases de equivalencia es exactamente el conjunto de fibras del mapa canónico Si es un espacio topológico entonces dando la topología del cociente inducido por la voluntad conviértalo en un espacio cociente y conviértalo en un mapa cociente. Hasta un homeomorfismo , esta construcción es representativa de todos los espacios cocientes; Ahora se explica el significado preciso de esto. ${\displaystyle \,\sim \,}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle [x]:=\{z\in X:z\sim x\}}$ ${\displaystyle X/{\sim }:=\{[x]:x\in X\}}$ ${\displaystyle q:X\to X/{\sim }}$ ${\displaystyle q(x):=[x]}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle a,b\in X,}$ ${\displaystyle a\,\sim \,b}$ ${\displaystyle q(a)=q(b);}$ ${\displaystyle q(x)=q^{-1}(q(x))}$ ${\displaystyle x\in X.}$ ${\displaystyle X/{\sim }}$ ${\displaystyle q.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X/{\sim }}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle q:X\to X/{\sim }}$

Sea una sobreyección entre espacios topológicos (aún no se supone que sea continuo o un mapa de cociente) y declare para todo eso si y solo si Entonces es una relación de equivalencia tal que para cada lo que implica que (definido por ) es un conjunto singleton ; denota el elemento único en por (por definición, ). La asignación define una biyección entre las fibras de y los puntos en Defina el mapa como arriba (por ) y proporcione la topología del cociente inducida por (lo que forma un mapa de cocientes). Estos mapas están relacionados por: ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle a,b\in X}$ ${\displaystyle a\,\sim \,b}$ ${\displaystyle f(a)=f(b).}$ ${\displaystyle \,\sim \,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle [x]=f^{-1}(f(x)),}$ ${\displaystyle f([x])}$ ${\displaystyle f([x])=\{\,f(z)\,:z\in [x]\}}$ ${\displaystyle f([x])}$ ${\displaystyle {\hat {f}}([x])}$ ${\displaystyle f([x])=\{\,{\hat {f}}([x])\,\}}$ ${\displaystyle [x]\mapsto {\hat {f}}([x])}$ ${\displaystyle {\hat {f}}:X/{\sim }\;\to \;Y}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle Y.}$ ${\displaystyle q:X\to X/{\sim }}$ ${\displaystyle q(x):=[x]}$ ${\displaystyle X/{\sim }}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle q}$

$${\displaystyle f={\hat {f}}\circ q\quad {\text{ and }}\quad q={\hat {f}}^{-1}\circ f.}$$

homeomorfismo ${\displaystyle q:X\to X/{\sim }}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle {\hat {f}}:X/{\sim }\;\to \;Y.}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle {\hat {f}}:X/{\sim }\;\to \;Y}$ ${\displaystyle {\hat {f}}}$

Definiciones relacionadas

AEl mapa de cociente hereditario es un mapa sobreyectivocon la propiedad de que para cada subconjuntola restriccióntambién es un mapa de cociente. Existen mapas de cocientes que no son cocientes hereditarios. ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle T\subseteq Y,}$ ${\displaystyle f{\big \vert }_{f^{-1}(T)}~:~f^{-1}(T)\to T}$

Ejemplos

• Pegado . Los topólogos hablan de unir puntos. If es un espacio topológico, pegar los puntos e in significa considerar el espacio cociente obtenido de la relación de equivalencia si y sólo si o (o ). ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle a\sim b}$ ${\displaystyle a=b}$ ${\displaystyle a=x,b=y}$ ${\displaystyle a=y,b=x}$
• Considere el cuadrado unitario y la relación de equivalencia ~ generada por el requisito de que todos los puntos límite sean equivalentes, identificando así todos los puntos límite en una sola clase de equivalencia. Entonces es homeomorfo a la esfera. ${\displaystyle I^{2}=[0,1]\times [0,1]}$ ${\displaystyle I^{2}/\sim }$ ${\displaystyle S^{2}.}$

Por ejemplo, es homeomorfo al círculo. ${\displaystyle [0,1]/\{0,1\}}$ ${\displaystyle S^{1}.}$

