Subcategoría reflectante

En matemáticas , se dice que una subcategoría completa A de una categoría B es reflexiva en B cuando el funtor de inclusión de A a B tiene un adjunto izquierdo . ^[1]^{: 91} Este adjunto a veces se denomina reflector o localización . ^[2] Dualmente, se dice que A es correflectivo en B cuando el funtor de inclusión tiene un adjunto derecho .

Informalmente, un reflector actúa como una especie de operación de finalización. Agrega cualquier pieza "faltante" de la estructura de tal manera que reflejarla nuevamente no tiene ningún efecto adicional.

Definición

Se dice que una subcategoría completa A de una categoría B es reflexiva en B si para cada B - objeto B existe un A - objeto y un B - morfismo tal que para cada B -morfismo de un A -objeto existe un A único -morfismo con . ${\ Displaystyle A_ {B}}$ $r_{B}\dos puntos B\to A_{B}$ $f\dos puntos B\a A$ $A$ ${\overline {f}}\colon A_{B}\to A$ ${\overline {f}}\circ r_{B}=f$

El par se llama reflexión A de B. El morfismo se llama flecha de reflexión A. (Aunque a menudo, en aras de la brevedad, hablamos sólo como el reflejo A de B ). $(A_{B},r_{B})$ ${\ Displaystyle r_ {B}}$ ${\ Displaystyle A_ {B}}$

Esto equivale a decir que el funtor de incrustación es un adjunto derecho. El functor adjunto izquierdo se llama reflector . El mapa es la unidad de esta adjunción. $E\dos puntos \mathbf {A} \hookrightarrow \mathbf {B}$ $R\dos puntos \mathbf {B} \to \mathbf {A}$ ${\ Displaystyle r_ {B}}$

El reflector se asigna al objeto A y para un morfismo B está determinado por el diagrama de conmutación $B$ ${\ Displaystyle A_ {B}}$ $Rf$ $f$

Si todas las flechas de reflexión A son epimorfismos (extremos) , entonces se dice que la subcategoría A es epirreflectiva (extrema) . De manera similar, es birreflectante si todas las flechas de reflexión son bimorfismos .

Todas estas nociones son un caso especial de la generalización común: la subcategoría reflexiva, donde hay una clase de morfismos. $E$ $E$

El casco reflectante de una clase A de objetos se define como la subcategoría reflectante más pequeña que contiene A. Así podemos hablar de casco reflectante, casco epirreflectante, casco epirreflectante extremo, etc. $E$ $E$

Una subcategoría antirreflectante es una subcategoría A completa tal que los únicos objetos de B que tienen una flecha de reflexión A son aquellos que ya están en A. ^{[ cita necesaria ]}

Nociones duales a las nociones mencionadas anteriormente son correflexión, flecha de correflexión, subcategoría (mono)correflectiva, casco correflectivo, subcategoría anticorreflectiva.

Ejemplos

Álgebra

La categoría de grupos abelianos Ab es una subcategoría reflexiva de la categoría de grupos , Grp . El reflector es el funtor que envía a cada grupo a su abelianización . A su vez, la categoría de grupos es una subcategoría reflexiva de la categoría de semigrupos inversos . ^[3]
De manera similar, la categoría de álgebras asociativas conmutativas es una subcategoría reflexiva de todas las álgebras asociativas, donde el reflector está cociente por el ideal del conmutador . Este se utiliza en la construcción del álgebra simétrica a partir del álgebra tensorial .
Dualmente, la categoría de álgebras asociativas anticonmutativas es una subcategoría reflexiva de todas las álgebras asociativas, donde el reflector está cociente por el ideal anticonmutador. Esto se utiliza en la construcción del álgebra exterior a partir del álgebra tensorial.
La categoría de campos es una subcategoría reflectante de la categoría de dominios integrales (con homomorfismos de anillo inyectivos como morfismos). El reflector es el funtor que envía cada dominio integral a su campo de fracciones .
La categoría de grupos de torsión abelianos es una subcategoría correflectiva de la categoría de grupos abelianos. El correflector es el funtor que envía cada grupo a su subgrupo de torsión .
Las categorías de grupos abelianos elementales , p -grupos abelianos y p -grupos son todas subcategorías reflectantes de la categoría de grupos, y los núcleos de los mapas de reflexión son importantes objetos de estudio; ver teorema del subgrupo focal .
La categoría de grupos es una subcategoría correflectiva de la categoría de monoides : el adjunto derecho asigna un monoide a su grupo de unidades . ^[4]

