En matemáticas, el álgebra de Iwahori-Hecke , o álgebra de Hecke , llamada así por Erich Hecke y Nagayoshi Iwahori , es una deformación del álgebra de grupo de un grupo de Coxeter .
Las álgebras de Hecke son cocientes de los anillos de grupo de los grupos de trenzas de Artin . Esta conexión encontró una aplicación espectacular en la construcción de nuevas invariantes de nudos por parte de Vaughan Jones . Las representaciones de las álgebras de Hecke llevaron al descubrimiento de grupos cuánticos por parte de Michio Jimbo . Michael Freedman propuso las álgebras de Hecke como base para el cálculo cuántico topológico .
Comience con los siguientes datos:
El álgebra de Hecke multiparamétrica H R (W,S,q) es un R -álgebra unital asociativa con generadores T s para todo s ∈ S y relaciones:
Advertencia : en libros y artículos posteriores, Lusztig utilizó una forma modificada de la relación cuadrática que dice Después de extender los escalares para incluir las potencias semienteras q±1/2
sel álgebra de Hecke resultante es isomorfa a la definida previamente (pero la T s aquí corresponde a q-1/2
segundo T s en nuestra notación). Si bien esto no cambia la teoría general, muchas fórmulas parecen diferentes.
H A (W,S,q) es el álgebra genérica de Hecke multiparamétrica. Esta álgebra es universal en el sentido de que cualquier otro álgebra de Hecke multiparamétrica se puede obtener a partir de ella mediante el homomorfismo de anillo (único) A → R que asigna el indeterminado q s ∈ A a la unidad q s ∈ R . Este homomorfismo convierte a R en un A -álgebra y la extensión escalar H A (W,S) ⊗ A R es canónicamente isomorfa al álgebra de Hecke H R (W,S,q) como se construyó anteriormente. A este proceso se le llama especialización del álgebra genérica.
Si uno especializa cada indeterminado q s en un único indeterminado q sobre los números enteros (o q1/2
sa q 1/2 respectivamente), entonces se obtiene el llamado álgebra genérica de Hecke de un parámetro de (W,S) .
Dado que en los grupos de Coxeter con diagramas de Dynkin de enlace único (por ejemplo, grupos de tipo A y D) cada par de generadores de Coxeter está conjugado, la restricción mencionada anteriormente de que q s sea igual a q t siempre que s y t se conjuguen en W obliga al multiparámetro y las álgebras de Hecke de un parámetro son iguales. Por lo tanto, también es muy común observar únicamente las álgebras de Hecke de un parámetro.
Si se define una función de peso integral en W (es decir, un mapa L:W → Z con L(vw)=L(v)+L(w) para todo v,w ∈ W con l(vw)=l(v) +l(w) ), entonces una especialización común a considerar es la inducida por el homomorfismo q s ↦ q L(s) , donde q es un único indeterminado sobre Z .
Si se usa la convención con potencias semienteros, entonces la función de peso L:W →1/2También se puede permitir Z. Por razones técnicas, también suele ser conveniente considerar únicamente funciones de peso positivas.
1. El álgebra de Hecke tiene una base sobre A indexada por los elementos del grupo de Coxeter W. En particular, H es un módulo A libre . Si es una descomposición reducida de w ∈ W , entonces . Esta base del álgebra de Hecke a veces se denomina base natural . El elemento neutro de W corresponde a la identidad de H : T e = 1.
2. Los elementos de la base natural son multiplicativos , es decir, T yw = T y T w siempre que l(yw)=l(y)+l(w) , donde l denota la función de longitud en el grupo de Coxeter W.
3. Los elementos de la base natural son invertibles. Por ejemplo, de la relación cuadrática concluimos que T−1
s= q−1
s T s + ( q−1
s-1).
4. Supongamos que W es un grupo finito y el anillo de tierra es el campo C de números complejos. Jacques Tetas ha demostrado que si el indeterminado q está especializado en cualquier número complejo fuera de una lista explícitamente dada (que consta de raíces de la unidad), entonces el álgebra de Hecke de un parámetro resultante es semisimple e isomorfa al álgebra de grupo complejo C [ W ] ( que también corresponde a la especialización q ↦ 1) [ cita necesaria ] .
5. De manera más general, si W es un grupo finito y el anillo de tierra R es un campo de característica cero , entonces el álgebra de Hecke de un parámetro es un álgebra asociativa semisimple sobre R [ q ±1 ]. Además, ampliando resultados anteriores de Benson y Curtis, George Lusztig proporcionó un isomorfismo explícito entre el álgebra de Hecke y el álgebra de grupos después de la extensión de los escalares al campo cociente de R [ q ±1/2 ]
Un gran descubrimiento de Kazhdan y Lusztig fue que el álgebra de Hecke admite una base diferente , que en cierto modo controla la teoría de la representación de una variedad de objetos relacionados.