• Espacio de conjunción . De manera más general, supongamosque es un espacio yun subespacio deUno. Se pueden identificar todos los puntos enuna única clase de equivalencia y dejar los puntos fuera delequivalente solo para ellos mismos. El espacio cociente resultante se denota.La 2-esfera es entonces homeomorfa a un disco cerrado con su límite identificado en un solo punto: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X/A.}$ ${\displaystyle D^{2}/\partial {D^{2}}.}$
• Considere el conjunto de números reales con topología ordinaria y escriba si y solo si es un número entero . Entonces el espacio cociente es homeomorfo al círculo unitario a través del homeomorfismo que envía la clase de equivalencia de a ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle x\sim y}$ ${\displaystyle x-y}$ ${\displaystyle X/{\sim }}$ ${\displaystyle S^{1}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \exp(2\pi ix).}$
• Una generalización del ejemplo anterior es la siguiente: supongamos que un grupo topológico actúa continuamente en un espacio. Se puede formar una relación de equivalencia diciendo que los puntos son equivalentes si y sólo si se encuentran en la misma órbita . El espacio cociente bajo esta relación se llama espacio de órbita , denotado en el ejemplo anterior que actúa por traslación. El espacio orbital es homeomorfo a ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X/G.}$ ${\displaystyle G=\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} /\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle S^{1}.}$
  • Nota : La notación es algo ambigua. Si se entiende que es un grupo que actúa mediante la suma, entonces el cociente es el círculo. Sin embargo, si se piensa como un subespacio topológico de (que se identifica como un solo punto), entonces el cociente (que es identificable con el conjunto ) es un conjunto infinitamente numerable de círculos unidos en un solo punto. ${\displaystyle \mathbb {R} /\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \{\mathbb {Z} \}\cup \{\,\{r\}:r\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Z} \}}$ ${\displaystyle \{\mathbb {Z} \}\cup (\mathbb {R} \setminus \mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} .}$
• El siguiente ejemplo muestra que, en general, no es cierto que si es un mapa cociente, entonces cada secuencia convergente (respectivamente, cada red convergente ) en tiene una elevación (por ) a una secuencia convergente (o red convergente ) en Let y Let y let. ser el mapa cociente para que y para cada El mapa definido por está bien definido (porque ) y un homeomorfismo . Sea y sea cualquier secuencia (o más generalmente, cualquier red) valorada en tal que en Entonces la secuencia ${\displaystyle q:X\to Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X=[0,1]}$ ${\displaystyle \,\sim ~=~\{\,\{0,1\}\,\}~\cup ~\left\{\{x\}:x\in (0,1)\,\right\}.}$ ${\displaystyle Y:=X/{\sim }}$ ${\displaystyle q:X\to X/{\sim }}$ ${\displaystyle q(x):=[x],}$ ${\displaystyle q(0)=q(1)=\{0,1\}}$ ${\displaystyle q(x)=\{x\}}$ ${\displaystyle x\in (0,1).}$ ${\displaystyle h:X/{\sim }\to S^{1}\subseteq \mathbb {C} }$ ${\displaystyle h([x]):=e^{2\pi ix}}$ ${\displaystyle e^{2\pi i(0)}=1=e^{2\pi i(1)}}$ ${\displaystyle I=\mathbb {N} }$ ${\displaystyle a_{\bullet }:=\left(a_{i}\right)_{i\in I}{\text{ and }}b_{\bullet }:=\left(b_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle (0,1)}$ ${\displaystyle a_{\bullet }\to 0{\text{ and }}b_{\bullet }\to 1}$ ${\displaystyle X=[0,1].}$
  $${\displaystyle y_{1}:=q\left(a_{1}\right),y_{2}:=q\left(b_{1}\right),y_{3}:=q\left(a_{2}\right),y_{4}:=q\left(b_{2}\right),\ldots }$$
  converge a in pero no existe ningún levantamiento convergente de esta secuencia por el mapa del cociente (es decir, no hay una secuencia en la que ambos converjan a some y satisfagan para cada ). Este contraejemplo se puede generalizar a redes dejando ser cualquier conjunto dirigido y convirtiéndolo en una red declarando que para cualquier se cumple si y solo si tanto (1) como (2) si entonces la red indexada se define haciendo igual e igual a no tiene elevación (por ) a una red indexada convergente en ${\displaystyle [0]=[1]}$ ${\displaystyle X/{\sim }}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle s_{\bullet }=\left(s_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle y_{i}=q\left(s_{i}\right)}$ ${\displaystyle i\in I}$ ${\displaystyle (A,\leq )}$ ${\displaystyle I:=A\times \{1,2\}}$ ${\displaystyle (a,m),(b,n)\in I,}$ ${\displaystyle (m,a)\;\leq \;(n,b)}$ ${\displaystyle a\leq b,}$ ${\displaystyle a=b{\text{ then }}m\leq n;}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle y_{(a,m)}}$ ${\displaystyle a_{i}{\text{ if }}m=1}$ ${\displaystyle b_{i}{\text{ if }}m=2}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X=[0,1].}$

Propiedades

Los mapas de cocientes se caracterizan entre los mapas sobreyectivos por la siguiente propiedad: si es cualquier espacio topológico y es cualquier función, entonces es continuo si y solo si es continuo. ${\displaystyle q:X\to Y}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle f:Y\to Z}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f\circ q}$

Propiedad característica de la topología del cociente.

