En matemáticas , un plano proyectivo es una estructura geométrica que amplía el concepto de plano . En el plano euclidiano ordinario, normalmente dos líneas se cruzan en un solo punto, pero hay algunos pares de líneas (es decir, líneas paralelas) que no se cruzan. Se puede considerar un plano proyectivo como un plano ordinario equipado con "puntos en el infinito" adicionales donde se cruzan líneas paralelas. Por lo tanto , dos líneas distintas en un plano proyectivo se cruzan exactamente en un punto.
Los artistas del Renacimiento, al desarrollar las técnicas del dibujo en perspectiva , sentaron las bases de este tema matemático. El ejemplo arquetípico es el plano proyectivo real , también conocido como plano euclidiano extendido . [1] Este ejemplo, en formas ligeramente diferentes, es importante en geometría algebraica , topología y geometría proyectiva , donde puede denotarse de diversas formas mediante PG(2, R ) , RP 2 o P 2 ( R ), entre otras notaciones. Existen muchos otros planos proyectivos, tanto infinitos, como el plano proyectivo complejo , como finitos, como el plano de Fano .
Un plano proyectivo es un espacio proyectivo bidimensional . No todos los planos proyectivos pueden integrarse en espacios proyectivos tridimensionales; tal integrabilidad es consecuencia de una propiedad conocida como teorema de Desargues , que no comparten todos los planos proyectivos.
Un plano proyectivo consta de un conjunto de rectas , un conjunto de puntos y una relación entre puntos y rectas llamada incidencia , que tiene las siguientes propiedades: [2]
La segunda condición significa que no hay líneas paralelas . La última condición excluye los llamados casos degenerados (ver más abajo). El término "incidencia" se utiliza para enfatizar la naturaleza simétrica de la relación entre puntos y líneas. Por lo tanto, se utiliza la expresión "el punto P incide con la línea ℓ " en lugar de " P está en ℓ " o " ℓ pasa por P ".
Para convertir el plano euclidiano ordinario en un plano proyectivo, proceda de la siguiente manera:
La estructura extendida es un plano proyectivo y se denomina plano euclidiano extendido o plano proyectivo real . El proceso reseñado anteriormente, utilizado para obtenerlo, se denomina "completación proyectiva" o proyectivización . Este plano también se puede construir comenzando desde R 3 visto como un espacio vectorial, consulte § Construcción del espacio vectorial a continuación.
Los puntos del plano de Moulton son los puntos del plano euclidiano, con coordenadas de la forma habitual. Para crear el plano de Moulton a partir del plano euclidiano se redefinen algunas de las líneas. Es decir, algunos de sus conjuntos de puntos cambiarán, pero otras líneas permanecerán sin cambios. Redefina todas las líneas con pendientes negativas para que parezcan líneas "dobladas", lo que significa que estas líneas mantienen sus puntos con coordenadas x negativas , pero el resto de sus puntos se reemplazan con los puntos de la línea con la misma intersección en y . pero el doble de la pendiente siempre que su coordenada x sea positiva.
El plano de Moulton tiene clases de líneas paralelas y es un plano afín . Se puede proyectivizar, como en el ejemplo anterior, para obtener el plano proyectivo de Moulton . El teorema de Desargues no es un teorema válido ni en el plano de Moulton ni en el plano proyectivo de Moulton.
Este ejemplo tiene sólo trece puntos y trece líneas. Etiquetamos los puntos P 1 , ..., P 13 y las rectas m 1 , ..., m 13 . La relación de incidencia (qué puntos están en qué líneas) puede estar dada por la siguiente matriz de incidencia . Las filas están etiquetadas por los puntos y las columnas están etiquetadas por las líneas. Un 1 en la fila i y la columna j significa que el punto Pi está en la línea m j , mientras que un 0 (que representamos aquí con una celda en blanco para facilitar la lectura) significa que no son incidentes. La matriz está en forma normal de Paige-Wexler.
Para verificar las condiciones que hacen de este un plano proyectivo, observe que cada dos filas tienen exactamente una columna común en la que aparecen unos (cada par de puntos distintos están exactamente en una línea común) y que cada dos columnas tienen exactamente una fila común en la que Aparecen unos (cada par de líneas distintas se encuentran exactamente en un punto). Entre muchas posibilidades, los puntos P1 , P4 , P5 y P8 , por ejemplo, cumplirán la tercera condición. Este ejemplo se conoce como plano proyectivo de orden tres .
