Álgebra abstracta

Rama de las matemáticas

Las permutaciones del Cubo de Rubik forman un grupo , un concepto fundamental dentro del álgebra abstracta.

En matemáticas , más específicamente en álgebra , el álgebra abstracta o álgebra moderna es el estudio de las estructuras algebraicas , que son conjuntos con operaciones específicas que actúan sobre sus elementos. ^[1] Las estructuras algebraicas incluyen grupos , anillos , cuerpos , módulos , espacios vectoriales , retículos y álgebras sobre un cuerpo . El término álgebra abstracta se acuñó a principios del siglo XX para distinguirla de partes más antiguas del álgebra, y más específicamente del álgebra elemental , el uso de variables para representar números en el cálculo y el razonamiento. La perspectiva abstracta del álgebra se ha vuelto tan fundamental para las matemáticas avanzadas que simplemente se la llama "álgebra", mientras que el término "álgebra abstracta" rara vez se usa excepto en pedagogía .

Las estructuras algebraicas, con sus homomorfismos asociados , forman categorías matemáticas . La teoría de categorías proporciona un marco unificado para estudiar propiedades y construcciones que son similares para varias estructuras.

El álgebra universal es una disciplina relacionada que estudia los tipos de estructuras algebraicas como objetos únicos. Por ejemplo, la estructura de grupos es un objeto único en el álgebra universal, lo que se denomina variedad de grupos .

Historia

Antes del siglo XIX, el álgebra se definía como el estudio de los polinomios . ^[2] El álgebra abstracta surgió durante el siglo XIX a medida que se desarrollaban problemas y métodos de solución más complejos. Los problemas y ejemplos concretos surgieron de la teoría de números, la geometría, el análisis y las soluciones de ecuaciones algebraicas . La mayoría de las teorías que ahora se reconocen como partes del álgebra abstracta comenzaron como colecciones de hechos dispares de varias ramas de las matemáticas, adquirieron un tema común que sirvió como núcleo alrededor del cual se agruparon varios resultados y finalmente se unificaron sobre la base de un conjunto común de conceptos. Esta unificación ocurrió en las primeras décadas del siglo XX y dio como resultado las definiciones axiomáticas formales de varias estructuras algebraicas como grupos, anillos y campos. ^[3] Este desarrollo histórico es casi opuesto al tratamiento que se encuentra en los libros de texto populares, como Moderne Algebra de van der Waerden , ^[4] que comienzan cada capítulo con una definición formal de una estructura y luego lo siguen con ejemplos concretos. ^[5]

Álgebra elemental

El estudio de ecuaciones polinómicas o ecuaciones algebraicas tiene una larga historia. Hacia el  año 1700 a. C. , los babilonios pudieron resolver ecuaciones cuadráticas especificadas como problemas verbales. Esta etapa de los problemas verbales se clasifica como álgebra retórica y fue el enfoque dominante hasta el siglo XVI. Al-Khwarizmi originó la palabra "álgebra" en el año 830 d. C., pero su trabajo era completamente álgebra retórica. El álgebra completamente simbólica no apareció hasta la Nueva Álgebra de François Viète de 1591 , e incluso esta tenía algunas palabras escritas a las que se les dieron símbolos en La Géométrie de Descartes de 1637. ^[6] El estudio formal de la resolución de ecuaciones simbólicas llevó a Leonhard Euler a aceptar lo que entonces se consideraban raíces "sin sentido", como los números negativos y los números imaginarios , a fines del siglo XVIII. ^[7] Sin embargo, los matemáticos europeos, en su mayoría, se resistieron a estos conceptos hasta mediados del siglo XIX. ^[8]

