*-álgebra

En matemáticas , y más específicamente en álgebra abstracta , una *-álgebra (o álgebra involutiva ; leída como "álgebra en estrella") es una estructura matemática que consta de dos anillos involutivos $R$ y $A$ , donde $R$ es conmutativo y $A$ tiene la estructura de un álgebra asociativa sobre $R.$ Las álgebras involutivas generalizan la idea de un sistema numérico dotado de conjugación, por ejemplo los números complejos y conjugación compleja , matrices sobre los números complejos y transpuesta conjugada , y operadores lineales sobre un espacio de Hilbert y adjuntos hermíticos . Sin embargo, puede suceder que un álgebra no admita involución . ^[a]

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Definiciones

*-anillo

En matemáticas , un *-anillo es un anillo con una función $*: A \to A$ que es un antiautomorfismo y una involución .

Más precisamente, se requiere que $*$ satisfaga las siguientes propiedades: ^[1]

$(x + y)* = x * + y *$
$(x y)* = y * x *$
$1* = 1$
$(x *)* = x$

para todo $x, y$ en $A$ .

También se denomina anillo involutivo , anillo involutivo y anillo con involución . El tercer axioma está implícito en el segundo y cuarto axiomas, lo que lo hace redundante.

Los elementos tales que $x * = x$ se denominan autoadjuntos . ^[2]

Ejemplos arquetípicos de un *-anillo son los cuerpos de números complejos y números algebraicos con conjugación compleja como involución. Se puede definir una forma sesquilínea sobre cualquier *-anillo.

Además, se pueden definir *-versiones de objetos algebraicos, como ideales y subanillos , con el requisito de que sean * -invariantes : $x \in I \Rightarrow x * \in I$ y así sucesivamente.

Los *-anillos no están relacionados con los semianillos estelares en la teoría de la computación.

*-álgebra

Un *-álgebra $A$ es un *-anillo, ^[b] con involución * que es un álgebra asociativa sobre un *-anillo conmutativo $R$ con involución $'$ , tal que $(r x)* = r' x * \forall r \in R, x \in A$ . ^[3]

El anillo base * $R$ es a menudo el de los números complejos (con $'$ actuando como conjugación compleja).

De los axiomas se deduce que * en $A$ es conjugado-lineal en $R$ , lo que significa

(λ x + μ y)* = λ' x * + μ' y *

para $λ, μ \in R, x, y \in A$ .

Un *-homomorfismo $f : A \to B$ es un homomorfismo algebraico que es compatible con las involuciones de $A$ y $B$ , es decir,

$f (a *) = f (a)*$ para todo $a$ en $A$ .^[2]

Filosofía de la operación *

La operación * en un *-anillo es análoga a la conjugación compleja en los números complejos. La operación * en un *-álgebra es análoga a tomar adjuntos en álgebras de matrices complejas .

Notación

La involución * es una operación unaria escrita con un glifo de estrella posfijo centrado encima o cerca de la línea media :

x \mapsto x *

, o

x \mapsto x *

( TeX :x^*),

pero no como " $x *$ "; consulte el artículo sobre el asterisco para obtener más detalles.

Ejemplos

Cualquier anillo conmutativo se convierte en un *-anillo con la involución trivial ( idéntica ).
El ejemplo más familiar de un *-anillo y un *-álgebra sobre números reales es el cuerpo de números complejos $C,$ donde * es simplemente la conjugación compleja .
En términos más generales, una extensión de campo hecha por la adjunción de una raíz cuadrada (como la unidad imaginaria √ −1 ) es un *-álgebra sobre el campo original, considerado como un anillo trivialmente *. El * invierte el signo de esa raíz cuadrada.
Un anillo de enteros cuadráticos (para algún $D$ ) es un *-anillo conmutativo con el * definido de manera similar; los campos cuadráticos son *-álgebras sobre anillos de enteros cuadráticos apropiados.
Los cuaterniones , los números complejos divididos , los números duales y posiblemente otros sistemas numéricos hipercomplejos forman *-anillos (con su operación de conjugación incorporada) y *-álgebras sobre números reales (donde * es trivial). Ninguno de los tres es un álgebra compleja.
Los cuaterniones de Hurwitz forman un anillo * no conmutativo con la conjugación del cuaternión.
El álgebra matricial de matrices $n \times n$ sobre R con * dada por la transposición .
El álgebra matricial de matrices $n \times n$ sobre C con * dada por la transpuesta conjugada .
Su generalización, el adjunto hermítico en el álgebra de operadores lineales acotados en un espacio de Hilbert, también define un *-álgebra.
El anillo polinomial $R [x]$ sobre un anillo trivialmente* conmutativo $R$ es una *-álgebra sobre $R$ con $P *(x) = P (- x)$ .
Si ( A , +, ×, *) es simultáneamente un *-anillo, un álgebra sobre un anillo R (conmutativo), y ( r x )* = r ( x *) ∀ r ∈ R , x ∈ A , entonces A es un *-álgebra sobre R (donde * es trivial).
- Como caso parcial, cualquier *-anillo es un *-álgebra sobre números enteros .
Cualquier *-anillo conmutativo es un *-álgebra sobre sí mismo y, más generalmente, sobre cualquiera de sus *-subanillos.
Para un *-anillo conmutativo R , su cociente por cualquier *-ideal es una *-álgebra sobre R .
- Por ejemplo, cualquier anillo trivialmente conmutativo * es un *-álgebra sobre su anillo de números duales , un *-anillo con * no trivial , porque el cociente por $ε = 0$ forma el anillo original.
- Lo mismo ocurre con un anillo conmutativo $K$ y su anillo polinomial $K [x]$ : el cociente por $x = 0$ restablece $K$ .
En álgebra de Hecke , una involución es importante para el polinomio de Kazhdan-Lusztig .
El anillo de endomorfismo de una curva elíptica se convierte en un *-álgebra sobre los números enteros, donde la involución se obtiene tomando la isogenia dual . Una construcción similar funciona para variedades abelianas con una polarización , en cuyo caso se denomina involución de Rosati (consulte las notas de la clase de Milne sobre variedades abelianas).

