Forma modular

Función analítica en el semiplano superior con cierto comportamiento bajo el grupo modular

En matemáticas , una forma modular es una función analítica (compleja) en el semiplano superior , que satisface: ${\displaystyle \,{\mathcal {H}}\,}$

• una especie de ecuación funcional con respecto a la acción grupal del grupo modular ,
• y una condición de crecimiento.

La teoría de las formas modulares pertenece, por tanto, al análisis complejo . La principal importancia de la teoría son sus conexiones con la teoría de números . Las formas modulares aparecen en otras áreas, como la topología algebraica , el empaquetado de esferas y la teoría de cuerdas .

La teoría de formas modulares es un caso especial de la teoría más general de formas automórficas , que son funciones definidas en grupos de Lie que se transforman muy bien con respecto a la acción de ciertos subgrupos discretos , generalizando el ejemplo del grupo modular . ${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )\subset \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )}$

El término "forma modular", como descripción sistemática, suele atribuirse a Hecke.

Cada forma modular está adjunta a una representación de Galois . ^[1]

Definición

En general, ^[2] dado un subgrupo de índice finito , llamado grupo aritmético , una forma modular de nivel y peso es una función holomorfa del semiplano superior tal que se satisfacen dos condiciones: ${\displaystyle \Gamma \subset {\text{SL}}_{2}(\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle f:{\mathcal {H}}\to \mathbb {C} }$

• Condición de automorfia: Para cualquiera existe la igualdad ^{[nota 1]} ${\displaystyle \gamma \in \Gamma }$ ${\displaystyle f(\gamma (z))=(cz+d)^{k}f(z)}$
• Condición de crecimiento: para cualquiera, la función está acotada ${\displaystyle \gamma \in {\text{SL}}_{2}(\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle (cz+d)^{-k}f(\gamma (z))}$ ${\displaystyle {\text{im}}(z)\to \infty }$

donde y la función se identifica con la matriz. La identificación de tales funciones con tales matrices hace que la composición de dichas funciones corresponda a la multiplicación de matrices. Además, se denomina forma cúspide si satisface las siguientes condiciones de crecimiento: ${\textstyle \gamma (z)={\frac {az+b}{cz+d}}}$ ${\textstyle \gamma }$ ${\textstyle \gamma ={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\in {\text{SL}}_{2}(\mathbb {Z} ).\,}$

• Condición cúspide: Para cualquier función como ${\displaystyle \gamma \in {\text{SL}}_{2}(\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle (cz+d)^{-k}f(\gamma (z))\to 0}$ ${\displaystyle {\text{im}}(z)\to \infty }$

Como secciones de un paquete de líneas

Las formas modulares también pueden interpretarse como secciones de un conjunto de líneas específico en variedades modulares . Para una forma modular de nivel y peso se puede definir como un elemento de ${\displaystyle \Gamma \subset {\text{SL}}_{2}(\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle k}$

${\displaystyle f\in H^{0}(X_{\Gamma },\omega ^{\otimes k})=M_{k}(\Gamma )}$

¿Dónde hay un paquete de líneas canónicas en la curva modular? ${\displaystyle \omega }$

${\displaystyle X_{\Gamma }=\Gamma \backslash ({\mathcal {H}}\cup \mathbb {P} ^{1}(\mathbb {Q} ))}$

Las dimensiones de estos espacios de formas modulares se pueden calcular utilizando el teorema de Riemann-Roch . ^[3] Las formas modulares clásicas son secciones de un paquete de líneas en la pila de módulos de curvas elípticas . ${\displaystyle \Gamma ={\text{SL}}_{2}(\mathbb {Z} )}$

Función modular

Una función modular es una función que es invariante respecto del grupo modular, pero sin la condición de que f  ( z ) sea holomorfa en el semiplano superior (entre otros requisitos). En cambio, las funciones modulares son meromorfas : son holomorfas en el complemento de un conjunto de puntos aislados, que son polos de la función.

Formas modulares para SL(2, Z)

Definición estándar

Una forma modular de peso k para el grupo modular.

