Compactación de piedra-Čech

En la disciplina matemática de la topología general , la compactificación Stone-Čech (o compactificación Čech-Stone ^[1] ) es una técnica para construir un mapa universal desde un espacio topológico X hasta un espacio compacto de Hausdorff βX . La compactación de Stone-Čech βX de un espacio topológico X es el espacio compacto de Hausdorff más grande y general "generado" por X , en el sentido de que cualquier mapa continuo desde X a un espacio compacto de Hausdorff factoriza a través de βX (de una manera única). Si X es un espacio de Tychonoff, entonces la aplicación de X a su imagen en βX es un homeomorfismo , por lo que se puede considerar a X como un subespacio ( denso ) de βX ; cualquier otro espacio compacto de Hausdorff que contenga densamente a X es un cociente de βX . Para espacios topológicos generales X , el mapa de X a βX no necesita ser inyectivo .

Se requiere una forma del axioma de elección para demostrar que todo espacio topológico tiene una compactación de Stone-Čech. Incluso para espacios X bastante simples , una descripción concreta accesible de βX a menudo sigue siendo difícil de alcanzar. En particular, las pruebas de que βX  \  X no está vacía no dan una descripción explícita de ningún punto particular en βX  \  X.

La compactación Stone-Čech ocurre implícitamente en un artículo de Andrey Nikolayevich Tychonoff  (1930) y fue dada explícitamente por Marshall Stone  (1937) y Eduard Čech  (1937).

Historia

Andrey Nikolayevich Tikhonov introdujo espacios completamente regulares en 1930 para evitar la situación patológica de los espacios de Hausdorff cuyas únicas funciones continuas de valor real son mapas constantes. ^[2]

En el mismo artículo de 1930 donde Tychonoff definió espacios completamente regulares, también demostró que todo espacio de Tychonoff (es decir, espacio de Hausdorff completamente regular) tiene una compactación de Hausdorff (en este mismo artículo, también demostró el teorema de Tychonoff ). En 1937, Čech amplió la técnica de Tychonoff e introdujo la notación β X para esta compactación. Stone también construyó β X en un artículo de 1937, aunque utilizando un método muy diferente. A pesar de que el artículo de Tychonoff es el primer trabajo sobre el tema de la compactación Stone-Čech y a pesar de que tanto Stone como Čech hacen referencia al artículo de Tychonoff, el nombre de Tychonoff rara vez se asocia con β X. ^[3]

Propiedad universal y funcionalidad

La compactación de Stone-Čech del espacio topológico X es un espacio compacto de Hausdorff βX junto con un mapa continuo i _X  : X → βX que tiene la siguiente propiedad universal : cualquier mapa continuo f  : X → K , donde K es un espacio compacto de Hausdorff , se extiende únicamente a un mapa continuo βf  : βX → K , es decir ( βf ) i _X = f . ^[4]

La propiedad universal de la compactación de Stone-Cech expresada en forma de diagrama.

Como es habitual en las propiedades universales, esta propiedad universal caracteriza a βX hasta el homeomorfismo .

Como se describe en § Construcciones, a continuación, se puede probar (usando el axioma de elección) que tal compactificación de Stone-Čech i _X  : X → βX existe para cada espacio topológico X . Además, la imagen i _X ( X ) es densa en βX .

Algunos autores añaden el supuesto de que el espacio inicial X sea Tychonoff (o incluso Hausdorff localmente compacto ), por las siguientes razones:

• La aplicación de X a su imagen en βX es un homeomorfismo si y sólo si X es Tychonoff.
• La aplicación de X a su imagen en βX es un homeomorfismo de un subespacio abierto si y sólo si X es Hausdorff localmente compacto.

La construcción de Stone-Čech se puede realizar para espacios más generales X , pero en ese caso el mapa X → βX no necesita ser un homeomorfismo de la imagen de X (y a veces ni siquiera es inyectivo).