Las álgebras de Hopf involutivas son ejemplos importantes de *-álgebras (con la estructura adicional de una comultiplicación compatible ); el ejemplo más conocido es:

El álgebra de Hopf de grupo : un anillo de grupo , con involución dada por $g \mapsto g -1$ .

No-ejemplo

No todas las álgebras admiten una involución:

Consideremos las matrices 2×2 sobre los números complejos. Consideremos la siguiente subálgebra: ${\mathcal {A}}:=\left\{{\begin{pmatrix}a&b\\0&0\end{pmatrix}}:a,b\in \mathbb {C} \right\}$

Cualquier antiautomorfismo no trivial necesariamente tiene la forma: ^[4] para cualquier número complejo . $\varphi _{z}\left[{\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}}\right]={\begin{pmatrix}1&z\\0&0\end{pmatrix}}\quad \varphi _{z}\left[{\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}\right]={\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}}$ $z\in \mathbb {C}$

De ello se deduce que cualquier antiautomorfismo no trivial no es involutivo: $\varphi _{z}^{2}\left[{\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}\right]={\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}}\neq {\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}$

Concluyendo que el subálgebra no admite involución.

Estructuras adicionales

Muchas propiedades de la transpuesta son válidas para las *-álgebras generales:

Los elementos hermíticos forman un álgebra de Jordan ;
Los elementos hermíticos sesgados forman un álgebra de Lie ;
Si 2 es invertible en el *-anillo, entonces los operadores $.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num{display:block;line-height:1em;margin:0.0em 0.1em;border-bottom:1px solid}.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0.1em 0.1em}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);clip-path:polygon(0px 0px,0px 0px,0px 0px);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}⁠1/2⁠ (1 + *)$ y $⁠$ $1 / 2 ⁠ (1 - *)$ son idempotentes ortogonales ,^[2] llamados simetrizantes y antisimetrizantes , por lo que el álgebra se descompone como una suma directa de módulos ( espacios vectoriales si el *-anillo es un cuerpo) de elementos simétricos y antisimétricos (hermíticos y hermíticos antihormigueros). Estos espacios no forman, por lo general, álgebras asociativas, porque los idempotentes son operadores , no elementos del álgebra.

Estructuras sesgadas

Dado un *-anillo, también existe la función $-* : x \mapsto - x *$ . No define una estructura de *-anillo (a menos que la característica sea 2, en cuyo caso −* es idéntico al * original), ya que $1 \mapsto -1$ , ni es antimultiplicativo, pero satisface los otros axiomas (lineal, involución) y, por lo tanto, es bastante similar al *-álgebra donde $x \mapsto x *$ .

Los elementos fijados por este mapa (es decir, tales que $a = - a *$ ) se denominan hermíticos sesgados .

Para los números complejos con conjugación compleja, los números reales son los elementos hermíticos y los números imaginarios son los hermíticos torcidos.

Véase también

Notas

^ En este contexto, se entiende por involución un antiautomorfismo involutivo, también conocido como antiinvolución .
^ La mayoría de las definiciones no requieren que un *-álgebra tenga la unidad , es decir, solo se permite que un *-álgebra sea un * -rng .

Referencias

^ Weisstein, Eric W. (2015). "Álgebra C-Star". Wolfram MathWorld .
^ abc Baez, John (2015). "Octoniones". Departamento de Matemáticas . Universidad de California, Riverside. Archivado desde el original el 26 de marzo de 2015. Consultado el 27 de enero de 2015 .
^ Álgebra estelar en el laboratorio n
^ Winker, SK; Wos, L.; Lusk, EL (1981). "Semigrupos, antiautomorfismos e involuciones: una solución informática a un problema abierto, I". Matemáticas de la computación . 37 (156): 533–545. doi :10.2307/2007445. ISSN 0025-5718.