${\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbf {Z} )=\left\{\left.{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\right|a,b,c,d\in \mathbf {Z} ,\ ad-bc=1\right\}}$

es una función de valores complejos f en el semiplano superior H = { z ∈ C , Im ( z ) > 0}, que satisface las siguientes tres condiciones:   

1.  f  es una función holomorfa en H .
2. Para cualquier z ∈ H y cualquier matriz en SL(2, Z ) como arriba, tenemos:

   ${\displaystyle f\left({\frac {az+b}{cz+d}}\right)=(cz+d)^{k}f(z)}$

3.  Se requiere que f  esté acotado como z → i ∞ .

Observaciones:

• El peso k suele ser un número entero positivo.
• Para k impar , sólo la función cero puede satisfacer la segunda condición.
• La tercera condición también se expresa diciendo que f es "holomórfica en la cúspide", terminología que se explica a continuación. Explícitamente, la condición significa que existe algo tal que su significado está limitado por encima de alguna línea horizontal.   ${\displaystyle M,D>0}$ ${\displaystyle \operatorname {Im} (z)>M\implies |f(z)|<D}$ ${\displaystyle f}$
• La segunda condición para

${\displaystyle S={\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}},\qquad T={\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}}}$

lee

${\displaystyle f\left(-{\frac {1}{z}}\right)=z^{k}f(z),\qquad f(z+1)=f(z)}$

respectivamente. Dado que S y T generan el grupo modular SL(2, Z ) , la segunda condición anterior es equivalente a estas dos ecuaciones.

• Dado que f  ( z + 1) =   f  ( z ) , las formas modulares son funciones periódicas , con período 1 , y por tanto tienen una serie de Fourier . 

Definición en términos de celosías o curvas elípticas.

Una forma modular puede definirse de manera equivalente como una función F desde el conjunto de redes en C hasta el conjunto de números complejos que satisface ciertas condiciones:

1. Si consideramos la red Λ = Z α + Z z generada por una constante α y una variable z , entonces F (Λ) es una función analítica de z .
2. Si α es un número complejo distinto de cero y α Λ es la red obtenida al multiplicar cada elemento de Λ por α , entonces F ( α Λ) = α ^{− k} F (Λ) donde k es una constante (normalmente un entero positivo) llamado peso de la forma.
3. El valor absoluto de F (Λ) permanece acotado por encima siempre que el valor absoluto del elemento más pequeño distinto de cero en Λ esté acotado desde 0.

La idea clave para demostrar la equivalencia de las dos definiciones es que dicha función F está determinada, debido a la segunda condición, por sus valores en redes de la forma Z + Z τ , donde τ ∈ H.

Ejemplos

I. Serie Eisenstein

Los ejemplos más sencillos desde este punto de vista son la serie de Eisenstein . Para cada entero par k > 2 , definimos G _k (Λ) como la suma de λ ^{− k} sobre todos los vectores distintos de cero λ de Λ :

${\displaystyle G_{k}(\Lambda )=\sum _{0\neq \lambda \in \Lambda }\lambda ^{-k}.}$

Entonces G _k es una forma modular de peso k . Para Λ = Z + Z τ tenemos

${\displaystyle G_{k}(\Lambda )=G_{k}(\tau )=\sum _{(0,0)\neq (m,n)\in \mathbf {Z} ^{2}}{\frac {1}{(m+n\tau )^{k}}},}$

y

${\displaystyle {\begin{aligned}G_{k}\left(-{\frac {1}{\tau }}\right)&=\tau ^{k}G_{k}(\tau ),\\G_{k}(\tau +1)&=G_{k}(\tau ).\end{aligned}}}$

La condición k > 2 es necesaria para la convergencia ; para k impar hay cancelación entre λ ^{− k} y (− λ ) ^{− k} , de modo que dichas series son idénticamente cero.