Topología

La categoría de espacios de Kolmogorov (espacios T ₀ ) es una subcategoría reflexiva de Top , la categoría de espacios topológicos , y el cociente de Kolmogorov es el reflector.
La categoría de espacios completamente regulares CReg es una subcategoría reflexiva de Top . Al tomar los cocientes de Kolmogorov, se ve que la subcategoría de espacios de Tychonoff también es reflexiva.
La categoría de todos los espacios compactos de Hausdorff es una subcategoría reflectante de la categoría de todos los espacios de Tychonoff (y de la categoría de todos los espacios topológicos ^[2]^{: 140} ). El reflector viene dado por la compactación de Stone-Čech .
La categoría de todos los espacios métricos completos con asignaciones uniformemente continuas es una subcategoría reflectante de la categoría de espacios métricos . El reflector es la finalización de un espacio métrico en los objetos y la extensión por densidad en las flechas. ^[1]^{: 90}
La categoría de haces es una subcategoría reflexiva de prehaces en un espacio topológico. El reflector es la gavilla, que asigna a una pregavilla el haz de secciones del haz de sus gérmenes.

Análisis funcional

La categoría de espacios de Banach es una subcategoría reflectante de la categoría de espacios normados y operadores lineales acotados . El reflector es el funtor de finalización de normas.

Teoría de categorías

Para cualquier sitio de Grothendieck ( C , J ), el topos de haces en ( C , J ) es una subcategoría reflexiva de los topos de prehaces en C , con la propiedad especial adicional de que el funtor reflector queda exacto . El reflector es el funtor de sheafificación a : Presh( C ) → Sh( C , J ), y el par adjunto ( a , i ) es un ejemplo importante de un morfismo geométrico en la teoría del topos.

Propiedades

Los componentes de la unidad son isomorfismos . ^[2]^{: 140}^[1]
Si D es una subcategoría reflexiva de C , entonces el funtor de inclusión D → C crea todos los límites que están presentes en C. ^[2]^{: 141}
Una subcategoría reflectante tiene todos los colimits que están presentes en la categoría ambiental. ^[2]^{: 141}
La mónada inducida por la conjunción reflector/localización es idempotente. ^[2]^{: 158}

Notas

^ abc Mac Lane, Saunders, 1909-2005. (1998). Categorías para el matemático trabajador (2ª ed.). Nueva York: Springer. pag. 89.ISBN 0387984038. OCLC 37928530.{{cite book}}: Mantenimiento CS1: varios nombres: lista de autores ( enlace ) Mantenimiento CS1: nombres numéricos: lista de autores ( enlace )
^ abcdef Riehl, Emily (9 de marzo de 2017). Teoría de categorías en contexto . Mineola, Nueva York. pag. 140.ISBN 9780486820804. OCLC 976394474.{{cite book}}: Mantenimiento CS1: falta el editor de la ubicación ( enlace )
^ Lawson (1998), pág. 63, Teorema 2.
^ "subcategoría correflectiva en nLab". ncatlab.org . Consultado el 2 de abril de 2019 .

Referencias

Adámek, Jiří; Horst Herrlich; George E. Strecker (1990). Categorías abstractas y concretas (PDF) . Nueva York: John Wiley & Sons .
Peter Freyd , André Scedrov (1990). Categorías, Alegorías . Biblioteca de Matemáticas Vol 39. Holanda Septentrional . ISBN 978-0-444-70368-2.
Herrlich, Horst (1968). Topologische Reflexionen und Coreflexionen . Apuntes de clases de matemáticas. 78. Berlín: Springer .
Mark V. Lawson (1998). Semigrupos inversos: la teoría de las simetrías parciales . Científico mundial. ISBN 978-981-02-3316-7.