El espacio cociente junto con el mapa cociente se caracteriza por la siguiente propiedad universal : si es un mapa continuo tal que implica para todos entonces existe un mapa continuo único tal que En otras palabras, el siguiente diagrama conmuta: ${\displaystyle X/{\sim }}$ ${\displaystyle q:X\to X/{\sim }}$ ${\displaystyle g:X\to Z}$ ${\displaystyle a\sim b}$ ${\displaystyle g(a)=g(b)}$ ${\displaystyle a,b\in X,}$ ${\displaystyle f:X/{\sim }\to Z}$ ${\displaystyle g=f\circ q.}$

Se dice que desciende al cociente para expresar esto, es decir que se factoriza a través del espacio del cociente. Los mapas continuos definidos en son, por tanto, precisamente aquellos mapas que surgen de mapas continuos definidos en que respetan la relación de equivalencia (en el sentido de que envían elementos equivalentes a la misma imagen). Este criterio se utiliza abundantemente al estudiar espacios cocientes. ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle X/{\sim }}$ ${\displaystyle X}$

Dada una sobreyección continua, es útil tener criterios mediante los cuales se pueda determinar si es un mapa de cocientes. Dos criterios suficientes son que sea abierto o cerrado . Tenga en cuenta que estas condiciones sólo son suficientes , no necesarias . Es fácil construir ejemplos de aplicaciones de cocientes que no sean ni abiertas ni cerradas. Para grupos topológicos, el mapa de cocientes está abierto. ${\displaystyle q:X\to Y}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle q}$

Compatibilidad con otras nociones topológicas

Separación

• En general, los espacios cocientes se comportan mal con respecto a los axiomas de separación. Las propiedades de separación de no necesitan ser heredadas y pueden tener propiedades de separación no compartidas por ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X/{\sim }}$ ${\displaystyle X/{\sim }}$ ${\displaystyle X.}$
• ${\displaystyle X/{\sim }}$es un espacio T1 si y sólo si cada clase de equivalencia de está cerrada en ${\displaystyle \,\sim \,}$ ${\displaystyle X.}$
• Si el mapa del cociente es abierto , entonces es un espacio de Hausdorff si y sólo si ~ es un subconjunto cerrado del espacio del producto ${\displaystyle X/{\sim }}$ ${\displaystyle X\times X.}$

Conectividad

• Si un espacio es conexo o un camino conexo , también lo son todos sus espacios cocientes.
• Un espacio cociente de un espacio simplemente conexo o contráctil no necesita compartir esas propiedades.

Compacidad

• Si un espacio es compacto, también lo son todos sus espacios cocientes.
• Un espacio cociente de un espacio localmente compacto no necesita ser localmente compacto.

Dimensión

• La dimensión topológica de un espacio cociente puede ser mayor (o menor) que la dimensión del espacio original; las curvas que llenan el espacio proporcionan tales ejemplos.

Ver también

Topología

• Espacio de cobertura  : tipo de mapa continuo en topología
• Unión disjunta (topología)  : espacio formado al equipar la unión disjunta de los conjuntos subyacentes con una topología natural llamada topología de unión disjunta.Pages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Topología final  : la mejor topología que hace que algunas funciones sean continuas
• Cono de mapeo (topología)  – construcción topológicaPages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Espacio de productos  : topología de productos cartesianos de espacios topológicosPages displaying short descriptions of redirect targets
• Subespacio (topología)  – Topología heredadaPages displaying short descriptions of redirect targets
• Espacio topológico  - Espacio matemático con noción de cercanía

Álgebra

• categoría de cociente
• Grupo de cociente  : grupo obtenido al agregar elementos similares de un grupo más grande.
• Espacio cociente (álgebra lineal)  : espacio vectorial que consta de subconjuntos afines
• Cono de mapeo (álgebra homológica)  - Herramienta en álgebra homológica

Notas

1. Marrón 2006, pag. 103.

Referencias

• Bourbaki, Nicolás (1989) [1966]. Topología general: capítulos 1 a 4 [ Topologie Générale ]. Elementos matemáticos . Berlín Nueva York: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-64241-1. OCLC  18588129.
• Bourbaki, Nicolás (1989) [1967]. Topología general 2: Capítulos 5 a 10 [ Topologie Générale ]. Elementos matemáticos . vol. 4. Berlín Nueva York: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-64563-4. OCLC  246032063.
• Brown, Ronald (2006), Topología y grupoides, Booksurge, ISBN 1-4196-2722-8
• Dixmier, Jacques (1984). Topología general . Textos de Pregrado en Matemáticas. Traducido por Berberian, SK Nueva York: Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-90972-1. OCLC  10277303.
• Dugundji, James (1966). Topología . Boston: Allyn y Bacon. ISBN 978-0-697-06889-7. OCLC  395340485.
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• Willard, Stephen (2004) [1970]. Topología general. Mineola, Nueva York : Publicaciones de Dover . ISBN 978-0-486-43479-7. OCLC  115240.
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