II. Funciones theta de redes incluso unimodulares

Una red unimodular par L en R ⁿ es una red generada por n vectores que forman las columnas de una matriz del determinante 1 y satisfacen la condición de que el cuadrado de la longitud de cada vector en L sea un número entero par. La llamada función theta

${\displaystyle \vartheta _{L}(z)=\sum _{\lambda \in L}e^{\pi i\Vert \lambda \Vert ^{2}z}}$

converge cuando Im(z) > 0 y, como consecuencia de la fórmula de suma de Poisson, se puede demostrar que es una forma modular de peso n /2 . No es tan fácil construir redes unimodulares pares, pero aquí hay una manera: Sea n un número entero divisible por 8 y considere todos los vectores v en R ⁿ tales que 2 v tenga coordenadas enteras, ya sean todos pares o todos impares, y tales que la suma de las coordenadas de v es un número entero par. A esta red la llamamos L _n . Cuando n = 8 , esta es la red generada por las raíces en el sistema de raíces llamado E 8 . Debido a que solo hay una forma modular de peso 8 hasta la multiplicación escalar,

${\displaystyle \vartheta _{L_{8}\times L_{8}}(z)=\vartheta _{L_{16}}(z),}$

aunque las celosías L ₈ × L ₈ y L ₁₆ no son similares. John Milnor observó que los toros de 16 dimensiones obtenidos al dividir R ¹⁶ por estas dos redes son, en consecuencia, ejemplos de variedades riemannianas compactas que son isoespectrales pero no isométricas (consulte Escuchar la forma de un tambor ).

III. El discriminante modular

La función Dedekind eta se define como

${\displaystyle \eta (z)=q^{1/24}\prod _{n=1}^{\infty }(1-q^{n}),\qquad q=e^{2\pi iz}.}$

donde q es el cuadrado del nomo . Entonces el discriminante modular Δ( z ) = (2π) ¹² η ( z ) ²⁴ es una forma modular del peso 12. La presencia de 24 está relacionada con el hecho de que la red Leech tiene 24 dimensiones. Una célebre conjetura de Ramanujan afirmó que cuando Δ( z ) se expande como una serie de potencias en q, el coeficiente de q ^p para cualquier primo p tiene un valor absoluto ≤ 2 p ^11/2 . Esto fue confirmado por el trabajo de Eichler , Shimura , Kuga , Ihara y Pierre Deligne como resultado de la prueba de Deligne de las conjeturas de Weil , que se demostró que implicaban la conjetura de Ramanujan.

El segundo y tercer ejemplo dan una idea de la conexión entre las formas modulares y las cuestiones clásicas de la teoría de números, como la representación de números enteros mediante formas cuadráticas y la función de partición . El vínculo conceptual crucial entre las formas modulares y la teoría de números lo proporciona la teoría de los operadores de Hecke , que también establece el vínculo entre la teoría de las formas modulares y la teoría de la representación .

Funciones modulares

Cuando el peso k es cero, se puede demostrar mediante el teorema de Liouville que las únicas formas modulares son funciones constantes. Sin embargo, relajar el requisito de que f sea holomórfico conduce a la noción de funciones modulares . Una función f  : H → C se llama modular si satisface las siguientes propiedades:

• f es meromórfico en el semiplano superior abierto H
• Para cada matriz entera en el grupo modular Γ ,. ${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}}$ ${\displaystyle f\left({\frac {az+b}{cz+d}}\right)=f(z)}$
• La segunda condición implica que f es periódica y, por tanto, tiene una serie de Fourier . La tercera condición es que esta serie sea de la forma

${\displaystyle f(z)=\sum _{n=-m}^{\infty }a_{n}e^{2i\pi nz}.}$

A menudo se escribe en términos de (el cuadrado del nomo ), como: ${\displaystyle q=\exp(2\pi iz)}$

${\displaystyle f(z)=\sum _{n=-m}^{\infty }a_{n}q^{n}.}$

Esto también se conoce como q -expansión de f ( principio de q-expansión ). Los coeficientes se conocen como coeficientes de Fourier de f , y el número m se llama orden del polo de f en i∞. Esta condición se llama "meromorfa en la cúspide", lo que significa que sólo un número finito de coeficientes n negativos son distintos de cero, por lo que la expansión q está acotada por debajo, lo que garantiza que es meromorfa en q  = 0.  ^{[nota 2]} ${\displaystyle a_{n}}$

A veces se utiliza una definición más débil de funciones modulares; según la definición alternativa, es suficiente que f sea meromorfa en el semiplano superior abierto y que f sea invariante con respecto a un subgrupo del grupo modular de índice finito. ^[4] Esto no se cumple en este artículo.

