transposición conjugada

Matriz compleja A* obtenida a partir de una matriz A transponiéndola y conjugando cada entrada

En matemáticas , la transpuesta conjugada , también conocida como transpuesta hermitiana , de una matriz compleja es una matriz obtenida transponiendo y aplicando conjugación compleja a cada entrada (el conjugado complejo de ser , para números reales y ). Hay varias notaciones, como o , ^[1] , ^[2] o (a menudo en física) . ${\displaystyle m\times n}$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle n\times m}$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle a+ib}$ ${\displaystyle a-ib}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle \mathbf {A} ^{\mathrm {H} }}$ ${\displaystyle \mathbf {A} ^{*}}$ ${\displaystyle \mathbf {A} '}$ ${\displaystyle \mathbf {A} ^{\dagger }}$

Para matrices reales , la transpuesta conjugada es solo la transpuesta ,. ${\displaystyle \mathbf {A} ^{\mathrm {H} }=\mathbf {A} ^{\operatorname {T} }}$

Definición

La transpuesta conjugada de una matriz se define formalmente por ${\displaystyle m\times n}$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$

donde el subíndice denota la -ésima entrada, para y , y la barra superior denota un conjugado complejo escalar. ${\displaystyle ij}$ ${\displaystyle (i,j)}$ ${\displaystyle 1\leq i\leq n}$ ${\displaystyle 1\leq j\leq m}$

Esta definición también se puede escribir como

${\displaystyle \mathbf {A} ^{\mathrm {H} }=\left({\overline {\mathbf {A} }}\right)^{\operatorname {T} }={\overline {\mathbf {A} ^{\operatorname {T} }}}}$

donde denota la transpuesta y denota la matriz con entradas conjugadas complejas. ${\displaystyle \mathbf {A} ^{\operatorname {T} }}$ ${\displaystyle {\overline {\mathbf {A} }}}$

Otros nombres para la transpuesta conjugada de una matriz son conjugado hermitiano , matriz adjunta o transjugado . La transpuesta conjugada de una matriz se puede indicar con cualquiera de estos símbolos: ${\displaystyle \mathbf {A} }$

• ${\displaystyle \mathbf {A} ^{*}}$, comúnmente utilizado en álgebra lineal
• ${\displaystyle \mathbf {A} ^{\mathrm {H} }}$, comúnmente utilizado en álgebra lineal
• ${\displaystyle \mathbf {A} ^{\dagger }}$(a veces pronunciado como daga ) , comúnmente utilizado en mecánica cuántica
• ${\displaystyle \mathbf {A} ^{+}}$, aunque este símbolo se usa más comúnmente para el pseudoinverso de Moore-Penrose

En algunos contextos, denota la matriz con solo entradas conjugadas complejas y sin transposición. ${\displaystyle \mathbf {A} ^{*}}$

Ejemplo

Supongamos que queremos calcular la transpuesta conjugada de la siguiente matriz . ${\displaystyle \mathbf {A} }$

${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}1&-2-i&5\\1+i&i&4-2i\end{bmatrix}}}$

Primero transponemos la matriz:

${\displaystyle \mathbf {A} ^{\operatorname {T} }={\begin{bmatrix}1&1+i\\-2-i&i\\5&4-2i\end{bmatrix}}}$

Luego conjugamos cada entrada de la matriz:

${\displaystyle \mathbf {A} ^{\mathrm {H} }={\begin{bmatrix}1&1-i\\-2+i&-i\\5&4+2i\end{bmatrix}}}$

Observaciones básicas

Una matriz cuadrada con entradas se llama ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle a_{ij}}$

• Hermitiano o autoadjunto si ; es decir, . ${\displaystyle \mathbf {A} =\mathbf {A} ^{\mathrm {H} }}$ ${\displaystyle a_{ij}={\overline {a_{ji}}}}$
• Sesgar hermitiano o antihermitiano si ; es decir, . ${\displaystyle \mathbf {A} =-\mathbf {A} ^{\mathrm {H} }}$ ${\displaystyle a_{ij}=-{\overline {a_{ji}}}}$
• Normal si . ${\displaystyle \mathbf {A} ^{\mathrm {H} }\mathbf {A} =\mathbf {A} \mathbf {A} ^{\mathrm {H} }}$
• Unitario si , equivalentemente , equivalentemente . ${\displaystyle \mathbf {A} ^{\mathrm {H} }=\mathbf {A} ^{-1}}$ ${\displaystyle \mathbf {A} \mathbf {A} ^{\mathrm {H} }={\boldsymbol {I}}}$ ${\displaystyle \mathbf {A} ^{\mathrm {H} }\mathbf {A} ={\boldsymbol {I}}}$

Incluso si no es cuadrada, las dos matrices y son matrices hermitianas y, de hecho, semidefinidas positivas . ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle \mathbf {A} ^{\mathrm {H} }\mathbf {A} }$ ${\displaystyle \mathbf {A} \mathbf {A} ^{\mathrm {H} }}$

La matriz conjugada transpuesta "adjunta" no debe confundirse con la matriz conjugada , que a veces también se denomina adjunta . ${\displaystyle \mathbf {A} ^{\mathrm {H} }}$ ${\displaystyle \operatorname {adj} (\mathbf {A} )}$

La transpuesta conjugada de una matriz con entradas reales se reduce a la transpuesta de , ya que el conjugado de un número real es el número mismo. ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$

La transpuesta conjugada se puede motivar observando que los números complejos se pueden representar de manera útil mediante matrices reales, obedeciendo a la suma y multiplicación de matrices: ${\displaystyle 2\times 2}$