Aunque la línea en el infinito del plano real extendido pueda parecer tener una naturaleza diferente a las otras líneas de ese plano proyectivo, este no es el caso. Otra construcción del mismo plano proyectivo muestra que ninguna línea puede distinguirse (en términos geométricos) de otra. En esta construcción, cada "punto" del plano proyectivo real es el subespacio unidimensional (una línea geométrica ) que pasa por el origen en un espacio vectorial tridimensional, y una "línea" en el plano proyectivo surge de un ( geométrico ) plano que pasa por el origen en el espacio tridimensional. Esta idea se puede generalizar y precisar de la siguiente manera. [3]
Sea K cualquier anillo de división (skewfield). Sea K 3 el conjunto de todos los tripletes x = ( x 0 , x 1 , x 2 ) de elementos de K (un producto cartesiano visto como un espacio vectorial ). Para cualquier x distinto de cero en K 3 , el subespacio mínimo de K 3 que contiene x (que puede visualizarse como todos los vectores en una línea que pasa por el origen) es el subconjunto
de K3 . De manera similar, sean x e y elementos linealmente independientes de K 3 , lo que significa que kx + my = 0 implica que k = m = 0 . El subespacio mínimo de K 3 que contiene x e y (que puede visualizarse como todos los vectores en un plano que pasa por el origen) es el subconjunto
de K3 . Este subespacio bidimensional contiene varios subespacios unidimensionales a través del origen que se pueden obtener fijando k y my tomando los múltiplos del vector resultante. Diferentes elecciones de k y m que están en la misma proporción darán la misma línea.
El plano proyectivo sobre K , denotado PG(2, K ) o K P 2 , tiene un conjunto de puntos que consta de todos los subespacios unidimensionales en K 3 . Un subconjunto L de los puntos de PG(2, K ) es una recta en PG(2, K ) si existe un subespacio bidimensional de K 3 cuyo conjunto de subespacios unidimensionales es exactamente L.
Verificar que esta construcción produce un plano proyectivo generalmente se deja como un ejercicio de álgebra lineal.
Una vista alternativa (algebraica) de esta construcción es la siguiente. Los puntos de este plano proyectivo son las clases de equivalencia del conjunto K 3 \ {(0, 0, 0)} módulo la relación de equivalencia
Las líneas en el plano proyectivo se definen exactamente como arriba.
Las coordenadas ( x 0 , x 1 , x 2 ) de un punto en PG(2, K ) se llaman coordenadas homogéneas . Cada tripleta ( x 0 , x 1 , x 2 ) representa un punto bien definido en PG(2, K ), excepto la tripleta (0, 0, 0) , que no representa ningún punto. Sin embargo, cada punto en PG(2, K ) está representado por muchos tripletes.
Si K es un espacio topológico , entonces K P 2 hereda una topología a través de las topologías producto , subespacio y cociente .
El plano proyectivo real RP 2 surge cuando se toma K como los números reales , R. Como variedad 2 real cerrada y no orientable , sirve como un ejemplo fundamental en topología. [4]
En esta construcción, considere la esfera unitaria centrada en el origen en R 3 . Cada una de las líneas R 3 en esta construcción corta la esfera en dos puntos antípodas. Dado que la recta R 3 representa un punto de RP 2 , obtendremos el mismo modelo de RP 2 identificando los puntos antípodas de la esfera. Las líneas de RP 2 serán los máximos círculos de la esfera luego de esta identificación de puntos antípodas. Esta descripción proporciona el modelo estándar de geometría elíptica .