Otra forma de expresar la definición de funciones modulares es utilizar curvas elípticas : cada red Λ determina una curva elíptica C /Λ sobre C ; dos redes determinan curvas elípticas isomórficas si y sólo si una se obtiene de la otra multiplicando por algún número complejo distinto de cero α . Por tanto, una función modular también puede considerarse como una función meromorfa en el conjunto de clases de isomorfismo de curvas elípticas. Por ejemplo, la j-invariante j ( z ) de una curva elíptica, considerada como una función en el conjunto de todas las curvas elípticas, es una función modular. Más conceptualmente, las funciones modulares pueden considerarse funciones en el espacio de módulos de clases de isomorfismo de curvas elípticas complejas.

Una forma modular f que desaparece en q = 0 (equivalentemente, a ₀ = 0 , también parafraseada como z = i ∞ ) se llama forma cúspide ( Spitzenform en alemán ). El n más pequeño tal que an _≠ 0 es del orden del cero de f en i ∞ .

Una unidad modular es una función modular cuyos polos y ceros están confinados a las cúspides. ^[5]

Formularios modulares para grupos más generales.

La ecuación funcional, es decir, el comportamiento de f con respecto a puede flexibilizarse requiriéndola sólo para matrices en grupos más pequeños. ${\displaystyle z\mapsto {\frac {az+b}{cz+d}}}$

La superficie de Riemann G \H ∗

Sea G un subgrupo de SL(2, Z ) que sea de índice finito . Tal grupo G actúa sobre H de la misma manera que SL(2, Z ) . Se puede demostrar que el espacio topológico cociente G \ H es un espacio de Hausdorff . Normalmente no es compacto, pero puede compactarse añadiendo un número finito de puntos llamados cúspides . Estos son puntos en la frontera de H , es decir en Q ∪{∞}, ^{[nota 3]} tales que hay un elemento parabólico de G (una matriz con traza ±2) que fija el punto. Esto produce un espacio topológico compacto G \ H ^∗ . Además, se le puede dotar de la estructura de una superficie de Riemann , lo que permite hablar de funciones holomorfas y meromórficas.

Ejemplos importantes son, para cualquier entero positivo N , cualquiera de los subgrupos de congruencia

${\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma _{0}(N)&=\left\{{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\in {\text{SL}}(2,\mathbf {Z} ):c\equiv 0{\pmod {N}}\right\}\\\Gamma (N)&=\left\{{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\in {\text{SL}}(2,\mathbf {Z} ):c\equiv b\equiv 0,a\equiv d\equiv 1{\pmod {N}}\right\}.\end{aligned}}}$

Para G = Γ ₀ ( N ) o Γ ( N ) , los espacios G \ H y G \ H ^∗ se denotan Y ₀ ( N ) y X ₀ ( N ) e Y ( N ), X ( N ), respectivamente.

La geometría de G \ H ^∗ puede entenderse estudiando los dominios fundamentales de G , es decir, subconjuntos D ⊂ H tales que D interseca cada órbita de la acción de G sobre H exactamente una vez y de modo que el cierre de D se encuentre con todas las órbitas. Por ejemplo, se puede calcular el género de G \ H ^{∗ . [6]}

Definición

Una forma modular para G de peso k es una función en H que satisface la ecuación funcional anterior para todas las matrices en G , es decir , holomorfa en H y en todas las cúspides de G. Nuevamente, las formas modulares que desaparecen en todas las cúspides se denominan formas cúspides de G. Los espacios vectoriales C de las formas modular y cúspide de peso k se denotan como M _k ( G ) y S _k ( G ) , respectivamente. De manera similar, una función meromorfa en G \ H ^∗ se llama función modular para G . En caso de G = Γ ₀ ( N ), también se les conoce como formas y funciones modulares/cúspide de nivel N . Para G = Γ(1) = SL(2, Z ) , esto devuelve las definiciones antes mencionadas.