El Tratado de álgebra de George Peacock de 1830 fue el primer intento de colocar el álgebra sobre una base estrictamente simbólica. Distinguió una nueva álgebra simbólica , distinta de la antigua álgebra aritmética . Mientras que en el álgebra aritmética se limita a , en el álgebra simbólica todas las reglas de operaciones se cumplen sin restricciones. Usando esto, Peacock pudo mostrar leyes como , dejando en . Peacock usó lo que él llamó el principio de la permanencia de formas equivalentes para justificar su argumento, pero su razonamiento adolecía del problema de la inducción . ^[9] Por ejemplo, se cumple para los números reales no negativos , pero no para los números complejos generales . ${\displaystyle a-b}$ ${\displaystyle a\geq b}$ ${\displaystyle (-a)(-b)=ab}$ ${\displaystyle a=0,c=0}$ ${\displaystyle (a-b)(c-d)=ac+bd-ad-bc}$ ${\displaystyle {\sqrt {a}}{\sqrt {b}}={\sqrt {ab}}}$

Teoría de grupos temprana

Varias áreas de las matemáticas llevaron al estudio de los grupos. El estudio de Lagrange en 1770 de las soluciones de la ecuación de quinto grado condujo al grupo de Galois de un polinomio . El estudio de Gauss en 1801 del pequeño teorema de Fermat condujo al anillo de números enteros módulo n , al grupo multiplicativo de números enteros módulo n y a los conceptos más generales de grupos cíclicos y grupos abelianos . El programa de Erlangen de Klein de 1872 estudió la geometría y condujo a grupos de simetría como el grupo euclidiano y el grupo de transformaciones proyectivas . En 1874 Lie introdujo la teoría de los grupos de Lie , apuntando a la "teoría de Galois de las ecuaciones diferenciales". En 1876 Poincaré y Klein introdujeron el grupo de transformaciones de Möbius , y sus subgrupos como el grupo modular y el grupo fuchsiano , basados ​​en el trabajo sobre funciones automórficas en el análisis. ^[10]

El concepto abstracto de grupo surgió lentamente a mediados del siglo XIX. Galois en 1832 fue el primero en utilizar el término "grupo", ^[11] que significa una colección de permutaciones cerradas bajo composición. ^[12] El artículo de Arthur Cayley de 1854 Sobre la teoría de grupos definió un grupo como un conjunto con una operación de composición asociativa y la identidad 1, hoy llamado monoide . [ ^13] En 1870 Kronecker definió una operación binaria abstracta que era cerrada, conmutativa, asociativa y tenía la propiedad de cancelación izquierda , ^[14] similar a las leyes modernas para un grupo abeliano finito . ^[15] La definición de grupo de Weber de 1882 era una operación binaria cerrada que era asociativa y tenía cancelación izquierda y derecha. ^[16] Walther von Dyck en 1882 fue el primero en requerir elementos inversos como parte de la definición de un grupo. ^[17] ${\displaystyle b\neq c\to a\cdot b\neq a\cdot c}$

Una vez que surgió este concepto de grupo abstracto, los resultados se reformularon en este contexto abstracto. Por ejemplo, el teorema de Sylow fue reprobado por Frobenius en 1887 directamente a partir de las leyes de un grupo finito, aunque Frobenius señaló que el teorema se deducía del teorema de Cauchy sobre los grupos de permutación y del hecho de que cada grupo finito es un subgrupo de un grupo de permutación. ^{[18] [19]} Otto Hölder fue particularmente prolífico en esta área, definiendo grupos cocientes en 1889, automorfismos de grupo en 1893, así como grupos simples. También completó el teorema de Jordan-Hölder . Dedekind y Miller caracterizaron independientemente los grupos hamiltonianos e introdujeron la noción de conmutador de dos elementos. Burnside, Frobenius y Molien crearon la teoría de la representación de grupos finitos a fines del siglo XIX. ^[18] La monografía de JA de Séguier de 1905 Elementos de la teoría de grupos abstractos presentó muchos de estos resultados en una forma abstracta y general, relegando los grupos "concretos" a un apéndice, aunque se limitaba a los grupos finitos. La primera monografía sobre grupos abstractos finitos e infinitos fue Teoría abstracta de grupos de O.K. Schmidt de 1916. ^[20]