El plano proyectivo complejo CP 2 surge cuando K se toma como los números complejos , C. Es una 2-variedad compleja cerrada y, por tanto, una 4-variedad real cerrada y orientable. Este y los planos proyectivos sobre otros campos (conocidos como planos pappianos ) sirven como ejemplos fundamentales en geometría algebraica . [5]
El plano proyectivo cuaterniónico HP 2 también es de interés independiente. [6]
Según el teorema de Wedderburn , un anillo de división finito debe ser conmutativo y, por tanto, ser un campo. Así, los ejemplos finitos de esta construcción se conocen como "planos de campo". Tomando K como el campo finito de q = p n elementos con p primo produce un plano proyectivo de q 2 + q + 1 puntos. Los planos de campo generalmente se denotan por PG(2, q ), donde PG significa geometría proyectiva, el "2" es la dimensión y q se llama orden del plano (es uno menos que el número de puntos en cualquier línea). . El plano de Fano, que se analiza a continuación, se denota por PG(2, 2). El tercer ejemplo anterior es el plano proyectivo PG(2, 3).
El plano de Fano es el plano proyectivo que surge del campo de dos elementos. Es el plano proyectivo más pequeño, con sólo siete puntos y siete rectas. En la figura de la derecha, los siete puntos se muestran como bolitas y las siete líneas se muestran como seis segmentos de línea y un círculo. Sin embargo, se podría considerar de manera equivalente que las bolas son las "líneas" y los segmentos de línea y el círculo como los "puntos"; este es un ejemplo de dualidad en el plano proyectivo: si las líneas y los puntos se intercambian, el resultado sigue siendo un plano proyectivo (ver más abajo). Una permutación de los siete puntos que lleva puntos colineales (puntos en la misma recta) a puntos colineales se llama colineación o simetría del plano. Las colineaciones de una geometría forman un grupo bajo composición, y para el plano de Fano este grupo ( PΓL(3, 2) = PGL(3, 2) ) tiene 168 elementos.
El teorema de Desargues es universalmente válido en un plano proyectivo si y sólo si el plano puede construirse a partir de un espacio vectorial tridimensional sobre un campo sesgado como se indicó anteriormente. [7] Estos aviones se denominan aviones desarguesianos , llamados así en honor a Girard Desargues . El plano proyectivo real (o complejo) y el plano proyectivo de orden 3 dados anteriormente son ejemplos de planos proyectivos desarguesianos. Los planos proyectivos que no pueden construirse de esta manera se denominan planos no desarguesianos , y el plano de Moulton mencionado anteriormente es un ejemplo de uno. La notación PG(2, K ) está reservada para los planos desarguesianos. Cuando K es un campo , caso muy común, también se les conoce como planos de campo y si el campo es finito se les puede llamar planos de Galois .
Un subplano de un plano proyectivo es un subconjunto de puntos del plano que a su vez forman un plano proyectivo con las mismas relaciones de incidencia.
(Bruck 1955) demuestra el siguiente teorema. Sea Π un plano proyectivo finito de orden N con un subplano propio Π 0 de orden M . Entonces N = M 2 o N ≥ M 2 + M .
Cuando N es un cuadrado, los subplanos de orden √ N se denominan subplanos de Baer . Cada punto del plano se encuentra sobre una línea de un subplano de Baer y cada línea del plano contiene un punto del subplano de Baer.
En los planos desarguesianos finitos PG(2, p n ), los subplanos tienen órdenes que son los órdenes de los subcampos del campo finito GF( p n ), es decir, p i donde i es un divisor de n . Sin embargo, en planos no desarguesianos, el teorema de Bruck proporciona la única información sobre los órdenes de los subplanos. No se sabe que ocurra el caso de igualdad en la desigualdad de este teorema. Si existe o no un subplano de orden M en un plano de orden N con M 2 + M = N es una cuestión abierta. Si tales subplanos existieran, habría planos proyectivos de orden compuesto (potencia no primaria).
Un subplano de Fano es un subplano isomorfo a PG(2, 2), el único plano proyectivo de orden 2.
Si se considera un cuadrilátero (un conjunto de 4 puntos sin tres colineales) en este plano, los puntos determinan seis de las líneas del plano. Los tres puntos restantes (llamados puntos diagonales del cuadrilátero) son los puntos donde se encuentran las líneas que no se cruzan en un punto del cuadrilátero. La séptima línea consta de todos los puntos diagonales (generalmente dibujados como un círculo o semicírculo).
En planos desarguesianos finitos, PG(2, q ), los subplanos de Fano existen si y sólo si q es par (es decir, una potencia de 2). La situación en los aviones no desarguesianos es inestable. Podrían existir en cualquier plano no desarguesiano de orden mayor que 6 y, de hecho, se han encontrado en todos los planos no desarguesianos en los que se han buscado (tanto en orden par como impar).