Consecuencias

La teoría de superficies de Riemann se puede aplicar a G \ H ^∗ para obtener más información sobre formas y funciones modulares. Por ejemplo, los espacios M _k ( G ) y S _k ( G ) son de dimensión finita y sus dimensiones se pueden calcular gracias al teorema de Riemann-Roch en términos de la geometría de la acción G sobre H. ^[7] Por ejemplo,

${\displaystyle \dim _{\mathbf {C} }M_{k}\left({\text{SL}}(2,\mathbf {Z} )\right)={\begin{cases}\left\lfloor k/12\right\rfloor &k\equiv 2{\pmod {12}}\\\left\lfloor k/12\right\rfloor +1&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$

donde denota la función del suelo y es par. ${\displaystyle \lfloor \cdot \rfloor }$ ${\displaystyle k}$

Las funciones modulares constituyen el campo de funciones de la superficie de Riemann y, por tanto, forman un campo de grado de trascendencia uno (sobre C ). Si una función modular f no es idénticamente 0, entonces se puede demostrar que el número de ceros de f es igual al número de polos de f en el cierre de la región fundamental R _Γ . Se puede demostrar que el campo de funciones modulares La función de nivel N ( N ≥ 1) es generada por las funciones j ( z ) y j ( Nz ). ^[8]

Paquetes de líneas

La situación puede compararse provechosamente con la que surge en la búsqueda de funciones en el espacio proyectivo P( V ): en ese contexto, lo ideal sería que funciones F en el espacio vectorial V fueran polinomiales en las coordenadas de v  ≠ 0 en V y satisface la ecuación F ( cv ) =  F ( v ) para todos los c distintos de cero . Desafortunadamente, las únicas funciones de este tipo son las constantes. Si permitimos denominadores (funciones racionales en lugar de polinomios), podemos dejar que F sea la razón de dos polinomios homogéneos del mismo grado. Alternativamente, podemos seguir con polinomios y aflojar la dependencia de c , dejando F ( cv ) =  c ^k F ( v ). Las soluciones son entonces los polinomios homogéneos de grado k . Por un lado, estos forman un espacio vectorial de dimensión finita para cada  k , y por el otro, si dejamos que k varíe, podemos encontrar los numeradores y denominadores para construir todas las funciones racionales que en realidad son funciones en el espacio proyectivo subyacente P. ( V ).

Uno podría preguntarse, dado que los polinomios homogéneos no son realmente funciones sobre P( V ), ¿qué son, geométricamente hablando? La respuesta algebro-geométrica es que son secciones de un haz (también se podría decir un haz de líneas en este caso). La situación con las formas modulares es precisamente análoga.

Las formas modulares también pueden abordarse de manera rentable desde esta dirección geométrica, como secciones de haces de líneas en el espacio de módulos de curvas elípticas.

Anillos de formas modulares.

Para un subgrupo Γ de SL(2, Z ) , el anillo de formas modulares es el anillo graduado generado por las formas modulares de Γ . En otras palabras, si M _k (Γ) es el anillo de formas modulares de peso k , entonces el anillo de formas modulares de Γ es el anillo graduado . ${\displaystyle M(\Gamma )=\bigoplus _{k>0}M_{k}(\Gamma )}$

Los anillos de formas modulares de subgrupos de congruencia de SL(2, Z ) se generan de forma finita debido a un resultado de Pierre Deligne y Michael Rapoport . Dichos anillos de formas modulares se generan con un peso máximo de 6 y las relaciones se generan con un peso máximo de 12 cuando el subgrupo de congruencia tiene formas modulares de peso impar distinto de cero, y los límites correspondientes son 5 y 10 cuando no hay formas modulares de peso impar distinto de cero. .

De manera más general, existen fórmulas para límites de los pesos de generadores del anillo de formas modulares y sus relaciones para grupos fucsianos arbitrarios .

Tipos

Formularios completos

Si f es holomorfa en la cúspide (no tiene polo en q  = 0), se llama forma modular completa .

Si f es meromorfa pero no holomorfa en la cúspide, se denomina forma modular no completa . Por ejemplo, el j-invariante es una forma modular no completa de peso 0 y tiene un polo simple en i∞.

