Dual (teoría de categorías)

Correspondencia entre propiedades de una categoría y su opuesta

En la teoría de categorías , una rama de las matemáticas , la dualidad es una correspondencia entre las propiedades de una categoría C y las propiedades duales de la categoría opuesta C ^op . Dada una afirmación relativa a la categoría C , al intercambiar la fuente y el destino de cada morfismo , así como al intercambiar el orden de composición de dos morfismos, se obtiene una afirmación dual correspondiente respecto de la categoría opuesta C ^op . La dualidad, como tal, es la afirmación de que la verdad es invariante bajo esta operación sobre los enunciados. En otras palabras, si un enunciado es verdadero respecto de C , entonces su enunciado dual es verdadero respecto de C ^op . Además, si un enunciado es falso respecto de C , entonces su dual tiene que ser falso respecto de C ^op .

Dada una categoría concreta C , a menudo ocurre que la categoría opuesta C ^op per se es abstracta. Cop no ^tiene por qué ser una categoría que surja de la práctica matemática. En este caso, también se dice que otra categoría D está en dualidad con C si D y C ^op son equivalentes como categorías .

En el caso en que C y su opuesto C ^op sean equivalentes, dicha categoría es autodual. ^[1]

Definicion formal

Definimos el lenguaje elemental de la teoría de categorías como el lenguaje de primer orden de dos tipos con objetos y morfismos como tipos distintos, junto con las relaciones de un objeto como fuente o destino de un morfismo y un símbolo para componer dos morfismos.

Sea σ cualquier enunciado en este lenguaje. Formamos el dual σ ^op de la siguiente manera:

1. Intercambie cada aparición de "fuente" en σ con "destino".
2. Intercambia el orden de composición de los morfismos. Es decir, reemplace cada aparición de con ${\displaystyle g\circ f}$ ${\displaystyle f\circ g}$

Informalmente, estas condiciones establecen que el dual de un enunciado se forma invirtiendo flechas y composiciones .

La dualidad es la observación de que σ es verdadera para alguna categoría C si y sólo si σ ^op es verdadera para C ^op . ^{[2] [3]}

Ejemplos

• Un morfismo es un monomorfismo si implica . Al realizar la operación dual, obtenemos la afirmación que implica que para un morfismo , esto es precisamente lo que significa que f sea un epimorfismo . En resumen, la propiedad de ser monomorfismo es dual a la propiedad de ser epimorfismo. ${\displaystyle f\colon A\to B}$ ${\displaystyle f\circ g=f\circ h}$ ${\displaystyle g=h}$ ${\displaystyle g\circ f=h\circ f}$ ${\displaystyle g=h.}$ ${\displaystyle f\colon B\to A}$

Aplicando la dualidad, esto significa que un morfismo en alguna categoría C es un monomorfismo si y sólo si el morfismo inverso en la categoría opuesta C ^op es un epimorfismo.

• Un ejemplo proviene de invertir la dirección de las desigualdades en un orden parcial . Entonces, si X es un conjunto y ≤ una relación de orden parcial, podemos definir una nueva relación de orden parcial ≤ _nueva por

x ≤ _nuevo y si y solo si y ≤ x .

Este ejemplo de órdenes es un caso especial, ya que las órdenes parciales corresponden a un cierto tipo de categoría en la que Hom( A , B ) puede tener como máximo un elemento. En aplicaciones a la lógica, esto parece una descripción muy general de la negación (es decir, las pruebas van en la dirección opuesta). Por ejemplo, si tomamos lo opuesto a una celosía , encontraremos que las reuniones y las uniones tienen sus roles intercambiados. Ésta es una forma abstracta de las leyes de De Morgan , o de la dualidad aplicada a las redes.

• Límites y colimites son nociones duales.
• Las fibraciones y cofibraciones son ejemplos de nociones duales en topología algebraica y teoría de la homotopía . En este contexto, la dualidad a menudo se denomina dualidad de Eckmann-Hilton .

Ver también

• funtor adjunto
• Objeto dual
• Dualidad (matemáticas)
• Categoría opuesta
• Plaza de Pulación

Referencias

1. Jiří Adámek; J. Rosický (1994). Categorías localmente presentables y accesibles. Prensa de la Universidad de Cambridge. pag. 62.ISBN _ 978-0-521-42261-1.
2. Mac Lane 1978, pág. 33.
3. Awodey 2010, pag. 53-55.

• "Categoría dual", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• "Principio de dualidad", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• "Dualidad", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Mac Lane, Saunders (1978). Categorías para el matemático que trabaja (Segunda ed.). Nueva York, Nueva York: Springer Nueva York. pag. 33.ISBN _ 1441931236. OCLC  851741862.
• Awodey, Steve (2010). Teoría de categorías (2ª ed.). Oxford: Prensa de la Universidad de Oxford. págs. 53–55. ISBN 978-0199237180. OCLC  740446073.