Una pregunta abierta, aparentemente debida a Hanna Neumann aunque no publicada por ella, es: ¿Todo plano no desarguesiano contiene un subplano Fano?
Un teorema sobre los subplanos de Fano debido a (Gleason 1956) es:
La proyectivización del plano euclidiano produjo el plano proyectivo real. La operación inversa (comenzando con un plano proyectivo, elimina una línea y todos los puntos incidentes con esa línea) produce un plano afín .
Más formalmente, un plano afín consta de un conjunto de líneas y un conjunto de puntos , y una relación entre puntos y líneas llamada incidencia , que tiene las siguientes propiedades:
La segunda condición significa que existen rectas paralelas y se conoce como axioma de Playfair . La expresión "no cumple" en esta condición es una abreviatura de "no existe un punto incidente con ambas líneas".
El plano euclidiano y el plano de Moulton son ejemplos de planos afines infinitos. Un plano proyectivo finito producirá un plano afín finito cuando se eliminen una de sus líneas y los puntos que contiene. El orden de un plano afín finito es el número de puntos de cualquiera de sus rectas (este será el mismo número que el orden del plano proyectivo del que procede). Los planos afines que surgen de los planos proyectivos PG(2, q ) se denotan por AG(2, q ).
Hay un plano proyectivo de orden N si y sólo si hay un plano afín de orden N. Cuando solo hay un plano afín de orden N, solo hay un plano proyectivo de orden N , pero lo contrario no es cierto. Los planos afines formados por la eliminación de diferentes líneas del plano proyectivo serán isomorfos si y sólo si las líneas eliminadas están en la misma órbita del grupo de colineación del plano proyectivo. Estas afirmaciones también son válidas para infinitos planos proyectivos.
El plano afín K 2 sobre K se incrusta en K P 2 a través del mapa que envía coordenadas afines (no homogéneas) a coordenadas homogéneas ,
El complemento de la imagen es el conjunto de puntos de la forma (0, x 1 , x 2 ) . Desde el punto de vista de la incrustación que acabamos de dar, estos puntos son los puntos en el infinito . Constituyen una línea en K P 2 , es decir, la línea que surge del plano
en K 3 —llamada línea en el infinito . Los puntos en el infinito son los puntos "extra" donde las líneas paralelas se cruzan en la construcción del plano real extendido; el punto (0, x 1 , x 2 ) es donde se cruzan todas las líneas de pendiente x 2 / x 1 . Consideremos, por ejemplo, las dos líneas
en el plano afín K 2 . Estas rectas tienen pendiente 0 y no se cruzan. Pueden considerarse como subconjuntos de K P 2 mediante la incorporación anterior, pero estos subconjuntos no son líneas en K P 2 . Agrega el punto (0, 1, 0) a cada subconjunto; es decir, deja
Estas son líneas en K P 2 ; ū surge del avión
en K 3 , mientras que ȳ surge del plano
Las líneas proyectivas ū y ȳ se cruzan en (0, 1, 0) . De hecho, todas las líneas en K 2 de pendiente 0, cuando se proyectivizan de esta manera, se cruzan en (0, 1, 0) en K P 2 .
La incorporación de K 2 en K P 2 dada anteriormente no es única. Cada incorporación produce su propia noción de puntos en el infinito. Por ejemplo, la incrustación
tiene como complemento aquellos puntos de la forma ( x 0 , 0, x 2 ) , que luego se consideran puntos en el infinito.
Cuando un plano afín no tiene la forma de K 2 con K un anillo de división, todavía se puede incrustar en un plano proyectivo, pero la construcción utilizada anteriormente no funciona. Un método comúnmente utilizado para llevar a cabo la incrustación en este caso implica expandir el conjunto de coordenadas afines y trabajar en un "álgebra" más general.