Como es habitual en construcciones universales como esta, la propiedad de extensión convierte a β en un funtor desde Top (la categoría de espacios topológicos ) hasta CHaus (la categoría de espacios compactos de Hausdorff). Además, si dejamos que U sea el functor de inclusión de CHaus en Top , los mapas de βX a K (para K en CHaus ) corresponden biyectivamente a los mapas de X a UK (considerando su restricción a X y usando la propiedad universal de βX ). es decir

Hom( βX , K ) ≅ Hom( X , Reino Unido ),

lo que significa que β se deja junto a U. Esto implica que CHaus es una subcategoría reflectante de Top con reflector β .

Ejemplos

Si X es un espacio compacto de Hausdorff, entonces coincide con su compactificación de Stone-Čech. ^[5]

La compactación de Stone-Čech del primer ordinal incontable , con la topología de orden , es el ordinal . La compactación Stone-Čech de la tabla de Tychonoff eliminada es la tabla de Tychonoff. ^[6] ${\displaystyle \omega _{1}}$ ${\displaystyle \omega _{1}+1}$

Construcciones

Construcción utilizando productos.

Un intento de construir la compactificación de X de Stone-Čech es tomar el cierre de la imagen de X en

${\displaystyle \prod \nolimits _{f:X\to K}K}$

donde el producto está sobre todos los mapas desde X hasta los espacios compactos de Hausdorff K (o, de manera equivalente, la imagen de X por la extensión Kan derecha del funtor de identidad de la categoría CHaus de los espacios compactos de Hausdorff a lo largo del functor de inclusión de CHaus en la categoría Top de espacios topológicos generales). Según el teorema de Tychonoff, este producto de espacios compactos es compacto y, por tanto, la clausura de X en este espacio también es compacta. Esto funciona intuitivamente pero falla por la razón técnica de que la colección de todos esos mapas es una clase adecuada en lugar de un conjunto. Hay varias formas de modificar esta idea para que funcione; por ejemplo, se pueden restringir los espacios compactos de Hausdorff K para que tengan un conjunto subyacente P ( P ( X )) (el conjunto potencia del conjunto potencia de X ), que sea lo suficientemente grande como para tener una cardinalidad al menos igual a la de cada compacto. Espacio de Hausdorff al que se puede asignar X con una imagen densa.

Construcción utilizando el intervalo unitario.

Una forma de construir βX es dejar que C sea el conjunto de todas las funciones continuas desde X hasta [0, 1] y considerar el mapa donde ${\displaystyle e:X\to [0,1]^{C}}$

${\displaystyle e(x):f\mapsto f(x)}$

Esto puede verse como un mapa continuo en su imagen, si a [0, 1] ^C se le da la topología del producto . Por el teorema de Tychonoff tenemos que [0, 1] ^C es compacto ya que [0, 1] lo es. En consecuencia, la clausura de X en [0, 1] ^C es una compactación de X .

De hecho, este cierre es la compactación de Stone-Čech. Para verificar esto, solo necesitamos verificar que la clausura satisfaga la propiedad universal apropiada. Hacemos esto primero para K = [0, 1], donde la extensión deseada de f  : X → [0, 1] es solo la proyección sobre la coordenada f en [0, 1] ^C . Para luego obtener esto para el compacto general de Hausdorff K, usamos lo anterior para observar que K puede incrustarse en algún cubo, extender cada una de las funciones de coordenadas y luego tomar el producto de estas extensiones.

La propiedad especial del intervalo unitario necesario para que esta construcción funcione es que es un cogenerador de la categoría de espacios compactos de Hausdorff: esto significa que si A y B son espacios compactos de Hausdorff, y f y g son aplicaciones distintas de A a B , entonces hay un mapa h  : B → [0, 1] tal que hf y hg son distintos. En esta construcción se puede utilizar cualquier otro cogenerador (o conjunto cogenerador).

Construcción mediante ultrafiltros.

