Avión de Moore

En matemáticas , el plano de Moore , también llamado a veces plano de Niemytzki (o plano de Nemytskii , topología del disco tangente de Nemytskii ), es un espacio topológico . Es un espacio de Hausdorff completamente regular (es decir, un espacio de Tichonoff ) que no es normal . Es un ejemplo de un espacio de Moore que no es metrizable . Recibe su nombre en honor a Robert Lee Moore y Viktor Vladimirovich Nemytskii .

Definición

Vecindario abierto del plano de Niemytzki, tangente al eje x

Si es el semiplano superior (cerrado) , entonces se puede definir una topología tomando una base local de la siguiente manera: ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \Gamma =\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}|y\geq 0\}}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}(p,q)}$

• Los elementos de la base local en los puntos con son los discos abiertos en el plano que son lo suficientemente pequeños como para estar dentro de . ${\displaystyle (x,y)}$ ${\displaystyle y>0}$ ${\displaystyle \Gamma }$
• Los elementos de la base local en los puntos son conjuntos donde A es un disco abierto en el semiplano superior que es tangente al eje x en p . ${\displaystyle p=(x,0)}$ ${\displaystyle \{p\}\cup A}$

Es decir, la base local viene dada por

${\displaystyle {\mathcal {B}}(p,q)={\begin{cases}\{U_{\epsilon }(p,q):=\{(x,y):(x-p)^{2}+(y-q)^{2}<\epsilon ^{2}\}\mid \epsilon >0\},&{\mbox{if }}q>0;\\\{V_{\epsilon }(p):=\{(p,0)\}\cup \{(x,y):(x-p)^{2}+(y-\epsilon )^{2}<\epsilon ^{2}\}\mid \epsilon >0\},&{\mbox{if }}q=0.\end{cases}}}$

Por lo tanto, la topología del subespacio heredada por es la misma que la topología del subespacio heredada de la topología estándar del plano euclidiano. ${\displaystyle \Gamma \backslash \{(x,0)|x\in \mathbb {R} \}}$

Representación gráfica del plano de Moore

Propiedades

• El plano de Moore es separable , es decir, tiene un subconjunto denso contable. ${\displaystyle \Gamma }$
• El plano de Moore es un espacio de Hausdorff completamente regular (es decir, espacio de Tichonoff ), que no es normal .
• El subespacio de tiene como topología de subespacio la topología discreta . Por lo tanto, el plano de Moore muestra que un subespacio de un espacio separable no necesita ser separable. ${\displaystyle \{(x,0)\in \Gamma |x\in R\}}$ ${\displaystyle \Gamma }$
• El plano de Moore es de primer contable , pero no de segundo contable o Lindelöf .
• El plano de Moore no es localmente compacto .
• El plano de Moore es contablemente metacompacto pero no metacompacto .

Prueba de que el plano de Moore no es normal

El hecho de que este espacio no sea normal se puede establecer mediante el siguiente argumento de conteo (que es muy similar al argumento de que el plano de Sorgenfrey no es normal): ${\displaystyle \Gamma }$

1. Por una parte, el conjunto contable de puntos con coordenadas racionales es denso en ; por lo tanto, toda función continua está determinada por su restricción a , por lo que puede haber como máximo muchas funciones continuas de valor real en . ${\displaystyle S:=\{(p,q)\in \mathbb {Q} \times \mathbb {Q} :q>0\}}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle f:\Gamma \to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle |\mathbb {R} |^{|S|}=2^{\aleph _{0}}}$ ${\displaystyle \Gamma }$
2. Por otra parte, la recta real es un subespacio discreto cerrado de con muchos puntos. Por lo tanto, hay muchas funciones continuas desde L hasta . No todas estas funciones se pueden extender a funciones continuas en . ${\displaystyle L:=\{(p,0):p\in \mathbb {R} \}}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}}$ ${\displaystyle 2^{2^{\aleph _{0}}}>2^{\aleph _{0}}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \Gamma }$
3. Por lo tanto no es normal, porque por el teorema de extensión de Tietze todas las funciones continuas definidas en un subespacio cerrado de un espacio normal pueden extenderse a una función continua en todo el espacio. ${\displaystyle \Gamma }$

De hecho, si X es un espacio topológico separable que tiene un subespacio discreto cerrado incontable, X no puede ser normal.

Véase también

• Espacio erizo

Referencias

• Stephen Willard. Topología general , (1970) Addison-Wesley ISBN  0-201-08707-3 .
• Steen, Lynn Arthur ; Seebach, J. Arthur Jr. (1995) [1978], Counterexamples in Topology ( reimpresión de Dover de la edición de 1978), Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-486-68735-3, Sr.  0507446 (Ejemplo 82)
• "Avión de Niemytzki". PlanetMath .