Se puede construir un "anillo" de coordenadas, el llamado anillo ternario plano (no un anillo genuino), correspondiente a cualquier plano proyectivo. Un anillo ternario plano no tiene por qué ser un campo o un anillo de división, y hay muchos planos proyectivos que no se construyen a partir de un anillo de división. Se denominan planos proyectivos no desarguesianos y son un área activa de investigación. El plano de Cayley ( OP 2 ), un plano proyectivo sobre los octoniones , es uno de ellos porque los octoniones no forman un anillo de división. [8]
Por el contrario, dado un anillo ternario plano ( R , T ), se puede construir un plano proyectivo (ver más abajo). La relación no es uno a uno. Un plano proyectivo puede estar asociado con varios anillos ternarios planos no isomórficos. El operador ternario T se puede utilizar para producir dos operadores binarios en el conjunto R , mediante:
El operador ternario es lineal si T ( x , m , k ) = x ⋅ m + k . Cuando el conjunto de coordenadas de un plano proyectivo forma realmente un anillo, se puede definir un operador ternario lineal de esta manera, utilizando las operaciones de anillo de la derecha, para producir un anillo ternario plano.
Las propiedades algebraicas de este anillo de coordenadas ternario plano resultan corresponder a las propiedades de incidencia geométrica del plano. Por ejemplo, el teorema de Desargues corresponde a que el anillo de coordenadas se obtenga a partir de un anillo de división , mientras que el teorema de Pappus corresponde a que este anillo se obtenga a partir de un campo conmutativo . Un plano proyectivo que satisface universalmente el teorema de Pappus se denomina plano papiano . Álgebras de división alternativas , no necesariamente asociativas , como los octoniones, corresponden a planos de Moufang .
No se conoce ninguna prueba puramente geométrica de la afirmación puramente geométrica de que el teorema de Desargues implica el teorema de Pappus en un plano proyectivo finito (los planos desarguesianos finitos son papios). (Lo contrario es cierto en cualquier plano proyectivo y se puede demostrar geométricamente, pero la finitud es esencial en esta afirmación ya que hay infinitos planos desarguesianos que no son papianos). La prueba más común utiliza coordenadas en un anillo de división y el teorema de Wedderburn de que los anillos de división finitos debe ser conmutativo; Bamberg y Penttila (2015) dan una prueba que utiliza sólo hechos algebraicos más "elementales" sobre los anillos de división.
Para describir un plano proyectivo finito de orden N (≥ 2) utilizando coordenadas no homogéneas y un anillo ternario plano:
Sobre estos puntos construya las siguientes líneas:
Por ejemplo, para N = 2 podemos usar los símbolos {0, 1} asociados con el campo finito de orden 2. La operación ternaria definida por T ( x , m , k ) = xm + k siendo las operaciones de la derecha la multiplicación y suma en el campo produce lo siguiente:
Los planos degenerados no cumplen la tercera condición en la definición de plano proyectivo. No son lo suficientemente complejos estructuralmente como para ser interesantes por sí mismos, pero de vez en cuando surgen como casos especiales en argumentos generales. Hay siete tipos de planos degenerados según (Albert y Sandler 1968). Ellos son:
Estos siete casos no son independientes, el cuarto y quinto pueden considerarse como casos especiales del sexto, mientras que el segundo y el tercero son casos especiales del cuarto y quinto respectivamente. El caso especial del séptimo plano sin líneas adicionales puede considerarse como un octavo plano. Por lo tanto, todos los casos se pueden organizar en dos familias de planos degenerados de la siguiente manera (esta representación es para planos degenerados finitos, pero puede extenderse a planos infinitos de forma natural):
1) Para cualquier número de puntos P 1 , ..., P n , y líneas L 1 , ..., L m ,
2) Para cualquier número de puntos P 1 , ..., P n , y rectas L 1 , ..., L n , (mismo número de puntos que rectas)
Una colineación de un plano proyectivo es un mapa biyectivo del plano consigo mismo que asigna puntos a puntos y líneas a líneas que preserva la incidencia, lo que significa que si σ es una biyección y el punto P está en la línea m , entonces P σ está en m σ . [9]
Si σ es una colineación de un plano proyectivo, un punto P con P = P σ se llama punto fijo de σ , y una recta m con m = m σ se llama recta fija de σ . Los puntos en una línea fija no necesitan ser puntos fijos, sus imágenes bajo σ simplemente están restringidas a estar en esta línea. La colección de puntos fijos y líneas fijas de una colineación forma una configuración cerrada , que es un sistema de puntos y líneas que satisfacen las dos primeras, pero no necesariamente la tercera, condición en la definición de plano proyectivo. Por tanto, la estructura de punto fijo y línea fija para cualquier colineación forman un plano proyectivo por sí mismos o un plano degenerado. Las colineaciones cuya estructura fija forma un plano se denominan colineaciones planas .