${\displaystyle a+ib\equiv {\begin{bmatrix}a&-b\\b&a\end{bmatrix}}.}$

Es decir, denotar cada número complejo por la matriz real de la transformación lineal en el diagrama de Argand (visto como el espacio vectorial real ), afectada por la multiplicación compleja en . ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle 2\times 2}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

Por tanto, una matriz de números complejos podría representarse bien mediante una matriz de números reales. La transposición conjugada, por lo tanto, surge de forma muy natural como resultado de la simple transposición de dicha matriz, cuando se la considera nuevamente como una matriz formada por números complejos. ${\displaystyle m\times n}$ ${\displaystyle 2m\times 2n}$ ${\displaystyle n\times m}$

Para explicar la notación utilizada aquí, comenzamos representando números complejos como la matriz de rotación, es decir, ${\displaystyle e^{i\theta }}$

${\displaystyle e^{i\theta }={\begin{pmatrix}\cos \theta &\sin \theta \\-\sin \theta &\cos \theta \end{pmatrix}}=\cos \theta {\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}+\sin \theta {\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}}.}$

Dado que llegamos a las representaciones matriciales de los números unitarios como ${\displaystyle e^{i\theta }=\cos \theta +\sin \theta }$

${\displaystyle 1={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}},\quad i={\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}}.}$Un número complejo general se representa entonces como ${\displaystyle z=x+iy}$

${\displaystyle z={\begin{pmatrix}x&y\\-y&x\end{pmatrix}}.}$La operación conjugada compleja, donde i→−i, se considera simplemente la transpuesta de la matriz.

^[3]

Propiedades de la transpuesta conjugada

• ${\displaystyle (\mathbf {A} +{\boldsymbol {B}})^{\mathrm {H} }=\mathbf {A} ^{\mathrm {H} }+{\boldsymbol {B}}^{\mathrm {H} }}$para dos matrices cualesquiera y de las mismas dimensiones. ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle {\boldsymbol {B}}}$
• ${\displaystyle (z\mathbf {A} )^{\mathrm {H} }={\overline {z}}\mathbf {A} ^{\mathrm {H} }}$para cualquier número complejo y cualquier matriz . ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle m\times n}$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$
• ${\displaystyle (\mathbf {A} {\boldsymbol {B}})^{\mathrm {H} }={\boldsymbol {B}}^{\mathrm {H} }\mathbf {A} ^{\mathrm {H} }}$para cualquier matriz y cualquier matriz . Tenga en cuenta que el orden de los factores se invierte. ^[1] ${\displaystyle m\times n}$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle n\times p}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {B}}}$
• ${\displaystyle \left(\mathbf {A} ^{\mathrm {H} }\right)^{\mathrm {H} }=\mathbf {A} }$para cualquier matriz , es decir, la transposición hermitiana es una involución . ${\displaystyle m\times n}$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$
• Si es una matriz cuadrada, entonces donde denota el determinante de . ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle \det \left(\mathbf {A} ^{\mathrm {H} }\right)={\overline {\det \left(\mathbf {A} \right)}}}$ ${\displaystyle \operatorname {det} (A)}$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$
• Si es una matriz cuadrada, entonces donde denota la traza de . ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle \operatorname {tr} \left(\mathbf {A} ^{\mathrm {H} }\right)={\overline {\operatorname {tr} (\mathbf {A} )}}}$ ${\displaystyle \operatorname {tr} (A)}$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$
• ${\displaystyle \mathbf {A} }$es invertible si y sólo si es invertible, y en ese caso . ${\displaystyle \mathbf {A} ^{\mathrm {H} }}$ ${\displaystyle \left(\mathbf {A} ^{\mathrm {H} }\right)^{-1}=\left(\mathbf {A} ^{-1}\right)^{\mathrm {H} }}$
• Los valores propios de son los conjugados complejos de los valores propios de . ${\displaystyle \mathbf {A} ^{\mathrm {H} }}$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$
• ${\displaystyle \left\langle \mathbf {A} x,y\right\rangle _{m}=\left\langle x,\mathbf {A} ^{\mathrm {H} }y\right\rangle _{n}}$para cualquier matriz , cualquier vector in y cualquier vector . Aquí, denota el producto interno complejo estándar en , y de manera similar para . ${\displaystyle m\times n}$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle x\in \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle y\in \mathbb {C} ^{m}}$ ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle _{m}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{m}}$ ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle _{n}}$

Generalizaciones

La última propiedad dada anteriormente muestra que si se ve como una transformación lineal desde el espacio de Hilbert hasta entonces la matriz corresponde al operador adjunto de . Por tanto, el concepto de operadores adjuntos entre espacios de Hilbert puede verse como una generalización de la transpuesta conjugada de matrices con respecto a una base ortonormal. ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{m},}$ ${\displaystyle \mathbf {A} ^{\mathrm {H} }}$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$

Hay otra generalización disponible: supongamos que es una aplicación lineal de un espacio vectorial complejo a otro, entonces se definen la aplicación lineal conjugada compleja y la aplicación lineal transpuesta , y por lo tanto podemos tomar la transpuesta conjugada de como el conjugado complejo de la transposición de . Asigna el dual conjugado de al dual conjugado de . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle V}$

Ver también

• Producto escalar complejo
• Adjunto hermitiano
• Matriz adjunta

Referencias

1. Weisstein, Eric W. "Transposición conjugada". mathworld.wolfram.com . Consultado el 8 de septiembre de 2020 .
2. HW Turnbull, AC Aitken, "Introducción a la teoría de matrices canónicas", 1932.
3. https://math.libretexts.org/Bookshelves/Differential_Equations/Applied_Linear_Algebra_and_Differential_Equations_(Chasnov)/02%3A_II._Linear_Algebra/01%3A_Matrices/1.06%3A_Matrix_Representation_of_Complex_Numbers

enlaces externos

• "Matriz adjunta", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]