Alternativamente, si es discreto , entonces es posible construirlo como el conjunto de todos los ultrafiltros con los elementos correspondientes a los ultrafiltros principales . La topología del conjunto de ultrafiltros, conocida como ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \beta X}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X}$La topología de piedra , se genera por conjuntos de la formaparaun subconjunto de ${\displaystyle \{F:U\in F\}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X.}$

Nuevamente verificamos la propiedad universal: Porque con Hausdorff compacto y un ultrafiltro encendido tenemos una base de ultrafiltro en el avance de Esto tiene un límite único porque es Hausdorff compacto, digamos y definimos Esto puede verificarse como una extensión continua de ${\displaystyle f:X\to K}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f(F)}$ ${\displaystyle K,}$ ${\displaystyle F.}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle \beta f(F)=x.}$ ${\displaystyle f.}$

De manera equivalente, se puede tomar el espacio de Stone del álgebra booleana completa de todos los subconjuntos de como la compactificación de Stone-Čech. Esta es realmente la misma construcción, ya que el espacio de Stone de este álgebra booleana es el conjunto de ultrafiltros (o ideales primos equivalentes , u homomorfismos del álgebra booleana de 2 elementos) del álgebra booleana, que es el mismo que el conjunto de ultrafiltros en ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$

La construcción se puede generalizar a espacios arbitrarios de Tychonoff utilizando filtros máximos de conjuntos de ceros en lugar de ultrafiltros. ^[7] (Los filtros de conjuntos cerrados son suficientes si el espacio es normal ).

Construcción utilizando álgebras C*

La compactación de Stone-Čech es naturalmente homeomórfica con respecto al espectro de C _b ( X ). ^[8] Aquí C _b ( X ) denota el álgebra C* de todas las funciones continuas acotadas de valores complejos en X con sup-norm . Observe que C _b ( X ) es canónicamente isomorfo al álgebra multiplicadora de C ₀ ( X ).

La compactación de los números naturales de Stone-Čech

En el caso en que X es localmente compacto , por ejemplo N o R , la imagen de X forma un subconjunto abierto de βX , o incluso de cualquier compactación (esta también es una condición necesaria, ya que un subconjunto abierto de un espacio compacto de Hausdorff es localmente compacto). compacto). En este caso, a menudo se estudia el resto del espacio, βX  \  X. Este es un subconjunto cerrado de βX y, por tanto, compacto. Consideramos N con su topología discreta y escribimos β N  \  N = N * (pero esto no parece ser una notación estándar para X general ).

Como se explicó anteriormente , se puede ver β N como el conjunto de ultrafiltros en N , con la topología generada por conjuntos de la forma para U un subconjunto de N. El conjunto N corresponde al conjunto de ultrafiltros principales , y el conjunto N * al conjunto de ultrafiltros libres . ${\displaystyle \{F:U\in F\}}$

El estudio de β N , y en particular de N *, es un área importante de la topología moderna de la teoría de conjuntos . Los principales resultados que motivan esto son los teoremas de Parovicenko , que esencialmente caracterizan su comportamiento bajo el supuesto de la hipótesis del continuo .

Estos estados:

• Cada espacio compacto de peso de Hausdorff como máximo (ver número de Aleph ) es la imagen continua de N * (esto no necesita la hipótesis del continuo, pero es menos interesante en su ausencia). ${\displaystyle \aleph _{1}}$
• Si se cumple la hipótesis del continuo entonces N * es el único espacio de Parovicenko , hasta el isomorfismo.

Estos se demostraron originalmente considerando álgebras booleanas y aplicando la dualidad de Stone .

Jan van Mill ha descrito a β N como un "monstruo de tres cabezas": las tres cabezas son una cabeza sonriente y amigable (el comportamiento bajo el supuesto de la hipótesis del continuo), la fea cabeza de la independencia que constantemente trata de confundirte (determinando qué el comportamiento es posible en diferentes modelos de teoría de conjuntos), y la tercera cabeza es la más pequeña de todas (lo que puedes probar al respecto en ZFC ). ^[9] Se ha observado relativamente recientemente que esta caracterización no es del todo correcta; de hecho, hay una cuarta cabeza de β N , en la que los axiomas forzados y los axiomas de tipo Ramsey dan propiedades de β N casi diametralmente opuestas a las del continuo. hipótesis, dando muy pocos mapas de N * de hecho. Ejemplos de estos axiomas incluyen la combinación del axioma de Martin y el axioma de coloración abierta que, por ejemplo, prueban que ( N *) ² ≠ N *, mientras que la hipótesis del continuo implica lo contrario.