Una homografía (o transformación proyectiva ) de PG(2, K ) es una colineación de este tipo de plano proyectivo que es una transformación lineal del espacio vectorial subyacente. Usando coordenadas homogéneas, se pueden representar mediante matrices invertibles de 3 × 3 sobre K que actúan sobre los puntos de PG(2, K ) por y = M x T , donde x e y son puntos en K 3 (vectores) y M es un matriz invertible de 3 × 3 sobre K . [10] Dos matrices representan la misma transformación proyectiva si una es múltiplo constante de la otra. Así el grupo de transformaciones proyectivas es el cociente del grupo lineal general por las matrices escalares llamado grupo lineal proyectivo .
Otro tipo de colineación de PG(2, K ) es inducida por cualquier automorfismo de K , estas se denominan colineaciones automorfas . Si α es un automorfismo de K , entonces la colineación dada por ( x 0 , x 1 , x 2 ) → ( x 0 α , x 1 α , x 2 α ) es una colineación automórfica. El teorema fundamental de la geometría proyectiva dice que todas las colineaciones de PG(2, K ) son composiciones de homografías y colineaciones automórficas. Las colineaciones automórficas son colineaciones planas.
Un plano proyectivo se define axiomáticamente como una estructura de incidencia , en términos de un conjunto P de puntos, un conjunto L de líneas y una relación de incidencia I que determina qué puntos se encuentran en qué líneas. Como P y L son solo conjuntos, se pueden intercambiar sus roles y definir una estructura dual plana .
Intercambiando el papel de "puntos" y "líneas" en
obtenemos la estructura dual
donde I * es la relación inversa de I .
En un plano proyectivo, un enunciado que involucra puntos, líneas e incidencia entre ellos y que se obtiene de otro enunciado intercambiando las palabras "punto" y "línea" y haciendo los ajustes gramaticales que sean necesarios, se denomina enunciado dual plano del primero. . La afirmación dual plana de "Dos puntos están en una línea única". es "Dos líneas se encuentran en un punto único". Formar el plano dual de un enunciado se conoce como dualizar el enunciado.
Si un enunciado es verdadero en un plano proyectivo C , entonces el plano dual de ese enunciado debe ser verdadero en el plano dual C *. Esto se deduce ya que al dualizar cada afirmación en la prueba "en C " se obtiene una afirmación de la prueba "en C *".
En el plano proyectivo C , se puede demostrar que existen cuatro líneas, de las cuales no hay tres concurrentes. La dualización de este teorema y los dos primeros axiomas en la definición de plano proyectivo muestra que la estructura dual del plano C * también es un plano proyectivo, llamado plano dual de C.
Si C y C * son isomorfos, entonces C se llama autodual . Los planos proyectivos PG(2, K ) para cualquier anillo de división K son autoduales. Sin embargo, hay planos no desarguesianos que no son autoduales, como los planos Hall y algunos que sí lo son, como los planos Hughes .
El principio de dualidad de planos dice que dualizar cualquier teorema en un plano proyectivo autodual C produce otro teorema válido en C.
Una dualidad es un mapa desde un plano proyectivo C = ( P , L , I ) a su plano dual C * = ( L , P , I *) (ver arriba) que preserva la incidencia. Es decir, una dualidad σ asignará puntos a líneas y líneas a puntos ( P σ = L y L σ = P ) de tal manera que si un punto Q está en una línea m (denotada por Q I m ), entonces Q σ Yo * metro σ ⇔ metro σ Yo Q σ . Una dualidad que es un isomorfismo se llama correlación . [11] Si existe una correlación, entonces el plano proyectivo C es autodual.