Teoría de anillos temprana

La teoría de anillos no conmutativos comenzó con extensiones de los números complejos a los números hipercomplejos , específicamente los cuaterniones de William Rowan Hamilton en 1843. Poco después siguieron muchos otros sistemas numéricos. En 1844, Hamilton presentó los biquaterniones , Cayley introdujo los octoniones y Grassman introdujo las álgebras exteriores . ^[21] James Cockle presentó las tessarinas en 1848 ^[22] y los coquaterniones en 1849. ^[23] William Kingdon Clifford introdujo los biquaterniones divididos en 1873. Además, Cayley introdujo las álgebras de grupo sobre los números reales y complejos en 1854 y las matrices cuadradas en dos artículos de 1855 y 1858. ^[24]

Una vez que hubo suficientes ejemplos, quedó clasificarlos. En una monografía de 1870, Benjamin Peirce clasificó los más de 150 sistemas de números hipercomplejos de dimensión inferior a 6, y dio una definición explícita de un álgebra asociativa . Definió elementos nilpotentes e idempotentes y demostró que cualquier álgebra contiene uno u otro. También definió la descomposición de Peirce . Frobenius en 1878 y Charles Sanders Peirce en 1881 demostraron independientemente que las únicas álgebras de división de dimensión finita sobre eran los números reales, los números complejos y los cuaterniones. En la década de 1880, Killing y Cartan demostraron que las álgebras de Lie semisimples podían descomponerse en simples, y clasificaron todas las álgebras de Lie simples. Inspirados por esto, en la década de 1890 Cartan, Frobenius y Molien demostraron (independientemente) que un álgebra asociativa de dimensión finita se descompone de manera única en las sumas directas de un álgebra nilpotente y un álgebra semisimple que es el producto de un cierto número de álgebras simples , matrices cuadradas sobre álgebras de división. Cartan fue el primero en definir conceptos como suma directa y álgebra simple, y estos conceptos resultaron bastante influyentes. En 1907 Wedderburn extendió los resultados de Cartan a un campo arbitrario, en lo que ahora se llama el teorema principal de Wedderburn y el teorema de Artin-Wedderburn . ^[25] ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

Para los anillos conmutativos, varias áreas juntas llevaron a la teoría de anillos conmutativos. ^[26] En dos artículos en 1828 y 1832, Gauss formuló los números enteros gaussianos y demostró que forman un dominio de factorización única (UFD) y demostró la ley de reciprocidad bicuadrática . Jacobi y Eisenstein casi al mismo tiempo demostraron una ley de reciprocidad cúbica para los números enteros de Eisenstein . ^[25] El estudio del último teorema de Fermat condujo a los números enteros algebraicos . En 1847, Gabriel Lamé pensó que había demostrado FLT, pero su prueba era defectuosa ya que asumió que todos los campos ciclotómicos eran UFD, pero como señaló Kummer, no era un UFD. ^[27] En 1846 y 1847 Kummer introdujo los números ideales y demostró la factorización única en primos ideales para campos ciclotómicos. ^[28] Dedekind amplió esto en 1871 para mostrar que cada ideal distinto de cero en el dominio de los números enteros de un cuerpo de números algebraicos es un producto único de ideales primos , un precursor de la teoría de los dominios de Dedekind . En general, el trabajo de Dedekind creó el tema de la teoría de números algebraicos . ^[29] ${\displaystyle \mathbb {Q} (\zeta _{23}))}$