Una aplicación: el espacio dual del espacio de secuencias acotadas de reales

La compactación de Stone-Čech β N se puede utilizar para caracterizar (el espacio de Banach de todas las secuencias acotadas en el campo escalar R o C , con norma suprema ) y su espacio dual . ${\displaystyle \ell ^{\infty }(\mathbf {N} )}$

Dada una secuencia acotada existe una bola cerrada B en el campo escalar que contiene la imagen de . es entonces una función de N a B . Como N es discreto y B es compacto y Hausdorff, a es continua. Según la propiedad universal, existe una extensión única βa  : β N → B . Esta extensión no depende de la bola B que consideremos. ${\displaystyle a\in \ell ^{\infty }(\mathbf {N} )}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a}$

Hemos definido un mapa de extensión desde el espacio de secuencias escalares acotadas al espacio de funciones continuas sobre β N.

${\displaystyle \ell ^{\infty }(\mathbf {N} )\to C(\beta \mathbf {N} )}$

Este mapa es biyectivo ya que cada función en C ( β N ) debe estar acotada y luego puede restringirse a una secuencia escalar acotada.

Si consideramos además ambos espacios con la norma sup, el mapa de extensión se convierte en una isometría . De hecho, si en la construcción anterior tomamos la bola B más pequeña posible , vemos que la norma sup de la secuencia extendida no crece (aunque la imagen de la función extendida puede ser más grande).

Por tanto, se puede identificar con C ( β N ). Esto nos permite usar el teorema de representación de Riesz y encontrar que el espacio dual de puede identificarse con el espacio de medidas finitas de Borel en β N. ${\displaystyle \ell ^{\infty }(\mathbf {N} )}$ ${\displaystyle \ell ^{\infty }(\mathbf {N} )}$

Finalmente, cabe señalar que esta técnica se generaliza al espacio L ^{∞ de un} espacio de medida arbitraria X . Sin embargo, en lugar de simplemente considerar el espacio βX de ultrafiltros en X , la forma correcta de generalizar esta construcción es considerar el espacio Stone Y del álgebra de medidas de X : los espacios C ( Y ) y L ^∞ ( X ) son isomorfos como C*-álgebras siempre que X satisfaga una condición de finitud razonable (que cualquier conjunto de medidas positivas contenga un subconjunto de medidas positivas finitas).

Una operación monoide sobre la compactación de los naturales de Stone-Čech

Los números naturales forman un monoide mediante la suma . Resulta que esta operación se puede extender (generalmente en más de una forma, pero únicamente bajo una condición adicional) a β N , convirtiendo este espacio también en un monoide, aunque sorprendentemente no conmutativo.

Para cualquier subconjunto, A , de N y un entero positivo n en N , definimos

${\displaystyle A-n=\{k\in \mathbf {N} \mid k+n\in A\}.}$

Dados dos ultrafiltros F y G en N , definimos su suma por

${\displaystyle F+G={\Big \{}A\subseteq \mathbf {N} \mid \{n\in \mathbf {N} \mid A-n\in F\}\in G{\Big \}};}$

se puede comprobar que se trata nuevamente de un ultrafiltro, y que la operación + es asociativa (pero no conmutativa) sobre β N y extiende la suma sobre N ; 0 sirve como elemento neutro para la operación + en β N . La operación también es continua a la derecha, en el sentido de que para cada ultrafiltro F , el mapa

${\displaystyle {\begin{cases}\beta \mathbf {N} \to \beta \mathbf {N} \\G\mapsto F+G\end{cases}}}$

es continuo.