En el caso especial de que el plano proyectivo sea del tipo PG(2, K ) , siendo K un anillo de división, una dualidad se llama reciprocidad . [12] Estos planos son siempre autoduales. Según el teorema fundamental de la geometría proyectiva una reciprocidad es la composición de una función automórfica de K y una homografía . Si el automorfismo involucrado es la identidad, entonces la reciprocidad se llama correlación proyectiva .
Una correlación de orden dos (una involución ) se llama polaridad . Si una correlación φ no es una polaridad, entonces φ 2 es una colineación no trivial.
Se puede demostrar que un plano proyectivo tiene el mismo número de líneas que puntos (infinitos o finitos). Así, para cada plano proyectivo finito existe un número entero N ≥ 2 tal que el plano tiene
El número N se llama orden del plano proyectivo.
El plano proyectivo de orden 2 se denomina plano de Fano . Véase también el artículo sobre geometría finita .
Usando la construcción del espacio vectorial con campos finitos existe un plano proyectivo de orden N = p n , para cada potencia prima p n . De hecho, para todos los planos proyectivos finitos conocidos, el orden N es una potencia prima.
La existencia de planos proyectivos finitos de otros órdenes es una cuestión abierta. La única restricción general conocida sobre el orden es el teorema de Bruck-Ryser-Chowla de que si el orden N es congruente con 1 o 2 mod 4, debe ser la suma de dos cuadrados. Esto descarta N = 6 . El siguiente caso N = 10 ha sido descartado mediante cálculos informáticos masivos. No se sabe nada más; en particular, la cuestión de si existe un plano proyectivo finito de orden N = 12 aún está abierta.
Otro problema abierto desde hace mucho tiempo es si existen planos proyectivos finitos de orden primo que no sean planos de campo finitos (de manera equivalente, si existe un plano proyectivo de orden primo no desarguesiano).
Un plano proyectivo de orden N es un sistema Steiner S(2, N + 1, N 2 + N + 1) (ver sistema Steiner ). Por el contrario, se puede demostrar que todos los sistemas Steiner de esta forma ( λ = 2 ) son planos proyectivos.
El número de cuadrados latinos mutuamente ortogonales de orden N es como máximo N − 1 . N − 1 existe si y sólo si hay un plano proyectivo de orden N.
Si bien la clasificación de todos los planos proyectivos está lejos de ser completa, se conocen resultados para pedidos pequeños:
Los planos proyectivos pueden considerarse como geometrías proyectivas de dimensión dos "geométrica". [15] Las geometrías proyectivas de dimensiones superiores se pueden definir en términos de relaciones de incidencia de una manera análoga a la definición de un plano proyectivo. Estos resultan ser "más dóciles" que los planos proyectivos, ya que los grados de libertad adicionales permiten demostrar geométricamente el teorema de Desargues en la geometría de dimensiones superiores. Esto significa que el "anillo" de coordenadas asociado a la geometría debe ser un anillo de división (campo sesgado) K , y la geometría proyectiva es isomorfa a la construida a partir del espacio vectorial K d +1 , es decir, PG( d , K ). Como en la construcción dada anteriormente, los puntos del espacio proyectivo d -dimensional PG( d , K ) son las líneas que pasan por el origen en K d +1 y una línea en PG( d , K ) corresponde a un plano que pasa por el origen. en K d +1 . De hecho, cada objeto i -dimensional en PG( d , K ), con i < d , es un subespacio vectorial ( i + 1) -dimensional (algebraico) de K d +1 ("pasa por el origen"). Los espacios proyectivos a su vez se generalizan a los espacios Grassmannianos .
Se puede demostrar que si el teorema de Desargues se cumple en un espacio proyectivo de dimensión mayor que dos, entonces también debe cumplirse en todos los planos contenidos en ese espacio. Dado que hay planos proyectivos en los que falla el teorema de Desargues ( planos no desarguesianos ), estos planos no pueden integrarse en un espacio proyectivo de dimensiones superiores. Sólo los planos de la construcción del espacio vectorial PG(2, K ) pueden aparecer en espacios proyectivos de dimensión superior. Algunas disciplinas matemáticas restringen el significado de plano proyectivo sólo a este tipo de plano proyectivo ya que, de lo contrario, las declaraciones generales sobre espacios proyectivos siempre tendrían que mencionar las excepciones cuando la dimensión geométrica es dos. [dieciséis]