En la década de 1850, Riemann introdujo el concepto fundamental de superficie de Riemann . Los métodos de Riemann se basaban en un supuesto que él llamó principio de Dirichlet , ^[30] que en 1870 fue cuestionado por Weierstrass. Mucho más tarde, en 1900, Hilbert justificó el enfoque de Riemann desarrollando el método directo en el cálculo de variaciones . ^[31] En las décadas de 1860 y 1870, Clebsch, Gordan, Brill y especialmente M. Noether estudiaron funciones y curvas algebraicas. En particular, Noether estudió qué condiciones se requerían para que un polinomio fuera un elemento del ideal generado por dos curvas algebraicas en el anillo polinomial , aunque Noether no utilizó este lenguaje moderno. En 1882, Dedekind y Weber, en analogía con el trabajo anterior de Dedekind sobre la teoría algebraica de números, crearon una teoría de campos de funciones algebraicas que permitió la primera definición rigurosa de una superficie de Riemann y una prueba rigurosa del teorema de Riemann-Roch . Kronecker en la década de 1880, Hilbert en 1890, Lasker en 1905 y Macauley en 1913 investigaron más a fondo los ideales de los anillos polinómicos implícitos en el trabajo de E. Noether . Lasker demostró un caso especial del teorema de Lasker-Noether , a saber, que cada ideal en un anillo polinómico es una intersección finita de ideales primarios . Macauley demostró la unicidad de esta descomposición. ^[32] En general, este trabajo condujo al desarrollo de la geometría algebraica . ^[26] ${\displaystyle \mathbb {R} [x,y]}$

En 1801 Gauss introdujo las formas cuadráticas binarias sobre los números enteros y definió su equivalencia . Además, definió el discriminante de estas formas, que es un invariante de una forma binaria . Entre los años 1860 y 1890, se desarrolló la teoría de invariantes y se convirtió en un campo importante del álgebra. Cayley, Sylvester, Gordan y otros encontraron el jacobiano y el hessiano para las formas cuárticas binarias y las formas cúbicas. ^[33] En 1868, Gordan demostró que el álgebra graduada de invariantes de una forma binaria sobre los números complejos se generaba finitamente, es decir, tenía una base. ^[34] Hilbert escribió una tesis sobre invariantes en 1885 y en 1890 demostró que cualquier forma de cualquier grado o número de variables tiene una base. Amplió esto aún más en 1890 al teorema de la base de Hilbert . ^[35]

Una vez desarrolladas estas teorías, pasaron todavía varias décadas hasta que surgió un concepto abstracto de anillo. La primera definición axiomática fue dada por Abraham Fraenkel en 1914. ^[35] Su definición se basaba principalmente en los axiomas estándar: un conjunto con dos operaciones, la adición, que forma un grupo (no necesariamente conmutativo), y la multiplicación, que es asociativa, se distribuye sobre la adición y tiene un elemento identidad. ^[36] Además, tenía dos axiomas sobre "elementos regulares" inspirados en el trabajo sobre los números p-ádicos , que excluían anillos ahora comunes como el anillo de números enteros. Estos permitieron a Fraenkel demostrar que la adición era conmutativa. ^[37] El trabajo de Fraenkel tenía como objetivo transferir la definición de campos de Steinitz de 1910 a los anillos, pero no estaba conectado con el trabajo existente sobre sistemas concretos. La definición de Masazo Sono de 1917 fue la primera equivalente a la actual. ^[38]

En 1920, Emmy Noether , en colaboración con W. Schmeidler, publicó un artículo sobre la teoría de ideales en el que definían los ideales izquierdo y derecho en un anillo . Al año siguiente publicó un artículo emblemático llamado Idealtheorie in Ringbereichen ( 'Teoría ideal en anillos' ), analizando las condiciones de cadena ascendente con respecto a los ideales (matemáticos). La publicación dio lugar al término " anillo noetheriano ", y a varios otros objetos matemáticos llamados noetherianos . ^{[39] [40]} El conocido algebrista Irving Kaplansky calificó este trabajo de "revolucionario"; ^[39] se demostró que los resultados que parecían inextricablemente conectados con las propiedades de los anillos polinómicos se deducían de un único axioma. ^[41] Artin, inspirado por el trabajo de Noether, ideó la condición de cadena descendente . Estas definiciones marcaron el nacimiento de la teoría abstracta de anillos. ^[42]