De manera más general, si S es un semigrupo con topología discreta, la operación de S puede extenderse a βS , obteniendo una operación asociativa continua por la derecha. ^[10]

Ver también

• Compactificación (matemáticas)  : incrustar un espacio topológico en un espacio compacto como un subconjunto denso
• Filtros en topología  : uso de filtros para describir y caracterizar todas las nociones y resultados topológicos básicos.
• Compactificación de un punto  : forma de ampliar un espacio topológico no compactoPages displaying short descriptions of redirect targets
• Compactificación de Wallman  : una compactificación de espacios topológicos T ₁

Notas

1. M. Henriksen, "Anillos de funciones continuas en la década de 1950", en Manual de historia de la topología general , editado por CE Aull, R. Lowen, Springer Science & Business Media, 2013, p. 246
2. Narici y Beckenstein 2011, pag. 240.
3. Narici y Beckenstein 2011, págs. 225-273.
4. Munkres 2000, págs. 239, teorema 38.4.
5. Munkres 2000, págs.241.
6. Caminante, RC (1974). La compactación Stone-Čech. Saltador. págs. 95–97. ISBN 978-3-642-61935-9.
7. WW Comfort, S. Negrepontis, La teoría de los ultrafiltros , Springer, 1974.
8. Esta es la construcción original de Stone.
9. van Mill, Jan (1984), "Una introducción a βω", en Kunen, Kenneth; Vaughan, Jerry E. (eds.), Manual de topología teórica de conjuntos , Holanda Septentrional, págs. 503–560, ISBN 978-0-444-86580-9
10. Hindman, Neil; Strauss, Doña (21 de enero de 2011). Álgebra en la compactación Stone-Cech . Berlín, Boston: DE GRUYTER. doi :10.1515/9783110258356. ISBN 978-3-11-025835-6.

Referencias

• Čech, Eduard (1937), "Sobre espacios bicompactos", Annals of Mathematics , 38 (4): 823–844, doi :10.2307/1968839, hdl : 10338.dmlcz/100420 , JSTOR  1968839
• Dunford, Nelson ; Schwartz, Jacob T. (1988). Operadores lineales , vol. I: teoría general (Wiley Classics ed.). John Wiley e hijos. pag. 276.
• Hindman, Neil ; Strauss, Dona (1998), Álgebra en la compactificación Stone-Cech. Teoría y aplicaciones , Exposiciones de Matemáticas de Gruyter, vol. 27 (segunda edición revisada y ampliada de 2012), Berlín: Walter de Gruyter & Co., págs. xiv+485 págs, doi :10.1515/9783110809220, ISBN 978-3-11-015420-7, señor  1642231
• Munkres, James R. (2000). Topología (Segunda ed.). Upper Saddle River, Nueva Jersey : Prentice Hall, Inc. ISBN 978-0-13-181629-9. OCLC  42683260.
• Koshevnikova, IG (2001) [1994], "Compactificación de Stone-Čech", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Narici, Lorenzo; Beckenstein, Eduardo (2011). Espacios vectoriales topológicos . Matemática pura y aplicada (Segunda ed.). Boca Ratón, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834.
• Shields, Allen (1987), "Hace años", Mathematical Intelligencer , 9 (2): 61–63, doi :10.1007/BF03025901, S2CID  189886579
• Stone, Marshall H. (1937), "Aplicaciones de la teoría de los anillos booleanos a la topología general", Transactions of the American Mathematical Society , 41 (3): 375–481, doi : 10.2307/1989788 , JSTOR  1989788
• Tychonoff, Andrey (1930), "Über die topologische Erweiterung von Räumen", Mathematische Annalen , 102 : 544–561, doi :10.1007/BF01782364, ISSN  0025-5831, S2CID  124737286

enlaces externos

• Compactación de Stone-Čech en Planet Math
• Dror Bar-Natan, ultrafiltros, compacidad y compactación Stone-Čech