Nuevas formas

Las nuevas formas son un subespacio de formas modulares ^[9] de un nivel fijo que no se puede construir a partir de formas modulares de niveles inferiores que se dividen . Las otras formas se llaman formas antiguas . Estas formas antiguas se pueden construir utilizando las siguientes observaciones: si luego se da una inclusión inversa de formas modulares . ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle M\mid N}$ ${\displaystyle \Gamma _{1}(N)\subseteq \Gamma _{1}(M)}$ ${\displaystyle M_{k}(\Gamma _{1}(M))\subseteq M_{k}(\Gamma _{1}(N))}$

Formas de cúspide

Una forma de cúspide es una forma modular con un coeficiente constante cero en su serie de Fourier. Se llama forma de cúspide porque la forma desaparece en todas las cúspides.

Generalizaciones

Hay otros usos del término "función modular", además de este clásico; por ejemplo, en la teoría de las medidas de Haar , es una función Δ( g ) determinada por la acción de conjugación.

Las formas de Maass son funciones propias analíticas reales del laplaciano , pero no necesitan ser holomorfas . Las partes holomorfas de ciertas formas de ondas débiles de Maass resultan ser esencialmente funciones theta simuladas de Ramanujan . Se pueden considerar grupos que no son subgrupos de SL(2, Z ) .

Las formas modulares de Hilbert son funciones en n variables, cada una de las cuales es un número complejo en el semiplano superior, que satisface una relación modular para matrices de 2 × 2 con entradas en un campo de números totalmente real .

Las formas modulares de Siegel están asociadas a grupos simplécticos más grandes de la misma manera que las formas modulares clásicas están asociadas a SL(2, R ) ; en otras palabras, están relacionadas con variedades abelianas en el mismo sentido que las formas modulares clásicas (que a veces se denominan formas modulares elípticas para enfatizar este punto) están relacionadas con curvas elípticas.

Las formas de Jacobi son una mezcla de formas modulares y funciones elípticas. Los ejemplos de tales funciones son muy clásicos: las funciones theta de Jacobi y los coeficientes de Fourier de las formas modulares de Siegel del género dos, pero es una observación relativamente reciente que las formas de Jacobi tienen una teoría aritmética muy análoga a la teoría habitual de las formas modulares.

Las formas automórficas extienden la noción de formas modulares a los grupos generales de Lie .

Las integrales modulares de peso k son funciones meromórficas en el semiplano superior de crecimiento moderado en el infinito que no logran ser modulares de peso k mediante una función racional.

Los factores automórficos son funciones de la forma que se utilizan para generalizar la relación de modularidad que define las formas modulares, de modo que ${\displaystyle \varepsilon (a,b,c,d)(cz+d)^{k}}$

${\displaystyle f\left({\frac {az+b}{cz+d}}\right)=\varepsilon (a,b,c,d)(cz+d)^{k}f(z).}$

La función se llama nebentypus de forma modular. Funciones como la función eta de Dedekind , una forma modular de peso 1/2, pueden estar abarcadas por la teoría al permitir factores automórficos. ${\displaystyle \varepsilon (a,b,c,d)}$

Historia

La teoría de las formas modulares se desarrolló en cuatro periodos:

• En relación con la teoría de las funciones elípticas , a principios del siglo XIX
• Por Felix Klein y otros hacia finales del siglo XIX, cuando se comprendió el concepto de forma automórfica (por una variable)
• Por Erich Hecke alrededor de 1925
• En la década de 1960, cuando las necesidades de la teoría de números y la formulación del teorema de modularidad en particular dejaron en claro que las formas modulares están profundamente implicadas.

Taniyama y Shimura identificaron una correspondencia 1 a 1 entre ciertas formas modulares y curvas elípticas. Robert Langlands se basó en esta idea en la construcción de su amplio programa Langlands , que se ha convertido en uno de los programas de investigación en matemáticas de mayor alcance y trascendencia.

