Categoría opuesta

Categoría matemática formada por morfismos inversos

En la teoría de categorías , una rama de las matemáticas , la categoría opuesta o categoría dual C ^op de una categoría dada C se forma invirtiendo los morfismos , es decir, intercambiando la fuente y el destino de cada morfismo. Al hacer la inversión dos veces se obtiene la categoría original, por lo que el opuesto de una categoría opuesta es la categoría original en sí. En símbolos, . ${\displaystyle (C^{\text{op}})^{\text{op}}=C}$

Ejemplos

• Un ejemplo es el de invertir la dirección de las desigualdades en un orden parcial . Por lo tanto, si X es un conjunto y ≤ una relación de orden parcial, podemos definir una nueva relación de orden parcial ≤ ^op mediante

x ≤ ^op y si y sólo si y ≤ x .

El nuevo orden se denomina comúnmente orden dual de ≤, y se denota principalmente por ≥. Por lo tanto, la dualidad juega un papel importante en la teoría del orden y cada concepto puramente teórico del orden tiene un dual. Por ejemplo, hay pares opuestos hijo/padre, descendiente/ancestro, ínfimo / supremo , conjunto descendente / conjunto ascendente , ideal / filtro , etc. Esta dualidad teórica del orden es a su vez un caso especial de la construcción de categorías opuestas, ya que cada conjunto ordenado puede entenderse como una categoría.

• Dado un semigrupo ( S , ·), uno usualmente define el semigrupo opuesto como ( S , ·) ^op = ( S , *) donde x * y ≔ y · x para todo x , y en S . Entonces también para semigrupos hay un principio de dualidad fuerte. Claramente, la misma construcción funciona también para grupos, y es conocida en teoría de anillos , también, donde se aplica al semigrupo multiplicativo del anillo para dar el anillo opuesto. Nuevamente este proceso puede ser descrito completando un semigrupo a un monoide, tomando la categoría opuesta correspondiente y luego posiblemente quitando la unidad de ese monoide.
• La categoría de álgebras de Boole y homomorfismos de Boole es equivalente al opuesto de la categoría de espacios de Stone y funciones continuas .
• La categoría de esquemas afines es equivalente al opuesto de la categoría de anillos conmutativos .
• La dualidad de Pontryagin se restringe a una equivalencia entre la categoría de grupos topológicos abelianos compactos de Hausdorff y el opuesto de la categoría de grupos abelianos (discretos).
• Por el teorema de Gelfand-Naimark, la categoría de espacios medibles localizables (con aplicaciones medibles ) es equivalente a la categoría de álgebras de von Neumann conmutativas (con homomorfismos unitales normales de *-álgebras ). ^[1]

Propiedades

Productos de conservación opuestos:

${\displaystyle (C\times D)^{\text{op}}\cong C^{\text{op}}\times D^{\text{op}}}$(ver categoría de producto )

Los funtores opuestos conservan :

${\displaystyle (\mathrm {Funct} (C,D))^{\text{op}}\cong \mathrm {Funct} (C^{\text{op}},D^{\text{op}})}$^{[2] [3]} (ver functor categoría , functor opuesto )

Conservas opuestas rebanadas:

${\displaystyle (F\downarrow G)^{\text{op}}\cong (G^{\text{op}}\downarrow F^{\text{op}})}$(ver categoría de coma )

Véase también

• Objeto dual
• Dual (teoría de categorías)
• Dualidad (matemáticas)
• Functor adjunto
• Functor contravariante
• Functor opuesto

Referencias

1. "¿Existe una introducción a la teoría de la probabilidad desde una perspectiva estructuralista/categórica?". MathOverflow . Consultado el 25 de octubre de 2010 .
2. H. Herrlich, GE Strecker, Teoría de categorías , tercera edición, Heldermann Verlag, ISBN 978-3-88538-001-6 , p. 99. 
3. O. Wyler, Notas de clase sobre topoi y cuasitopoi , World Scientific, 1991, pág. 8.

• Categoría opuesta en el n Lab
• Danilov, VI (2001) [1994], "Categoría dual", Enciclopedia de matemáticas , EMS Press
• Mac Lane, Saunders (1978). Categorías para el matemático en activo (segunda edición). Nueva York, NY: Springer New York. pág. 33. ISBN 1441931236.OCLC 851741862  .
• Awodey, Steve (2010). Teoría de categorías (2.ª ed.). Oxford: Oxford University Press. Págs. 53-55. ISBN. 978-0199237180.OCLC 740446073  .