Teoría de campos temprana

En 1801 Gauss introdujo los enteros módulo p , donde p es un número primo. Galois extendió esto en 1830 a cuerpos finitos con elementos. ^[43] En 1871 Richard Dedekind introdujo, para un conjunto de números reales o complejos que está cerrado bajo las cuatro operaciones aritméticas, ^[44] la palabra alemana Körper , que significa "cuerpo" o "corpus" (para sugerir una entidad orgánicamente cerrada). El término inglés "campo" fue introducido por Moore en 1893. ^[45] En 1881 Leopold Kronecker definió lo que llamó un dominio de racionalidad , que es un campo de fracciones racionales en términos modernos. ^[46] La primera definición clara de un campo abstracto se debió a Heinrich Martin Weber en 1893. Faltaba la ley asociativa para la multiplicación, pero cubría los campos finitos y los campos de la teoría de números algebraicos y la geometría algebraica. ^[47] En 1910 Steinitz sintetizó el conocimiento de la teoría abstracta de campos acumulado hasta entonces. Definió axiomáticamente los campos con la definición moderna, los clasificó por sus características y demostró muchos teoremas que se utilizan comúnmente en la actualidad. ^[48] ${\displaystyle p^{n}}$

Otras áreas importantes

• Resolución de sistemas de ecuaciones lineales , que condujeron al álgebra lineal ^[49]

Álgebra moderna

A finales del siglo XIX y principios del XX se produjo un cambio en la metodología de las matemáticas. El álgebra abstracta surgió a principios del siglo XX, bajo el nombre de álgebra moderna . Su estudio fue parte del impulso hacia un mayor rigor intelectual en las matemáticas. Inicialmente, los supuestos del álgebra clásica , de los que dependen todas las matemáticas (y gran parte de las ciencias naturales ), tomaron la forma de sistemas axiomáticos . Ya no satisfechos con establecer propiedades de objetos concretos, los matemáticos comenzaron a centrar su atención en la teoría general. Las definiciones formales de ciertas estructuras algebraicas comenzaron a surgir en el siglo XIX. Por ejemplo, los resultados sobre varios grupos de permutaciones comenzaron a verse como instancias de teoremas generales que se refieren a una noción general de un grupo abstracto . Las cuestiones de estructura y clasificación de varios objetos matemáticos pasaron a primer plano. ^{[ cita requerida ]}

Estos procesos se dieron en todas las matemáticas, pero se hicieron especialmente pronunciados en el álgebra. Se propuso una definición formal mediante operaciones primitivas y axiomas para muchas estructuras algebraicas básicas, como grupos , anillos y cuerpos . De ahí que cosas como la teoría de grupos y la teoría de anillos ocuparan su lugar en las matemáticas puras . Las investigaciones algebraicas de los campos generales por Ernst Steinitz y de los anillos conmutativos y luego generales por David Hilbert , Emil Artin y Emmy Noether , basándose en el trabajo de Ernst Kummer , Leopold Kronecker y Richard Dedekind , que habían considerado ideales en anillos conmutativos, y de Georg Frobenius e Issai Schur , sobre la teoría de la representación de grupos, llegaron a definir el álgebra abstracta. Estos desarrollos del último cuarto del siglo XIX y del primer cuarto del siglo XX fueron expuestos sistemáticamente en Moderne Algebra de Bartel van der Waerden , la monografía de dos volúmenes publicada entre 1930 y 1931 que reorientó la idea del álgebra desde la teoría de ecuaciones a la teoría de estructuras algebraicas . ^{[ cita requerida ]}