El álgebra genérica multiparamétrica de Hecke, H A (W,S,q) , tiene una barra de involución que asigna q 1/2 a q −1/2 y actúa como identidad en Z. Entonces H admite un automorfismo de anillo único i que es semilineal con respecto a la involución de barra de A y asigna T s a T−1
s. Además, se puede demostrar que este automorfismo es involutivo (tiene orden dos) y toma cualquier T w para
Teorema de Kazhdan - Lusztig: Para cada w ∈ W existe un elemento único que es invariante bajo la involución i y si se escribe su expansión en términos de la base natural:
uno tiene lo siguiente:
- Pw ,w =1,
- P y,w en Z [ q ] tiene grado menor o igual a1/2(l(w)-l(y)-1) si y<w en el orden Bruhat ,
- Py ,w =0 si
Los elementos donde w varía sobre W forman una base del álgebra H , que se llama base canónica dual del álgebra de Hecke H. La base canónica { C w | w ∈ W } se obtiene de forma similar. Los polinomios P y,w ( q ) que aparecen en este teorema son los polinomios de Kazhdan-Lusztig .
Las nociones de Kazhdan-Lusztig de celdas izquierda, derecha y bilateral en los grupos de Coxeter se definen a través del comportamiento de la base canónica bajo la acción de H.
Las álgebras de Iwahori-Hecke aparecieron por primera vez como un caso especial importante de una construcción muy general en teoría de grupos. Sea (G,K) un par formado por un grupo topológico unimodular localmente compacto G y un subgrupo cerrado K de G . Entonces el espacio de K -funciones continuas biinvariantes de soporte compacto , C c (K\G/K) , puede dotarse de una estructura de álgebra asociativa bajo la operación de convolución . Esta álgebra se denota por H(G//K) y se llama anillo de Hecke del par (G,K) .
Ejemplo: Si G = SL( n , Q p ) y K = SL( n , Z p ) entonces el anillo de Hecke es conmutativo y sus representaciones fueron estudiadas por Ian G. Macdonald . De manera más general, si (G,K) es un par de Gelfand , entonces el álgebra resultante resulta ser conmutativa.
Ejemplo: Si G = SL(2, Q ) y K = SL(2, Z ) obtenemos el anillo abstracto detrás de los operadores de Hecke en la teoría de formas modulares , que dio nombre a las álgebras de Hecke en general.
El caso que conduce al álgebra de Hecke de un grupo de Weyl finito es cuando G es el grupo de Chevalley finito sobre un campo finito con pk elementos, y B es su subgrupo de Borel . Iwahori demostró que el anillo de Hecke H(G//B) se obtiene del álgebra genérica de Hecke H q del grupo Weyl W de G especializando el indeterminado q de esta última álgebra en p k , la cardinalidad del campo finito. George Lusztig comentó en 1984 ( Caracteres de grupos reductivos sobre un campo finito , xi, nota al pie):
Iwahori y Matsumoto (1965) consideraron el caso en el que G es un grupo de puntos de un grupo algebraico reductivo sobre un campo local no arquimediano K , como Q p , y K es lo que ahora se llama un subgrupo Iwahori de G. El anillo de Hecke resultante es isomorfo al álgebra de Hecke del grupo Weyl afín de G , o al álgebra de Hecke afín , donde el indeterminado q se ha especializado en la cardinalidad del campo residual de K.
El trabajo de Roger Howe en la década de 1970 y sus artículos con Allen Moy sobre representaciones de p -adic GL( n ) abrieron la posibilidad de clasificar representaciones irreducibles admisibles de grupos reductivos sobre campos locales en términos de álgebras de Hecke construidas apropiadamente. (Joseph Bernstein y Andrey Zelevinsky también hicieron contribuciones importantes .) Estas ideas fueron llevadas mucho más lejos en la teoría de tipos de Colin Bushnell y Philip Kutzko , permitiéndoles completar la clasificación en el caso lineal general. Muchas de las técnicas pueden extenderse a otros grupos reductivos, lo que sigue siendo un área de investigación activa. Se ha conjeturado que todas las álgebras de Hecke que alguna vez se necesitan son generalizaciones leves de álgebras de Hecke afines.
Del trabajo de Iwahori se desprende que las representaciones complejas de álgebras de Hecke de tipo finito están íntimamente relacionadas con la estructura de las representaciones de series principales esféricas de grupos finitos de Chevalley.
George Lusztig llevó esta conexión mucho más allá y pudo describir la mayoría de los caracteres de grupos finitos de tipo Lie en términos de la teoría de representación de las álgebras de Hecke. Este trabajo utilizó una mezcla de técnicas geométricas y diversas reducciones, condujo a la introducción de diversos objetos, la generalización de las álgebras de Hecke y la comprensión detallada de sus representaciones (por q no es una raíz de unidad). Las representaciones modulares de las álgebras de Hecke y las representaciones en raíces de unidad resultaron estar relacionadas con la teoría de bases canónicas en grupos cuánticos afines y la combinatoria.
La teoría de la representación de álgebras afines de Hecke fue desarrollada por Lusztig con miras a aplicarla a la descripción de representaciones de grupos p -ádicos. Es diferente en muchos sentidos [ ¿cómo? ] del caso finito. Ivan Cherednik utilizó una generalización de las álgebras afines de Hecke, llamada álgebra de Hecke doblemente afín , en su prueba de la conjetura del término constante de Macdonald .