En 1994, Andrew Wiles utilizó formas modulares para demostrar el último teorema de Fermat . En 2001 se demostró que todas las curvas elípticas eran modulares respecto de los números racionales. En 2013, se demostró que las curvas elípticas son modulares sobre campos cuadráticos reales . En 2023, se demostró que las curvas elípticas eran modulares en aproximadamente la mitad de los campos cuadráticos imaginarios, incluidos los campos formados combinando números racionales con la raíz cuadrada de números enteros hasta −5. ^[1]

Ver también

• La demostración de Wiles del último teorema de Fermat

Notas

1. Algunos autores utilizan convenciones diferentes, lo que permite una constante adicional que depende únicamente de , consulte, por ejemplo, "DLMF: §23.15 Definiciones ‣ Funciones modulares ‣ Capítulo 23 Funciones elípticas y modulares de Weierstrass". dlmf.nist.gov . Consultado el 7 de julio de 2023 . ${\displaystyle \gamma }$
2. Una función meromorfa solo puede tener un número finito de términos de exponente negativo en su serie de Laurent, su expansión q. Sólo puede tener como máximo un polo en q  = 0, no una singularidad esencial como la que tiene exp(1/ q ).
3. Aquí, una matriz envía ∞ a a / c . ${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}}$

Citas

1. Van Wyk, Gerhard (julio de 2023). "Las curvas elípticas revelan sus secretos en un nuevo sistema numérico". Cuantos .
2. Lan, Kai-Wen. "Cohomología de paquetes automórficos" (PDF) . Archivado (PDF) desde el original el 1 de agosto de 2020.
3. Milne. "Funciones modulares y formas modulares". pag. 51.
4. Chandrasekharan, K. (1985). Funciones elípticas . Springer-Verlag. ISBN 3-540-15295-4.pag. 15
5. Kubert, Daniel S .; Lang, Serge (1981), Unidades modulares, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Principios fundamentales de las ciencias matemáticas], vol. 244, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , pág. 24, ISBN 978-0-387-90517-4, SEÑOR  0648603, Zbl  0492.12002
6. Gunning, Robert C. (1962), Conferencias sobre formas modulares , Annals of Mathematics Studies, vol. 48, Prensa de la Universidad de Princeton, pag. 13
7. Shimura, Goro (1971), Introducción a la teoría aritmética de funciones automórficas , Publicaciones de la Sociedad Matemática de Japón, vol. 11, Tokio: Iwanami Shoten, Teorema 2.33, Proposición 2.26
8. Milne, James (2010), Funciones modulares y formas modulares (PDF) , p. 88, Teorema 6.1.
9. Mocanú, Andreea. "Teoría de Atkin-Lehner de Γ 1 ( N ) {\ Displaystyle \ Gamma _ {1} (N)} -Formas modulares" (PDF) . Archivado (PDF) desde el original el 31 de julio de 2020.

Referencias

• Apostol, Tom M. (1990), Funciones modulares y series de Dirichlet en teoría de números , Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 0-387-97127-0
• Diamante, Fred; Shurman, Jerry Michael (2005), Un primer curso en formas modulares , Textos de posgrado en matemáticas, vol. 228, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0387232294 Conduce a una descripción general de la demostración del teorema de modularidad .
• Gelbart, Stephen S. (1975), Formas automórficas en grupos de Adèle , Annals of Mathematics Studies, vol. 83, Princeton, Nueva Jersey: Princeton University Press , SEÑOR  0379375. Proporciona una introducción a las formas modulares desde el punto de vista de la teoría de la representación .
• Hecke, Erich (1970), Mathematische Werke , Göttingen: Vandenhoeck & Ruprecht
• Rankin, Robert A. (1977), Formas y funciones modulares , Cambridge: Cambridge University Press , ISBN 0-521-21212-X
• Ribet, K.; Stein, W., Conferencias sobre formas modulares y operadores de Hecke
• Serre, Jean-Pierre (1973), Un curso de aritmética , Textos de posgrado en matemáticas, vol. 7, Nueva York: Springer-Verlag. El capítulo VII proporciona una introducción elemental a la teoría de las formas modulares .
• Skoruppa, NP; Zagier, D. (1988), "Formas de Jacobi y un cierto espacio de formas modulares", Inventiones Mathematicae , 94 , Springer : 113, Bibcode :1988InMat..94..113S, doi :10.1007/BF01394347
• He aquí las formas modulares, la 'quinta operación fundamental' de las matemáticas