Conceptos básicos

Al abstraer diversas cantidades de detalles, los matemáticos han definido varias estructuras algebraicas que se utilizan en muchas áreas de las matemáticas. Por ejemplo, casi todos los sistemas estudiados son conjuntos , a los que se aplican los teoremas de la teoría de conjuntos . Aquellos conjuntos que tienen una determinada operación binaria definida sobre ellos forman magmas , a los que se aplican los conceptos relativos a los magmas, así como los relativos a los conjuntos. Podemos añadir restricciones adicionales a la estructura algebraica, como la asociatividad (para formar semigrupos ); la identidad y las inversas (para formar grupos ); y otras estructuras más complejas. Con una estructura adicional, se podrían demostrar más teoremas, pero se reduce la generalidad. La "jerarquía" de los objetos algebraicos (en términos de generalidad) crea una jerarquía de las teorías correspondientes: por ejemplo, los teoremas de la teoría de grupos se pueden utilizar al estudiar anillos (objetos algebraicos que tienen dos operaciones binarias con ciertos axiomas) ya que un anillo es un grupo sobre una de sus operaciones. En general, existe un equilibrio entre la cantidad de generalidad y la riqueza de la teoría: las estructuras más generales suelen tener menos teoremas no triviales y menos aplicaciones. ^{[ cita requerida ]}

Estructuras algebraicas entre magmas y grupos . Por ejemplo, los monoides son semigrupos con identidad.

Ejemplos de estructuras algebraicas con una sola operación binaria son:

• Magma
• Cuasigrupo
• Monoide
• Semigrupo
• Grupo

Algunos ejemplos que implican varias operaciones incluyen:

• Anillo
• Campo
• Módulo
• Espacio vectorial
• Álgebra sobre un campo
• Álgebra asociativa
• Álgebra de Lie
• Enrejado
• Álgebra de Boole

Ramas del álgebra abstracta

Teoría de grupos

Un grupo es un conjunto junto con un "producto de grupo", una operación binaria . El grupo satisface los siguientes axiomas definitorios (véase Grupo (matemáticas) § Definición ): ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \cdot :G\times G\rightarrow G}$

Identidad : existe un elemento tal que, para cada elemento en , se cumple que . ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle e\cdot a=a\cdot e=a}$

Inversa : para cada elemento de , existe un elemento tal que . ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a\cdot b=b\cdot a=e}$

Asociatividad : para cada triplete de elementos en , se cumple que . ${\displaystyle a,b,c}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle (a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)}$

Teoría de anillos

Un anillo es un conjunto con dos operaciones binarias , suma y multiplicación, que satisfacen los siguientes axiomas . ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle (x,y)\mapsto x+y,}$ ${\displaystyle (x,y)\mapsto xy}$

• ${\displaystyle R}$es un grupo conmutativo bajo adición.
• ${\displaystyle R}$es un monoide bajo multiplicación.
• La multiplicación es distributiva con respecto a la suma.

Aplicaciones

Debido a su generalidad, el álgebra abstracta se utiliza en muchos campos de las matemáticas y la ciencia. Por ejemplo, la topología algebraica utiliza objetos algebraicos para estudiar topologías. La conjetura de Poincaré , demostrada en 2003, afirma que el grupo fundamental de una variedad, que codifica información sobre la conectividad, puede utilizarse para determinar si una variedad es una esfera o no. La teoría de números algebraicos estudia varios anillos de números que generalizan el conjunto de números enteros. Utilizando herramientas de la teoría de números algebraicos, Andrew Wiles demostró el último teorema de Fermat . ^{[ cita requerida ]}

En física, los grupos se utilizan para representar operaciones de simetría, y el uso de la teoría de grupos podría simplificar las ecuaciones diferenciales. En la teoría de gauge , el requisito de simetría local se puede utilizar para deducir las ecuaciones que describen un sistema. Los grupos que describen esas simetrías son los grupos de Lie , y el estudio de los grupos de Lie y las álgebras de Lie revela mucho sobre el sistema físico; por ejemplo, el número de portadores de fuerza en una teoría es igual a la dimensión del álgebra de Lie, y estos bosones interactúan con la fuerza que median si el álgebra de Lie no es abeliana. ^[50]

Véase también

• Portal de matemáticas

• Teoría de la codificación
• Teoría de grupos
• Lista de publicaciones en álgebra abstracta

Referencias

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Bibliografía

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Lectura adicional

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Enlaces externos

• Charles C. Pinter (1990) [1982] A Book of Abstract Algebra , segunda edición, de la Universidad de Maryland